題型練8大題專(zhuān)項(xiàng)(六)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題題型練第62頁(yè) 1.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(1)若曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)與x軸平行,求a;(2)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.解:(1)因?yàn)閒(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex,所以f'(x)=2ax-(4a+1)ex+ax2-(4a+1)x+4a+3ex=ax2-(2a+1)x+2ex(xR).f'(1)=(1-a)e.由題設(shè)知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此時(shí)f(1)=3e0,所以a的值為1.(2)由(1)得f'(x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(ax-1)(x-2)ex.若a>12,則當(dāng)x1a,2時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x(2,+)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在x=2處取得極小值.若a12,則當(dāng)x(0,2)時(shí),x-2<0,ax-112x-1<0,所以f'(x)>0.所以2不是f(x)的極小值點(diǎn).綜上可知,a的取值范圍是12,+.2.已知f(x)=ax-ln(-x),x-e,0),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),aR.(1)當(dāng)a=-1時(shí),證明:f(x)+ln(-x)x>12.(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值為3?如果存在,求出a的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明由題意可知,所證不等式為f(x)>12-ln(-x)x,x-e,0).因?yàn)閒'(x)=-1-1x=-x+1x,所以當(dāng)-ex<-1時(shí),f'(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)-1<x<0時(shí),f'(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)在區(qū)間-e,0)內(nèi)有唯一極小值f(-1)=1,即f(x)在區(qū)間-e,0)內(nèi)的最小值為1;令h(x)=12-ln(-x)x,x-e,0),則h'(x)=ln(-x)-1x2,當(dāng)-ex<0時(shí),h'(x)0,故h(x)在區(qū)間-e,0)內(nèi)單調(diào)遞減,所以h(x)max=h(-e)=1e+12<12+12=1=f(x)min.所以當(dāng)a=-1時(shí),f(x)+ln(-x)x>12.(2)解假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)=ax-ln(-x)的最小值為3,f'(x)=a-1x,x-e,0).若a-1e,由于x-e,0),則f'(x)=a-1x0,所以函數(shù)f(x)=ax-ln(-x)在區(qū)間-e,0)內(nèi)是增函數(shù),所以f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,解得a=-4e<-1e,與a-1e矛盾,舍去.若a<-1e,則當(dāng)-ex<1a時(shí),f'(x)=a-1x<0,此時(shí)f(x)=ax-ln(-x)是減函數(shù),當(dāng)1a<x<0時(shí),f'(x)=a-1x>0,此時(shí)f(x)=ax-ln(-x)是增函數(shù),所以f(x)min=f1a=1-ln-1a=3,解得a=-e2.綜上知,存在實(shí)數(shù)a=-e2,使f(x)的最小值為3.3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,bR).(1)試討論f(x)的單調(diào)性;(2)若b=c-a(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(-,-3)1,3232,+,求c的值.解:(1)f'(x)=3x2+2ax,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-2a3.當(dāng)a=0時(shí),因?yàn)閒'(x)=3x2>0(x0),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),x-,-2a3(0,+)時(shí),f'(x)>0,x-2a3,0時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間-,-2a3,(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間-2a3,0內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)a<0時(shí),x(-,0)-2a3,+時(shí),f'(x)>0,x0,-2a3時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,0),-2a3,+內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間0,-2a3內(nèi)單調(diào)遞減.(2)由(1)知,函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為f(0)=b,f-2a3=427a3+b,則函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0)·f-2a3=b427a3+b<0,從而a>0,-427a3<b<0或a<0,0<b<-427a3.又b=c-a,所以當(dāng)a>0時(shí),427a3-a+c>0或當(dāng)a<0時(shí),427a3-a+c<0.設(shè)g(a)=427a3-a+c,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(-,-3)1,3232,+,則在(-,-3)內(nèi)g(a)<0,且在1,3232,+內(nèi)g(a)>0均恒成立,從而g(-3)=c-10,且g32=c-10,因此c=1.此時(shí),f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a,因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則x2+(a-1)x+1-a=0有兩個(gè)異于-1的不等實(shí)根,所以=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a0,解得a(-,-3)1,3232,+.綜上c=1.4.(2019全國(guó),理20)已知函數(shù)f(x)=ln x-x+1x-1.(1)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),證明曲線(xiàn)y=ln x在點(diǎn)A(x0,ln x0)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y=ex的切線(xiàn).(1)解f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1,+).因?yàn)閒'(x)=1x+2(x-1)2>0,所以f(x)在區(qū)間(0,1),(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.因?yàn)閒(e)=1-e+1e-1<0,f(e2)=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0,所以f(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)有唯一零點(diǎn)x1,即f(x1)=0.