單元檢測七不等式、推理與證明(提升卷)考生注意：1本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共4頁2答卷前，考生務(wù)必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在相應(yīng)位置上3本次考試時間100分鐘，滿分130分4請在密封線內(nèi)作答，保持試卷清潔完整第卷(選擇題共60分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1若a<b<0，則下列不等式一定不成立的是()A.<B.>C|a|>bD.>答案A解析因為a<b<0，所以>0，即>，A不成立；a>b>0，>，B成立；a|a|>|b|b，C成立；當(dāng)a3，b1時，1，故>，D成立2不等式0的解集為()A.B.C.(3，)D.3，)答案C解析不等式0可化為解得x或x>3，不等式0的解集為(3，)3下面幾種推理過程是演繹推理的是()A某校高三有8個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班人數(shù)都超過50人B由三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)C平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分D在數(shù)列an中，a11，an，由此歸納出an的通項公式答案C解析因為演繹推理是由一般到特殊，所以選項C符合要求，平行四邊形對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分4“10”是“(x2)(x1)0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由10，得0，等價于(x1)(x2)0，且x1，解得x2或x>1.由(x2)(x1)0，得x2或x1，所以“10”能推出“(x2)·(x1)0”，“(x2)(x1)0”推不出“10”，故“10”是“(x2)(x1)0”的充分不必要條件，故選A.5若x>0，y>0，且2x8yxy0，則xy的最小值為()A8B14C16D64答案D解析x>0，y>0，且2x8yxy0，xy2x8y2，8，xy64，當(dāng)且僅當(dāng)x16，y4時取等號，xy的最小值為64，故選D.6已知實數(shù)a>0，b>0，1，則a2b的最小值是()A3B2C3D2答案B解析a>0，b>0，1，a2b(a1)2(b1)3(a1)2(b1)·333232，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時取等號，a2b的最小值是2，故選B.7若直線l：axby10(a>0，b>0)把圓C：(x4)2(y1)216分成面積相等的兩部分，則的最小值為()A10B8C5D4答案B解析由題意知，已知圓的圓心C(4，1)在直線l上，所以4ab10，所以4ab1.所以(4ab)4428，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時，等號成立所以的最小值為8.故選B.8在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機地取一點M，則點M恰好落在第二象限的概率為()A.B.C.D.答案C解析如圖，不等式組所表示的平面區(qū)域為一直角三角形，其面積為×3×，其中在第二象限的區(qū)域為一直角三角形，其面積為×1×1.所以點M恰好落在第二象限的概率為，故選C.9(2018·河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知變量x，y滿足則z3yx的取值范圍為()A1,2B2,5C2,6D1,6答案D解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(ABC邊界及其內(nèi)部)因為z3yx，所以yxz.當(dāng)直線yx在y軸上的截距有最小值時，z有最小值；當(dāng)在y軸上的截距有最大值時，z有最大值由圖可知，當(dāng)直線yx經(jīng)過點A(1,0)，在y軸上的截距最小，zmin0(1)1；經(jīng)過點C(0,2)時，在y軸上的截距最大，zmax3×206.