考點(diǎn)規(guī)范練40空間向量及其運(yùn)算基礎(chǔ)鞏固組1.在下列命題中:若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行;若向量a,b所在的直線為異面直線,則向量a,b一定不共面;若三個(gè)向量a,b,c兩兩共面,則向量a,b,c共面;已知空間的三個(gè)向量a,b,c,則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x,y,z,使得p=xa+yb+zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案A解析a與b共線,a,b所在直線也可能重合,故不正確;根據(jù)自由向量的意義知,空間任意兩向量a,b都共面,故錯(cuò)誤;三個(gè)向量a,b,c中的任兩個(gè)一定共面,但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面,故不正確;只有當(dāng)a,b,c不共面時(shí),空間任意一向量p才能表示為p=xa+yb+zc,故不正確.綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0,故選A.2.(2017浙江臺(tái)州統(tǒng)考)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且ab,則實(shí)數(shù)m的值等于()A.32B.-2C.0D.32或-2答案B解析ab,2m+12=3m=m-1-m,解得m=-2.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn),則sin<CM,D1N>的值為()A.19B.459C.259D.23答案B解析如圖,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則易得CM=(2,-2,1),D1N=(2,2,-1),cos<CM,D1N>=CM·D1N|CM|D1N|=-19,sin<CM,D1N>=1-192=459.4.已知在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17),則這四個(gè)點(diǎn)()A.共線B.共面C.不共面D.不能確定答案B解析易知AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),設(shè)AD=xAB+yAC,則(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y),即9=3x+y,14=4x+2y,16=5x+2y,解得x=2,y=3,即AD=2AB+3AC,從而A,B,C,D四點(diǎn)共面.5.在四面體O-ABC中,點(diǎn)M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點(diǎn),若OG=13OA+x4OB+x4OC,則使點(diǎn)G與點(diǎn)M,N共線的x的值為()A.1B.2C.23D.43答案A解析ON=12(OB+OC),OM=23OA.假設(shè)點(diǎn)G與點(diǎn)M,N共線,則存在實(shí)數(shù)使得OG=ON+(1-)OM=2(OB+OC)+2(1-)3OA,與OG=13OA+x4OB+x4OC比較可得2(1-)3=13,2=x4,解得x=1.故選A.6.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點(diǎn).化簡(jiǎn)A1O-12AB-12AD=. 答案A1A解析A1O-12AB-12AD=A1O-12(AB+AD)=A1O-AO=A1O+OA=A1A.7.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),|a|=6,且ab,則x+y=. 答案1或-3解析ab,a·b=4+4y+2x=0.又|a|=6=4+16+x2,x=4,y=-3,或x=-4,y=1.故x+y=1或x+y=-3.8.已知點(diǎn)O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),當(dāng)QA·QB取得最小值時(shí),OQ的坐標(biāo)是. 答案43,43,83解析點(diǎn)Q在直線OP上,設(shè)點(diǎn)Q(,2),則QA=(1-,2-,3-2),QB=(2-,1-,2-2),QA·QB=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6-432-23.即當(dāng)=43時(shí),QA·QB取得最小值-23.此時(shí)OQ=43,43,83.能力提升組9.已知向量a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),則|b-a|的最小值為()A.5B.6C.2D.3答案C解析a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),|b-a|=(-1-t)2+(t-1)2+t2=3t2+2,當(dāng)t=0時(shí),|b-a|取得最小值2.故選C.10.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則AE·AF的值為()A.a2B.12a2C.14a2D.34a2答案C解析設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量?jī)蓛蓨A角為60°.AE=12(a+b),AF=12c,AE·AF=12(a+b)·12c=14(a·c+b·c)=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a2.11.