考點測試16導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)一、基礎(chǔ)小題1函數(shù)f(x)xln x的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(，0) B(0，1)C(1，) D(，0)(1，)答案C解析函數(shù)的定義域為(0，)f(x)1，令f(x)>0，得x>1故選C2已知對任意實數(shù)x，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x>0時，f(x)>0，g(x)>0，則x<0時()Af(x)>0，g(x)>0 Bf(x)>0，g(x)<0Cf(x)<0，g(x)>0 Df(x)<0，g(x)<0答案B解析由題意知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)當(dāng)x>0時，f(x)，g(x)都單調(diào)遞增，則當(dāng)x<0時，f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，即f(x)>0，g(x)<03若曲線f(x)，g(x)x在點P(1，1)處的切線分別為l1，l2，且l1l2，則實數(shù)的值為()A2 B2 C D答案A解析f(x)，g(x)x1，所以在點P處的斜率分別為k1，k2，因為l1l2，所以k1k21，所以2，選A4已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是()答案D解析當(dāng)x<0時，由導(dǎo)函數(shù)f(x)ax2bxc<0，知相應(yīng)的函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時，由導(dǎo)函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可知，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，x1)內(nèi)的值是大于0的，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增只有選項D符合題意5已知函數(shù)f(x)x33x29x1，若f(x)在區(qū)間k，2上的最大值為28，則實數(shù)k的取值范圍為()A3，) B(3，)C(，3) D(，3答案D解析由題意知f(x)3x26x9，令f(x)0，解得x1或x3，所以f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增又f(3)28，f(1)4，f(2)3，f(x)在區(qū)間k，2上的最大值為28，所以k36若函數(shù)f(x)2x2ln x在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k1，k1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()A1，) B C1，2) D答案B解析因為f(x)的定義域為(0，)，f(x)4x，由f(x)0，得x據(jù)題意得解得1k<故選B7已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)5cosx，x(1，1)，且f(0)0，如果f(1x)f(1x2)<0，則實數(shù)x的取值范圍為_答案(1，)解析導(dǎo)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(0)0，原函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且定義域為(1，1)，又導(dǎo)函數(shù)值恒大于0，原函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所求不等式變形為f(1x)<f(x21)，1<1x<x21<1，解得1<x<，實數(shù)x的取值范圍是(1，)8已知函數(shù)f(x)的定義域是1，5，部分對應(yīng)值如表，f(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示x10245f(x)121521下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題：函數(shù)f(x)的值域為1，2；函數(shù)f(x)在0，2上是減函數(shù)；若x1，t時，f(x)的最大值是2，則t的最大值為4；當(dāng)1<a<2時，函數(shù)yf(x)a最多有4個零點其中正確命題的序號是_(把所有正確命題的序號都填上)答案解析由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)1<x<0及2<x<4時，f(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<2及4<x<5時，f(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x0及x4時，函數(shù)取得極大值f(0)2，f(4)2，當(dāng)x2時，函數(shù)取得極小值f(2)15又f(1)f(5)1，所以函數(shù)的最大值為2，最小值為1，值域為1，2，正確；因為當(dāng)x0及x4時，函數(shù)取得極大值f(0)2，f(4)2，要使當(dāng)x1，t時，函數(shù)f(x)的最大值是2，則0t5，所以t的最大值為5，所以不正確；因為極小值f(2)15，極大值f(0)f(4)2，所以當(dāng)1<a<2時，yf(x)a最多有4個零點，所以正確，所以正確命題的序號為二、高考小題9(2015·福建高考)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)1，其導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)>k>1，則下列結(jié)論中一定錯誤的是()Af< Bf>Cf< Df>答案C解析構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)kx1，則g(x)f(x)k>0，g(x)在R上為增函數(shù)k>1，>0，則g>g(0)而g(0)f(0)10，gf1>0，即f>1，所以選項C錯誤故選C10(2017·山東高考)若函數(shù)exf(x)(e271828是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是()Af(x)2x