第9講二次函數(shù)與冪函數(shù)夯實基礎(chǔ)【p22】【學(xué)習(xí)目標】1熟練掌握二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)及其與一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系2了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，y，yx的圖象了解它們的變化情況【基礎(chǔ)檢測】1函數(shù)y2的頂點坐標是()A(1，2)B(1，2)C(1，2)D(1，2)【解析】y22，頂點坐標是(1，2)【答案】C2冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(2，4)，則該冪函數(shù)的解析式為()Ay2xByx2Cyx2Dy2x【解析】設(shè)f(x)x，其圖象過點(2，4)，24，2，即f(x)x2.故選B.【答案】B3已知函數(shù)fx22ax3在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()A.B.C.D.【解析】函數(shù)f(x)x22ax3的圖象開口向上，對稱軸為直線xa，畫出草圖如圖所示由圖象可知，函數(shù)在a，)上是單調(diào)增函數(shù)，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上是單調(diào)增函數(shù)，只需a1，從而a(，1故選B.【答案】B4若冪函數(shù)fxm1在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)m的值為_【解析】由于函數(shù)為冪函數(shù)，故m2m11，解得m2，m1，當m1時，函數(shù)在為減函數(shù)，故m2.【答案】2【知識要點】1五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域RRR_x|x0_x|x0_值域R_y|y0_R_y|y0_y|y0_奇偶性_奇_偶_奇_非奇非偶_奇_單調(diào)性_增_(，0)減，(0，)增_增_增_(，0)和(0，)減_公共點(1，1)2.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)_ax2bxc(a0)_；(2)頂點式：f(x)_a(xm)2n(a0)_；(3)零點式：f(x)_a(xx1)(xx2)(a0)_3二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)f(x)ax2bxca>0a<0圖象定義域xR值域單調(diào)性在上遞減，在上遞增在上遞增，在上遞減奇偶性b0時為偶函數(shù)，b0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)圖象特點對稱軸：x；頂點：典例剖析【p23】考點1冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)函數(shù)y的圖象是()【解析】函數(shù)y可化為yx3，當x時，求得y<，選項B，D不合題意，可排除選項B，D；當x2時，求得y8>2，選項A不合題意，可排除選項A，故選C.【答案】C(2)已知冪函數(shù)f(x)x的圖象過點(4，2)若f(m)3，則實數(shù)m的值為()A.B±C±9D9【解析】依題意有24，得，所以f(x)x，當f(m)m3時，m9.【答案】D(3)已知冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點，且f(a1)<f(102a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1，5)B(，3)C(3，)D(3，5)【解析】設(shè)fx，4，函數(shù)fx為減函數(shù)，所求不等式轉(zhuǎn)化為a1>102a>0，解不等式得實數(shù)a的取值范圍是.【答案】D(4)設(shè)a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是_【解析】yx(x>0)為增函數(shù)，a>c.y(xR)為減函數(shù)，c>b.a>c>b.【答案】a>c>b【小結(jié)】(1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個參數(shù)，因此只需一個條件即可確定其解析式(2)若冪函數(shù)yx(R)是偶函數(shù)，則必為偶數(shù)當是分數(shù)時，一般將其先化為根式，再判斷(3)若冪函數(shù)yx在(0，)上單調(diào)遞增，則>0；若在(0，)上單調(diào)遞減，則<0.考點2二次函數(shù)的解析式的求法已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式【解析】法一(利用一般式)：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得所求二次函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.法二(利用頂點式)：設(shè)f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，拋物線的對稱軸為x.m.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，n8.yf(x)a8.f(2)1，a81，解得a4，f(x)484x24x7.法三(利用零點式)：由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍)所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.