又0<1x1<1,f1x1=-lnx1+x1+1x1-1=-f(x1)=0,故f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一零點(diǎn)1x1.綜上,f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).(2)證明因?yàn)?x0=e-lnx0,故點(diǎn)B-lnx0,1x0在曲線(xiàn)y=ex上.由題設(shè)知f(x0)=0,即lnx0=x0+1x0-1,故直線(xiàn)AB的斜率k=1x0-lnx0-lnx0-x0=1x0-x0+1x0-1-x0+1x0-1-x0=1x0.曲線(xiàn)y=ex在點(diǎn)B-lnx0,1x0處切線(xiàn)的斜率是1x0,曲線(xiàn)y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處切線(xiàn)的斜率也是1x0,所以曲線(xiàn)y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y=ex的切線(xiàn).5.(2019山東煙臺(tái)一模)已知函數(shù)f(x)=ex-2ax+3a2e-x(aR),其中e=2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x(0,+)時(shí),ex(x-a)+3a2e-x-x2-a2+10>f(x)恒成立,求a的取值范圍.解:(1)由題意可知,f'(x)=ex-2a-3a2e-x=e2x-2aex-3a2ex=(ex-3a)(ex+a)ex.當(dāng)a=0時(shí),f'(x)=ex>0,此時(shí)f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,解得x=ln(3a),當(dāng)x(-,ln(3a)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(ln(3a),+)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時(shí),令f'(x)=0,解得x=ln(-a),當(dāng)x(-,ln(-a)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(ln(-a),+)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;綜上可知,當(dāng)a=0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),x(-,ln(3a)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,x(ln(3a),+)時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時(shí),x(-,ln(-a)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,x(ln(-a),+)時(shí),f(x)單調(diào)遞增.(2)由ex(x-a)+3a2e-x-x2-a2+10>f(x),可得,ex(x-a-1)-x2+2ax-a2+10>0,令g(x)=ex(x-a-1)-x2+2ax-a2+10,只需在x(0,+)時(shí)使g(x)min>0即可.g'(x)=ex(x-a-1)+ex-2x+2a=(ex-2)(x-a),當(dāng)a0時(shí),x-a>0.當(dāng)0<x<ln2時(shí),g'(x)<0,當(dāng)x>ln2時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在區(qū)間(0,ln2)內(nèi)是減函數(shù),在區(qū)間(ln2,+)內(nèi)是增函數(shù),只需g(ln2)=-a2+(2ln2-2)a-(ln2)2+2ln2+8>0,解得ln2-4<a<ln2+2,所以ln2-4<a0;當(dāng)0<a<ln2時(shí),g(x)在區(qū)間(0,a)內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間(a,ln2)內(nèi)是減函數(shù),在區(qū)間(ln2,+)內(nèi)是增函數(shù),則g(ln2)>0,g(0)0,解得0<a<ln2;當(dāng)a=ln2時(shí),g'(x)0,g(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)是增函數(shù),而g(0)=9-ln2-(ln2)2>0成立;當(dāng)a>ln2時(shí),g(x)在區(qū)間(0,ln2)內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間(ln2,a)內(nèi)是減函數(shù),在區(qū)間(a,+)內(nèi)是增函數(shù),則g(a)=-ea+10>0,g(0)=9-a-a20,解得ln2<a<ln10.綜上可知,a的取值范圍為(ln2-4,ln10).6.設(shè)函數(shù)f(x)=ablnxx,g(x)=-12x+(a+b)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a,bR,且a0),曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)方程為y=ae(x-1).(1)求b的值;(2)若對(duì)任意x1e,+,f(x)與g(x)的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.解:(1)由f(x)=ablnxx,得f'(x)=ab(1-lnx)x2,由題意得f'(1)=ab=ae.a0,b=e.(2)令h(x)=xf(x)-g(x)=12x2-(a+e)x+aelnx,則任意x1e,+,f(x)與g(x)有且只有兩個(gè)交點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)h(x)在區(qū)間1e,+有且只有兩個(gè)零點(diǎn).由h(x)=12x2-(a+e)x+aelnx,得h'(x)=(x-a)(x-e)x,當(dāng)a1e時(shí),由h'(x)>0得x>e;由h'(x)<0得1e<x<e.此時(shí)h(x)在區(qū)間1e,e內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(e,+)內(nèi)單調(diào)遞增.因?yàn)閔(e)=12e2-(a+e)e+aelne=-12e2<0,h(e2)=12e4-(a+e)e2+2ae=12e(e-2)(e2-2a)12e(e-2)·e2-2e>0(或當(dāng)x+時(shí),h(x)>0亦可),所以要使得h(x)在區(qū)間1e,+內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),則只需h1e=12e2-a+ee+aeln1e=(1-2e2)-2e(1+e2)a2e20,即a1-2e22e(1+e2).當(dāng)1e<a<e時(shí),由h'(x)>0得1e<x<a或x>e;由h'(x)<0得a<x<e.此時(shí)h(x)在區(qū)間(a,e)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間1e,a和(e,+)內(nèi)單調(diào)遞增.此時(shí)h(a)=-12a2-ae-aelna<-12a2-ae+aelne=-12a2<0,即h(x)在區(qū)間1e,+內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意.當(dāng)a>e時(shí),由h'(x)>0得1e<x<e或x>a,由h'(x)<0得e<x<a,此時(shí)h(x)在區(qū)間1e,e和(a,+)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(e,a)上單調(diào)遞減,且h(e)=-12e2<0,即h(x)在區(qū)間1e,+內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意.綜上所述,a的取值范圍為-,1-2e22e(1+e2).8