Bf(x)x2Cf(x)3x Df(x)cosx答案A解析當(dāng)f(x)2x時，exf(x)x>1，當(dāng)f(x)2x時，exf(x)在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)易知B，C，D不具有M性質(zhì)，故選A11(2015·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)ex(2x1)axa，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0，則a的取值范圍是()A BC D答案D解析由f(x0)<0，即ex0(2x01)a(x01)<0，得ex0(2x01)<a(x01)當(dāng)x01時，得e<0，顯然不成立，所以x01若x0>1，則a>令g(x)，則g(x)當(dāng)x時，g(x)<0，g(x)為減函數(shù)，當(dāng)x時，g(x)>0，g(x)為增函數(shù)，要滿足題意，則x02，此時需滿足g(2)<ag(3)，得3e2<ae3，與a<1矛盾，所以x0<1因為x0<1，所以a<易知，當(dāng)x(，0)時，g(x)>0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)x(0，1)時，g(x)<0，g(x)為減函數(shù)，要滿足題意，則x00，此時需滿足g(1)a<g(0)，得a<1(滿足a<1)故選D12(2017·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)x32xex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)若f(a1)f(2a2)0，則實數(shù)a的取值范圍是_答案1，解析易知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱f(x)x32xex，f(x)(x)32(x)exx32xexf(x)，f(x)為奇函數(shù)，又f(x)3x22ex3x2223x20(當(dāng)且僅當(dāng)x0時，取“”)，從而f(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(a1)f(2a2)0f(a1)f(2a2)2a2a1，解得1a13(2015·安徽高考)設(shè)x3axb0，其中a，b均為實數(shù)下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是_(寫出所有正確條件的編號)a3，b3；a3，b2；a3，b>2；a0，b2；a1，b2答案解析設(shè)f(x)x3axb當(dāng)a3，b3時，f(x)x33x3，f(x)3x23，令f(x)>0，得x>1或x<1；令f(x)<0，得1<x<1，故f(x)在(，1)上為增函數(shù)，在(1，1)上為減函數(shù)，在(1，)上為增函數(shù)，又f(1)1，f(1)5，f(3)15，故方程f(x)0只有一個實根，故正確當(dāng)a3，b2時，f(x)x33x2，易知f(x)在(，1)上為增函數(shù)，在(1，1)上為減函數(shù)，在(1，)上為增函數(shù)，又f(1)4，f(1)0，x時，f(x)，從而方程f(x)0有兩個根，故錯誤當(dāng)a3，b>2時，f(x)x33xb，易知f(x)的極大值為f(1)2b>0，極小值為f(1)b2>0，x時，f(x)，故方程f(x)0有且僅有一個實根，故正確當(dāng)a0，b2時，f(x)x32，顯然方程f(x)0有且僅有一個實根，故正確當(dāng)a1，b2時，f(x)x3x2，f(x)3x21>0，則f(x)在(，)上為增函數(shù)，易知f(x)的值域為R，故f(x)0有且僅有一個實根，故正確綜上，正確條件的編號有三、模擬小題14(2018·鄭州質(zhì)檢一)已知函數(shù)f(x)x39x229x30，實數(shù)m，n滿足f(m)12，f(n)18，則mn()A6 B8 C10 D12答案A解析設(shè)函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(a，b)，則有2bf(x)f(2ax)，整理得2b(6a18)x2(12a236a)x8a336a258a60，則可得a3，b3，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(3，3)又f(m)12，f(n)18，且f(m)f(n)6，所以點(m，f(m)和點(n，f(n)關(guān)于(3，3)對稱，所以mn2×36，故選A15(2018·河南新鄉(xiāng)二模)若函數(shù)y在(1，)上單調(diào)遞減，則稱f(x)為P函數(shù)下列函數(shù)中為P函數(shù)的為()f(x)1；f(x)x；f(x)；f(x)A B C D答案B解析x(1，)時，ln x>0，x增大時，都減小，y，y在(1，)上都是減函數(shù)，f(x)1和f(x)都是P函數(shù)；，x(1，e)時，<0，x(e，)時，>0，即y在(1，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，f(x)x不是P函數(shù)；，x(1，e2)時，<0，x(e2，)時，>0，即y在(1，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，f(x)不是P函數(shù)故選B16(2018·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x2lnxa(x21)(aR)，若f(x)0在0<x1上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()Aa2 