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,O是底面ABCD的中心,E,F分別是CC1,AD的中點(diǎn),則異面直線OE與FD1所成角的余弦值為()A.105B.155C.45D.23答案B解析OE=12AC1=12(AB+AD+AA1),FD1=12AD+AA1,OE·FD1=12(AB+AD+AA1)·12AD+AA1=1212AB·AD+AB·AA1+12AD2+AD·AA1+12AA1·AD+AA12=12(2+4)=3.而|OE|=1222+22+22=3,|FD1|=5,cos<OE,FD1>=315=155.故選B.12.若a,b,c是空間的一個(gè)基底,且向量p=xa+yb+zc,則(x,y,z)叫向量p在基底a,b,c下的坐標(biāo).已知a,b,c是空間的一個(gè)基底,a+b,a-b,c是空間的另一個(gè)基底,一向量p在基底a,b,c下的坐標(biāo)為(4,2,3),則向量p在基底a+b,a-b,c下的坐標(biāo)是()A.(4,0,3)B.(3,1,3)C.(1,2,3)D.(2,1,3)答案B解析設(shè)p在基底a+b,a-b,c下的坐標(biāo)為x,y,z,則p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,p在a,b,c下的坐標(biāo)為(4,2,3),p=4a+2b+3c,由得x+y=4,x-y=2,z=3,x=3,y=1,z=3,即p在a+b,a-b,c下的坐標(biāo)為(3,1,3).13.已知e1,e2是空間單位向量,e1·e2=12.若空間向量b滿足b·e1=2,b·e2=52,且對(duì)于任意x,yR,|b-(xe1+ye2)|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0R),則|b|為()A.2B.8C.2D.22答案D解析設(shè)e3為空間單位向量,且滿足e3e2,e3e1,|b-(x0e1+y0e2)|=1,故設(shè)b=x0e1+y0e2+e3,b·e1=2,即(x0e1+y0e2+e3)·e1=2,得x0+12y0=2.又b·e2=52,即(x0e1+y0e2+e3)·e2=52,得12x0+y0=52,解2x0+y0=4,x0+2y0=5得x0=1,y0=2,此時(shí),b=e1+2e2+e3,|b|=e12+4e22+e32+4e1·e2+2e2·e3+4e2·e3=1+4+1+4×12+0+0=8=22.14.如圖,在平行六面體ABCD-EFGH中,棱AB,AD,AE的長(zhǎng)分別為3,4,5,且EAD=EAB=DAB=120°,設(shè)AB=a,AD=b,AE=c,則用a,b,c表示AG=;BH的長(zhǎng)為. 答案a+b+c57解析因?yàn)锳G=AB+AD+AE=a+b+c,BH=AH-AB=AD+AE-AB=b+c-a,所以|BH|=(b+c-a)2=57.15.已知OA,OB,OC是空間兩兩垂直的單位向量,OP=xOA+yOB+zOC,且x+2y+4z=1,則|OP-OA-OB|的最小值為. 答案22121解析根據(jù)題意可得|OP-OA-OB|=(x-1)2+(y-1)2+z2=(2y+4z)2+(y-1)2+z2=5y2+17z2+16yz-2y+1=17z+817y2+2117y-17212+1-1721421=22121.16.如圖,四棱錐O-ABCD中,AC垂直平分BD,|OB|=2,|OD|=1,則(OA+OC)·(OB-OD)的值是. 答案3解析如圖所示,四棱錐O-ABCD中,設(shè)AC,BD交于點(diǎn)E,由題意ACBD,DE=BE,所以O(shè)B+OD=2OE,EA·DB=EC·DB.又|OB|=2,|OD|=1,所以(OA+OC)·(OB-OD)=(OE+EA+OE+EC)·(OB-OD)=(2OE+EA+EC)·(OB-OD)=2OE·(OB-OD)+(EA+EC)·DB=(OB+OD)·(OB-OD)=OB2-OD2=22-12=3.17.已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積;(2)若|a|=3,且a分別與AB,AC垂直,求向量a的坐標(biāo).解(1)由題意可得AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos<AB,AC>=AB·AC|AB|AC|=-2+3+614×14=714=12.所以sin<AB,AC>=32,所以以AB,AC為邊的平行四邊形的面積為S=2×12|AB|·|AC|·sin<AB,AC>=14×32=73.(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,解得x=1,y=1,z=1或x=-1,y=-1,z=-1.所以向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(-1,-1,-1).18.(2018浙江嘉興)已知BOD=120°,OC是BOD的平分線,沿OC將DOC翻折到AOC的位置,使得AOB=60°(如圖),設(shè)OA=OB=OC=1,記OA=a,OB=b,OC=c,BC的中點(diǎn)為M,(1)試用a,b,c表示AC和OM;(2)求異面直線AC與OM所成角的余弦值.解(1)由題意知AC=OC-OA=c-a,BM=12BC=12(OC-OB)=c-b2,OM=OB+BM=b+c-b2=b+c2.(2)|a|=|b|=|c|=1,a·b=a·c=b·c=12,|AC|=|c-a|=c2-2c·a+a2=1,|OM|=b+c2=12b2+2b·c+c2=32,AC·OM=(c-a)·b+c2=12(c2+b·c-a·b-a·c)=14.設(shè)AC,OM的夾角為,則cos=AC·OM|AC|OM|=36.故異面直線AC與OM所成角的余弦值為36.7