所以z3yx的取值范圍為1,6，故選D.10小王計劃租用A，B兩種型號的小車安排30名隊友(大多有駕駛證，會開車)出去游玩，A與B兩種型號的車輛每輛的載客量都是5人，租金分別為1000元/輛和600元/輛，要求租車總數(shù)不超過12輛，不少于6輛，且A型車至少有1輛，則租車所需的最少租金為()A1000元B2000元C3000元D4000元答案D解析設(shè)分別租用A，B兩種型號的小車x輛、y輛，所用的總租金為z元，則z1000x600y，其中x，y滿足不等式組(x，yN)，作出可行域，如圖陰影部分(包括邊界)所示易知當(dāng)直線yx過點D(1,5)時，z取最小值，所以租車所需的最少租金為1×10005×6004000(元)，故選D.11(2018·貴州貴陽一中月考)若變量x，y滿足約束條件則t的取值范圍是()A.B.C.D.答案B解析作出可行域，如圖中陰影部分所示(包括邊界)t表示可行域內(nèi)的點與點M(3,2)連線的斜率由圖可知，當(dāng)可行域內(nèi)的點與點M的連線與圓x2y24相切時斜率分別取最大值和最小值設(shè)切線方程為y2k(x3)，即kxy3k20，則有2，解得k或k0，所以t的取值范圍是，故選B.12已知甲、乙兩個容器，甲容器的容量為x(單位：L)，裝滿純酒精，乙容器的容量為z(單位：L)，其中裝有體積為y(單位：L)的水(x<z，y<z)現(xiàn)將甲容器中的液體倒入乙容器中，直至甲容器中液體倒完或乙容器盛滿，攪拌使乙容器兩種液體充分混合，再將乙容器中的液體倒入甲容器中直至倒?jié)M，攪拌使甲容器中液體充分混合，如此稱為一次操作，假設(shè)操作過程中溶液體積變化忽略不計設(shè)經(jīng)過n(nN*)次操作之后，乙容器中含有純酒精an(單位：L)，下列關(guān)于數(shù)列an的說法正確的是()A當(dāng)xya時，數(shù)列an有最大值B設(shè)bnan1an(nN*)，則數(shù)列bn為遞減數(shù)列C對任意的nN*，始終有anD對任意的nN*，都有an答案D解析對于A，若xy>z，每次傾倒后甲容器都有剩余，則an<，故A錯誤；對于B，若xyz，則每次操作后乙容器所含酒精都為，bn0，故B錯誤；對于C，若x1，y1，z3，則a1，則a1>，故C錯誤；對于D，當(dāng)n時，甲乙兩容器濃度趨于相等，當(dāng)xyz時，an，當(dāng)xy>z時，an<，故選D.第卷(非選擇題共70分)二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)13若在關(guān)于x的不等式x2(a1)xa<0的解集中至多包含2個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案2,4解析關(guān)于x的不等式x2(a1)xa<0可化為(x1)(xa)<0.當(dāng)a1時，(x1)2<0，無解，滿足題意；當(dāng)a>1時，不等式的解集為x|1<x<a；當(dāng)a<1時，不等式的解集為x|a<x<1要使得解集中至多包含2個整數(shù)，則a4，且a2，所以實數(shù)a的取值范圍是2,414已知x，則的最小值為_答案22解析設(shè)tx1，則xt1，所以2t222，當(dāng)且僅當(dāng)t時等號成立，所以所求最小值為22.15某傳媒大學(xué)的甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別從影視配音、廣播電視、公共演講、播音主持四門課程中選修一門，且這四位同學(xué)選修的課程互不相同下面是關(guān)于他們選課的一些信息：甲同學(xué)和丙同學(xué)均不選播音主持，也不選廣播電視；乙同學(xué)不選廣播電視，也不選公共演講；如果甲同學(xué)不選公共演講，那么丁同學(xué)就不選廣播電視若這些信息都是正確的，依據(jù)以上信息可推斷丙同學(xué)選修的課程是_(填影視配音、廣播電視、公共演講、播音主持)答案影視配音解析由知甲和丙均不選播音主持，也不選廣播電視；由知乙不選廣播電視，也不選公共演講；由知如果甲不選公共演講，那么丁就不選廣播電視，綜上得甲、乙、丙均不選廣播電視，故丁選廣播電視，從而甲選公共演講，丙選影視配音，故答案為影視配音16(2018·重慶調(diào)研)已知定義在R上的函數(shù)yf(x)為增函數(shù)，且函數(shù)yf(x1)的圖象關(guān)于點(1,0)成中心對稱，若實數(shù)a，b滿足不等式f(4aa2)f(b22b3)0，則當(dāng)2a4時，a2(b1)2的最大值為_答案20解析易知f(x)是奇函數(shù)，又f(x)是增函數(shù)，4aa2b22b3，|a2|b1|，在平面直角坐標(biāo)系中畫出表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，a2(b1)2表示定點(0,1)到該平面區(qū)域內(nèi)的動點(a，b)的距離的平方，由圖可知動點(a，b)在圖中點(4,3)或點(4，1)處時，a2(b1)2取得最大值，最大值為422220.