【小結(jié)】求二次函數(shù)解析式的方法考點3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)已知函數(shù)fx22ax5.(1)若f的定義域和值域均是，求實數(shù)a的值；(2)若f在區(qū)間上是減函數(shù)，且對任意的x，都有f0，求實數(shù)a的取值范圍【解析】(1)fx22ax5，f在上單調(diào)遞減，又a>1，f在上單調(diào)遞減，a2.(2)f在區(qū)間上是減函數(shù)，a2.，ff，x時，ff，又對任意的x，都有f0，f0，即12a50，a3.【小結(jié)】涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)要抓住開口、對稱軸、與坐標軸的交點考點4二次函數(shù)的最值求法已知函數(shù)fx2x3.(1)當a2，x時，求函數(shù)f的值域；(2)若函數(shù)f在1，3上的最大值為1，求實數(shù)a的值【解析】(1)當a2時，fx23x3，x，對稱軸x，ff，ff15，函數(shù)f的值域為.(2)函數(shù)f的對稱軸為x.當1，即a時，ff6a3，6a31，即a，滿足題意；當>1，即a<時，ff2a1，2a11，即a1，滿足題意綜上可知a或a1.【小結(jié)】二次函數(shù)最值問題的三種類型及解題思路：(1)類型：對稱軸、區(qū)間都是給定的；對稱軸動、區(qū)間固定；對稱軸定、區(qū)間變動(2)思路：抓“三點一軸”，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸考點5三個二次的綜合應(yīng)用已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，且不等式f(x)<2x的解集為(1，2)(1)若方程f(x)3a0有兩個相等的實根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最小值不大于3a，求實數(shù)a的取值范圍【解析】f(x)<2x的解集為(1，2)，ax2(b2)xc<0的解集為(1，2)，a>0，且方程ax2(b2)xc0的兩根為1和2，即f(x)ax2(2a)x2a(a>0)(1)方程f(x)3a0有兩個相等的實根，即ax2(2a)xa0有兩個相等的實根，(2a)24a203a24a40, a2(舍)或a，a>0，a，f(x)x2x.(2)f(x)ax2(2a)x2aa，a>0，f(x)的最小值為，則3a，3a24a40，解得2a，a>0，0<a.【小結(jié)】(1)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時，一般需借助二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)來解(2)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助二次函數(shù)的圖象來解，一般從以下四個方面分析：開口方向；對稱軸位置；判別式；端點函數(shù)值符號【能力提升】已知函數(shù)f(x)x21，g(x)a|x1|.(1)若當xR時，不等式f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)求函數(shù)h(x)|f(x)|g(x)在區(qū)間0，2上的最大值【解析】(1)不等式f(x)g(x)對任意xR恒成立，即x21a|x1|(*)對任意xR恒成立當x1時，(*)顯然成立，此時aR；當x1時，(*)可變形為a，令(x)因為當x>1時，(x)>2，當x<1時，(x)>2，所以(x)>2，故此時a2.綜合，得所求實數(shù)a的取值范圍是(，2(2)h(x)當0，即a0時，(x2axa1)maxh(0)a1，(x2axa1)maxh(2)a3.此時，h(x)maxa3.當0<1，即2a<0時，(x2axa1)maxha1，(x2axa1)maxh(2)a3.此時h(x)maxa3.當1<2，即4a<2時，(x2axa1)maxh(1)0，(x2axa1)maxmaxh(1)，h(2)max0，3a此時h(x)max當>2，即a<4時，(x2axa1)maxh(1)0，(x2axa1)maxh(1)0.此時h(x)max0.綜上，h(x)max方法總結(jié)【p24】1二次函數(shù)、一元二次不等式和一元二次方程是一個有機的整體，要深刻理解它們之間的關(guān)系，運用函數(shù)方程的思想、方法將它們進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化，這是準確迅速解決此類問題的關(guān)鍵2對二次函數(shù)yax2bxc(a0)在m，n上的最值的研究是本講內(nèi)容的重點，對如下結(jié)論必須熟練掌握：(1)當xm，n時，是它的一個最值，另一個最值在區(qū)間端點取得(2)當xm，n時，最大值和最小值分別在區(qū)間的兩個端點處取得(3)二次函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題的處理，常常要利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想3二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，當a0且0時f(x)0恒成立；當a0且0時f(x)0恒成立4二次函數(shù)問題大多通過數(shù)形結(jié)合求解，同時注意分類討論和等價轉(zhuǎn)化走進高考【p24】1(2017·浙江)若函數(shù)f(x)x2axb在區(qū)間0，1上的最大值是M，最小值是m，則Mm()A與a有關(guān)，且與b有關(guān)B與a有關(guān)，但與b無關(guān)C與a無關(guān)，且與b無關(guān)D與a無關(guān)，但與b有關(guān)【解析】因為最值在f(0)b，f(1)1ab，fb中取，所以最值之差一定與b無關(guān)，選B.【答案】B- 9 -