Ba1 Ca Da答案C解析不等式f(x)0，即x2ln xa(x21)，則由題意知，當(dāng)0<x1時，函數(shù)g(x)x2ln x的圖象不在函數(shù)h(x)a(x21)的圖象下方因為g(x)x(2ln x1)，則g(x)在0，上單調(diào)遞減，在，1上單調(diào)遞增，且g(1)0，h(1)0，則兩個函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，要使函數(shù)g(x)x2ln x的圖象在(0，1上，不在函數(shù)h(x)a(x21)的圖象下方，必須滿足函數(shù)h(x)a(x21)在點(1，0)處切線的斜率大于或等于函數(shù)g(x)x2ln x在點(1，0)處切線的斜率由h(x)a(x21)，得h(x)2ax，所以h(x)a(x21)在點(1，0)處切線的斜率為2a又g(x)x2ln x在點(1，0)處切線的斜率為1，所以2a1，即a，故選C17(2019·山西太原模擬)已知定義在(0，)上的函數(shù)f(x)，滿足f(x)<2f(x)(其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù))，則()Ae2f(1)>f(2) Be2f(1)<f(2)C9f(ln 2)<4f(ln 3) D9f(ln 2)4f(ln 3)答案A解析令h(x)，則h(x)<0，所以函數(shù)h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以h(1)>h(2)，即>，所以e2f(1)>f(2)故選A18(2018·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)，g(x)，若函數(shù)yfg(x)a有三個不同的零點x1，x2，x3(其中x1<x2<x3)，則2g(x1)g(x2)g(x3)的取值范圍為_答案，0解析由題意，得f(x)(x1)，所以函數(shù)f(x)在(0，1)，(1，2)上單調(diào)遞減，在(，0)，(2，)上單調(diào)遞增，由此作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖1所示因為g(x)(x>0)，所以函數(shù)g(x)在(e，)上單調(diào)遞減，在(0，e)上單調(diào)遞增，所以g(x)maxg(e)，作出函數(shù)g(x)的大致圖象如圖2所示f因為fg(x)a0有三個不同的零點，所以yfg(x)與ya有三個不同的交點，所以a1，令g(x)t，則問題等價于方程a0，即t2(a1)t1a0有兩個解t1，t2，不妨設(shè)t1<t2，且t1t21a由圖知g(x2)g(x3)t2，g(x1)t1，所以2g(x1)g(x2)g(x3)2(t1t2)2(1a)，0一、高考大題1(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)(2xax2)·ln (1x)2x(1)若a0，證明：當(dāng)1<x<0時，f(x)<0；當(dāng)x>0時，f(x)>0；(2)若x0是f(x)的極大值點，求a解(1)證明：當(dāng)a0時，f(x)(2x)ln (1x)2x，f(x)ln (1x)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)ln (1x)，則g(x)當(dāng)1<x<0時，g(x)<0；當(dāng)x>0時，g(x)>0故當(dāng)x>1時，g(x)g(0)0，且僅當(dāng)x0時，g(x)0，從而f(x)0，且僅當(dāng)x0時，f(x)0所以f(x)在(1，)單調(diào)遞增又f(0)0，故當(dāng)1<x<0時，f(x)<0；當(dāng)x>0時，f(x)>0(2)f(x)(2ax1)ln (1x)2，且f(0)0，則m(1，0)，n(0，)，當(dāng)x(m，n)時，2ax1>0，當(dāng)x(m，0)時，由(1)知，ln (1x)<，則f(x)<(2ax1)2由題意，x1(m，0)使當(dāng)x(x1，0)時，f(x)>0恒成立，即amax，a當(dāng)x(0，n)時，由(1)知，ln (1x)>，則f(x)>(2ax1)2由題意，x2(0，n)使當(dāng)x(0，x2)時，f(x)0恒成立，即amin，a綜上，a2(2018·天津高考)已知函數(shù)f(x)ax，g(x)logax，其中a>1(1)求函數(shù)h(x)f(x)xln a的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線yf(x)在點(x1，f(x1)處的切線與曲線yg(x)在點(x2，g(x2)處的切線平行，證明x1g(x2)；(3)證明當(dāng)ae時，存在直線l，使l是曲線yf(x)的切線，也是曲線yg(x)的切線解(1)由已知，h(x)axxln a，有h(x)axln aln a令h(x)0，解得x0由a>1，可知當(dāng)x變化時，h(x)，h(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0，)h(x)0h(x)極小值所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)(2)證明：由f(x)axln a，可得曲線yf(x)在點(x1，f(x1)處的切線斜率為ax1ln a由g(x)，可得曲線yg(x)在點(x2，g(x2)處的切線斜率為因為這兩條切線平行，故有ax1ln a，即x2ax1(ln a)21兩邊取以a為底的對數(shù)，得logax2x12loga(ln a)0，所以x1g(x2)(3)證明：曲線yf(x)在點(x1，ax1)處的切線l1：yax1ax1ln a·(xx1)曲線yg(x)在點(x2，logax2)處的切線l2：ylogax2(xx2)要證明當(dāng)ae時，存在直線l，使l是曲線yf(x)的切線，也是曲線yg(x)的切線，只需證明當(dāng)ae時，存在x1(，)，x2(0，)，使得l1與l2重合即只需證明當(dāng)ae時，方程組有解由得x2，代入，得ax1x1ax1ln ax10因此，只需證明當(dāng)ae時，關(guān)于x1的方程存在實數(shù)解設(shè)函數(shù)u(x)axxaxln