2、∠PF1F2＝30°，則C的離心率為( )
A. B. C. D.
解析 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因為∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.故e＝＝＝.故選D.
答案 D
4.(2015·全國Ⅰ卷)已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|＝( )
A.3 B.6 C.9 D.12
解析 拋物線C：y2＝8x的焦點坐標為(2，0)，準線方程為x＝－2.從而橢圓E的半焦距c＝2.可設橢圓E的方程為＋＝1(a＞b＞0)，因為離心率e＝＝，所以
3、a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由題意知|AB|＝＝2×＝6.故選B.
答案 B
5.(2016·江西師大附中模擬)橢圓ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)與直線y＝1－x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為，則的值為( )
A. B. C. D.
解析 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，＝－1，
＝－1，∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故選B.
答案 B
二、填空題
6.焦距是8，離心率等于0.8的橢圓的標準方程為________.
解析 由題意知解得
又b2＝a
4、2－c2，∴b2＝9，∴b＝3.
當焦點在x軸上時，橢圓方程為＋＝1，
當焦點在y軸上時，橢圓方程為＋＝1.
答案?。?或＋＝1
7.(2017·昆明質(zhì)檢)橢圓＋＝1上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，當m取最大值時，點P的坐標是________.
解析 記橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
則m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，當且僅當|PF1|＝|PF2|＝5，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.
∴點P的坐標為(－3，0)或(3，0).
答案 (－3，0)或(3，0)
8.(2017·烏魯木齊調(diào)研)已知F1(－c，0)
5、，F(xiàn)2(c，0)為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且·＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________.
解析 設P(x，y)，則·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
將y2＝b2－x2代入①式解得
x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
答案
三、解答題
9.設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.
(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；
(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，
6、求a，b.
解 (1)根據(jù)c＝及題設知M，2b2＝3ac.
將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去).故C的離心率為.
(2)由題意，知原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0，2)是線段MF1的中點，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
設N(x1，y1)，由題意知y1＜0，則
即
代入C的方程，得＋＝1.②
將①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2 .
10.(2017·興義月考)已知點M(，)在橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上，且橢圓的離心率
7、為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(－3，2)，求△PAB的面積.
解 (1)由已知得
解得
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設直線l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為D(x0，y0).
由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
則x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，
即D.
因為AB是等腰三角形PAB的底邊，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此時x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
則|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，
又點P到
8、直線l：x－y＋2＝0的距離為d＝，
所以△PAB的面積為S＝|AB|·d＝.
11.(2016·海滄實驗中學模擬)已知直線l：y＝kx＋2過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上頂點B和左焦點F，且被圓x2＋y2＝4截得的弦長為L，若L≥，則橢圓離心率e的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析 依題意，知b＝2，kc＝2.
設圓心到直線l的距離為d，則L＝2≥，
解得d2≤.又因為d＝，所以≤，
解得k2≥.
于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.故選B.
答案 B
12.橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，若∠F1PF2
9、為鈍角，則點P的橫坐標的取值范圍是________.
解析 設橢圓上一點P的坐標為(x，y)，
則＝(x＋，y)，＝(x－，y).
∵∠F1PF2為鈍角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
即x2<2，∴x2<.
解得－b>0)的右焦點，直線y＝與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________.
解析 由已知條件易得B，C，F(xiàn)(c，0)，∴＝，＝，
由∠BFC＝90°，可得·＝0，
所以＋＝0，
10、
c2－a2＋b2＝0，
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，
∴3c2＝2a2.
所以＝，則e＝＝.
答案
14.(2017·沈陽質(zhì)監(jiān))已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝6，直線y＝kx與橢圓交于A，B兩點.
(1)若△AF1F2的周長為16，求橢圓的標準方程；
(2)若k＝，且A，B，F(xiàn)1，F(xiàn)2四點共圓，求橢圓離心率e的值；
(3)在(2)的條件下，設P(x0，y0)為橢圓上一點，且直線PA的斜率k1∈(－2，－1)，試求直線PB的斜率k2的取值范圍.
解 (1)由題意得c＝3，根據(jù)2a＋2c＝16，得a＝5.
結合a2＝b
11、2＋c2，
解得a2＝25，b2＝16.
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
(2)法一 由得x2－a2b2＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝0，x1x2＝，
由AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，易知，AF2⊥BF2，
因為＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，
所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，
所以有＝－8，
結合b2＋9＝a2，
解得a2＝12，∴e＝.
法二 設A(x1，y1)，又AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，所以AB，F(xiàn)1F2是圓的直徑，所以x＋y＝9，
又由橢圓及直線方程綜合可得
由前兩個方程解得x＝8，y＝1，
將其代入第三個方程并結合b2＝a2－c2＝a2－9，
解得a2＝12，故e＝.
(3)由(2)的結論知，橢圓方程為＋＝1，
由題可設A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，所以k1k2＝，
又＝＝－.
即k2＝－，
由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.
故直線PB的斜率k2的取值范圍是.
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（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第5講 橢圓練習（含解析）