三、解答題(本題共4小題，共50分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(12分)已知函數(shù)f(x)2x.(1)若x(1，)，求f(x)的最小值，并指出此時x的值；(2)求不等式f(x)2x2的解集解(1)由x(1，)可得x1>0.因為f(x)2x2x22422，所以f(x)2，當(dāng)且僅當(dāng)2x2，即x0時取等號故f(x)的最小值為2，此時x0.(2)由f(x)2x2，得0，所以1<x0，故所求不等式的解集為(1,018(12分)已知函數(shù)f(x)(3x1)a2xb.(1)若f，且a>0，b>0，求ab的最大值；(2)當(dāng)x0,1時，f(x)1恒成立，且2a3b3，求z的取值范圍解(1)因為f(x)(3a2)xba，f，所以ab，即ab8.因為a>0，b>0，所以ab2，即4，所以ab16，當(dāng)且僅當(dāng)ab4時等號成立，所以ab的最大值為16.(2)因為當(dāng)x0,1時，f(x)1恒成立，且2a3b3，所以且2a3b3，即作出此不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示(含邊界)由圖可得經(jīng)過可行域內(nèi)的點(a，b)與點(1，1)的直線的斜率的取值范圍是，所以z1的取值范圍是.19(13分)2019年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，已知該設(shè)備全年需投入固定成本2 500萬元，每生產(chǎn)x百輛新能源汽車，需另投入成本C(x)萬元，且C(x)由市場調(diào)研知，若每輛新能源汽車售價5萬元，則全年內(nèi)生產(chǎn)的新能源汽車當(dāng)年能全部售完(1)求該企業(yè)2019年的利潤L(x)萬元關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：百輛)的函數(shù)解析式(利潤銷售額成本)；(2)2019年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤解(1)當(dāng)0<x<40時，L(x)5×100x10x2100x250010x2400x2500；當(dāng)x40時，L(x)5×100x501x450025002000.所以L(x)(2)當(dāng)0<x<40時，L(x)10(x20)21500，所以當(dāng)0<x<40時，L(x)maxL(20)1500；當(dāng)x40時，L(x)20002000220002001800，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x100時取等號，所以L(x)maxL(100)1800.因為1800>1500，所以當(dāng)x100，即2019年年產(chǎn)量為100百輛時，該企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為1800萬元20(13分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足4Sn與2an的等差中項為3(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)是否存在正整數(shù)k，使不等式k(1)na<Sn(nN*)恒成立；若存在，求出k的最大值；若不存在，請說明理由；(3)設(shè)·n(nN*)，若集合Mn|bn，nN*恰有4個元素，求實數(shù)的取值范圍解(1)由4Sn與2an的等差中項為3，得4Sn2an6，當(dāng)n2時，4Sn12an16，得anan1.又因為在式中，令n1，得a11，所以數(shù)列an是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列an的通項公式為an(nN*)(2)原問題等價于k(1)n2(n1)<(nN*)恒成立當(dāng)n為奇數(shù)時，對任意正整數(shù)為k，不等式恒成立；當(dāng)n為偶數(shù)時，原不等式等價于2k2(n1)n13<0恒成立，令n1t,0<t，則原不等式等價于2kt2t3<0對0<t恒成立，kN*.因為f(t)2kt2t3在區(qū)間上單調(diào)遞增，故f(t)maxfk<0，即k<12.綜上，正整數(shù)k的最大值為11.(3)由·n(nN*)及an，得bn，bn1bn，當(dāng)n1時，b2>b1；當(dāng)n2時，bn1<bn，且b1，b22，b3，b4，b5.由集合Mn|bn，nN*恰有4個元素，得<，即實數(shù)的取值范圍為.10