ax，即要證明當(dāng)ae時，函數(shù)yu(x)存在零點u(x)1(ln a)2xax，可知x(，0)時，u(x)>0；x(0，)時，u(x)單調(diào)遞減，又u(0)1>0，u1a<0，故存在唯一的x0，且x0>0，使得u(x0)0，即1(ln a)2x0ax00由此可知u(x)在(，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減u(x)在xx0處取得極大值u(x0)因為ae，故ln (ln a)1，所以u(x0)ax0x0ax0ln ax0x00下面證明存在實數(shù)t，使得u(t)<0由(1)可得ax1xln a，當(dāng)x>時，有u(x)(1xln a)(1xln a)x(ln a)2x2x1，所以存在實數(shù)t，使得u(t)<0因此，當(dāng)ae時，存在x1(，)，使得u(x1)0所以，當(dāng)ae時，存在直線l，使l是曲線yf(x)的切線，也是曲線yg(x)的切線3(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)ax2axxln x，且f(x)0(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e2f(x0)22解(1)f(x)的定義域為(0，)設(shè)g(x)axaln x，則f(x)xg(x)，f(x)0等價于g(x)0因為g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a1，得a1若a1，則g(x)1當(dāng)0<x<1時，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增所以x1是g(x)的極小值點，故g(x)g(1)0綜上，a1(2)證明：由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x設(shè)h(x)2x2ln x，則h(x)2當(dāng)x0，時，h(x)<0；當(dāng)x，時，h(x)0所以h(x)在0，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增又h(e2)0，h0，h(1)0，所以h(x)在0，有唯一零點x0，在，有唯一零點1，且當(dāng)x(0，x0)時，h(x)0；當(dāng)x(x0，1)時，h(x)0；當(dāng)x(1，)時，h(x)0因為f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一極大值點由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0得f(x0)因為xx0是f(x)在(0，1)的最大值點，由e1(0，1)，f(e1)0得f(x0)f(e1)e2，所以e2f(x0)22二、模擬大題4(2018·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為x2y30(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)x>0，且x1時，f(x)>解(1)f(x)由于直線x2y30的斜率為，且過點(1，1)，故即解得a1，b1(2)證明：由(1)知f(x)，所以f(x)2ln x令h(x)2ln x(x>0)，則h(x)所以當(dāng)x1時，h(x)<0，而h(1)0，故當(dāng)x(0，1)時，h(x)>0，可得h(x)>0；當(dāng)x(1，)時，h(x)<0，可得h(x)>0從而當(dāng)x>0，且x1時，f(x)>0即f(x)>5(2018·廣東廣州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)aln xxb(a0)(1)當(dāng)b2時，若函數(shù)f(x)恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)ab0，b>0時，對任意x1，x2，e，有|f(x1)f(x2)|e2成立，求實數(shù)b的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)當(dāng)b2時，f(x)aln xx2，所以f(x)2x當(dāng)a>0時，f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，取x0e，則f(e)1(e)2<0因為f(1)1，所以f(x0)·f(1)<0，所以函數(shù)f(x)有一個零點當(dāng)a<0時，令f(x)0，解得x當(dāng)0<x<時，f(x)<0，所以f(x)在0，上單調(diào)遞減；當(dāng)x>時，f(x)>0，所以f(x)在，上單調(diào)遞增要使函數(shù)f(x)有一個零點，則faln 0，即a2e綜上所述，若函數(shù)f(x)恰有一個零點，則a2e或a>0(2)因為對任意x1，x2，e，有|f(x1)f(x2)|e2成立，又|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)minx，e，所以f(x)maxf(x)mine2因為ab0，所以ab所以f(x)bln xxb，所以f(x)bxb1因為b>0，所以當(dāng)0<x<1時，f(x)<0，當(dāng)x>1時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在，1上單調(diào)遞減，在(1，e上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)1，f(x)maxmaxf，f(e)易知fbeb，f(e)beb，設(shè)g(b)f(e)febeb2b(b>0)，則g(b)ebeb2>220所以g(b)在(0，)上單調(diào)遞增，故g(b)>g(0)0，所以f(e)>f從而f(x)maxf(e)beb所以beb1e2，即ebbe10，設(shè)(b)ebbe1(b>0)，則(b)eb1當(dāng)b>0時，(b)>0，所以(b)在(0，)上單調(diào)遞增又(1)0，所以ebbe10即為(b)(1)，解得b1又因為b>0，所以b的取值范圍為(0，116