考點規(guī)范練35空間向量及其運算一、基礎(chǔ)鞏固1.若向量c垂直于不共線的向量a和b,d=a+b(,R,且0),則()A.cdB.cdC.c不平行于d,c也不垂直于dD.以上三種情況均有可能2.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,則與的值可以是()A.2,12B.-13,12C.-3,2D.2,23.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a(a-b),則實數(shù)的值為()A.-2B.-143C.145D.24.已知A,B,C,D是空間不共面的四點,且滿足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,M為BC的中點,則AMD是()A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不確定5.下列命題:若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行;若向量a,b所在的直線為異面直線,則向量a,b一定不共面;若三個向量a,b,c兩兩共面,則向量a,b,c共面;已知空間的三個向量a,b,c,則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正確命題的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.36.在空間四邊形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC的值為()A.-1B.0C.1D.27.已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a的夾角為60°的是()A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)8.若平面,的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則()A.B.C.,相交但不垂直D.以上均不正確9.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AB=BC=AA1,ABC=90°,點E,F分別是棱AB,BB1的中點,則異面直線EF和BC1所成的角是. 10.已知點O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),點Q在直線OP上運動,當QA·QB最小時,點Q的坐標是. 11.在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',ACB=90°,D,E分別為AB,BB'的中點.(1)求證:CEA'D;(2)求異面直線CE與AC'所成角的余弦值.二、能力提升12.在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,若AC'=xAB+2yBC-3zCC',則x+y+z=()A.1B.76C.56D.2313.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E,F分別是BC,AD的中點,則AE·AF的值為()A.a2B.12a2C.14a2D.34a214.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是CD,PC的中點,并且PA=AD=1.在如圖所示的空間直角坐標系中,MN=. 三、高考預測15.如圖所示的直三棱柱ABC-A1B1C1,在其底面ABC中,CA=CB=1,BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.(1)求BN的模;(2)求cos<BA1,CB1>的值;(3)求證:A1BC1M.考點規(guī)范練35空間向量及其運算1.B解析由題意得,c垂直于由a,b確定的平面.d=a+b,d與a,b共面.cd.2.A解析ab,存在kR,使b=ka,即(6,2-1,2)=k(+1,0,2),6=k(+1),2-1=0,2=2k,解得=2,=12或=-3,=12.3.D解析由題意知a·(a-b)=0,即a2-a·b=0,14-7=0.=2.4.C解析M為BC的中點,AM=12(AB+AC).AM·AD=12(AB+AC)·AD=12AB·AD+12AC·AD=0.AMAD,AMD為直角三角形.5.A解析若a與b共線,則a,b所在直線也可能重合,故不正確;根據(jù)自由向量的定義知,空間任兩個向量a,b都共面,故不正確;三個向量a,b,c中任兩個一定共面,但它們?nèi)齻€卻不一定共面,故不正確;只有當a,b,c不共面時,空間任意一向量p才能表示為p=xa+yb+zc,故不正確,綜上可知,四個命題中正確的個數(shù)為0,故選A.6.B解析(方法一)如圖,令AB=a,AC=b,AD=c,則AB·CD+AC·DB+AD·BC=AB·(AD-AC)+AC·(AB-AD)+AD·(AC-AB)=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.(方法二)在三棱錐A-BCD中,不妨令其各棱長都相等,由正四面體的對棱互相垂直可知,AB·CD=0,AC·DB=0,AD·BC=0.故AB·CD+AC·DB+AD·BC=0.7.B解析對于選項B,設b=(1,-1,0),則cos<a,b>=a·b|a|b|=1×12×2=12.因為0°<a,b>180°,所以<a,b>=60°,故選B.8.C解析n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)0,n1與n2不垂直.又-32-13-45,n1與n2也不共線.與相交但不垂直.9.60°解析以BC,BA,BB1所在的直線為x軸、y軸、z軸、建立空間直角坐標系,如圖.設AB=BC=AA1=2,則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),則EF=(0,-1,1),BC1=(2,0,2),EF·BC1=2,cos<EF,BC1>=22×22=12,EF和BC1所成的角為60°.10.43,43,83解析設OQ=OP=(,2),則QA=(1-,2-,3-2),QB=(2-,1-,2-2).故QA·QB=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6-432-23.所以當=43時,QA·QB取得最小值-23,此時OQ=43,43,83.所以點Q的坐標是43,43,83.11.(1)證明設CA=a,CB=b,CC'=c,根據(jù)題意,得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0,CE=b+12c,A'D=-c+12b-12a.CE·A'D=-12c2+12b2=0.CEA'D,即CEA'D.(2)解AC'=-a+c,|AC'|=2|a|,|CE|=52|a|.AC'·CE=(-a+c)·b+12c=12c2=12|a|2,cos<AC',CE>=12|a|22·52|a|2=1010.即異面直線CE與AC'所成角的余弦值為1010.12.B解析AC'=AC+CC'=AD+AB+CC'=AB+BC+CC'=xAB+2yBC-3zCC',x=1,y=12,z=-13,x+y+z=1+12-13=76.13.C解析如圖,設AB=a,AC=b,AD=c,則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三個向量兩兩的夾角為60°.AE=12(a+b),AF=12c,AE·AF=12(a+b)·12c=14(a·c+b·c)=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a2.14.22解析連接PD,M,N分別為CD,PC的中點,MN=12PD.又P(0,0,1),D(0,1,0),PD=02+(-1)2+12=2,MN=22.15.解如圖,建立空間直角坐標系Oxyz.(1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3.(2)依題意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1·CB1=3,|BA1|=6,|CB1|=5.cos<BA1,CB1>=BA1·CB1|BA1|CB1|=3010.(3)證明:依題意,得C1(0,0,2),M12,12,2,A1B=(-1,1,-2),C1M=12,12,0,A1B·C1M=-12+12+0=0.A1BC1M,A1BC1M.7