專題07雙曲線【母題來源一】【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是 .【答案】【解析】由已知得，解得或，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以雙曲線的漸近線方程為.【名師點(diǎn)睛】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的密切相關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)方程中化1為0，即得漸近線方程.【母題來源二】【2018年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是_【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)到漸近線，即的距離為，所以，因此，【母題來源三】【2017年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，其焦點(diǎn)是，則四邊形的面積是_【答案】【解析】右準(zhǔn)線方程為，漸近線方程為，設(shè)，則，所以四邊形的面積【名師點(diǎn)睛】（1）已知雙曲線方程求漸近線：；（2）已知漸近線可設(shè)雙曲線方程為；（3）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，垂足為對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)【命題意圖】通過了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想考查它的簡單幾何性質(zhì)以及雙曲線的簡單應(yīng)用.【命題規(guī)律】雙曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考的熱點(diǎn)，難度中檔，注重對(duì)計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的考查.從近幾年江蘇的高考試題來看，主要的命題角度有：（1）對(duì)雙曲線定義與方程的考查；（2）對(duì)雙曲線簡單幾何性質(zhì)的考查，如求雙曲線的漸近線、準(zhǔn)線、離心率等；（3）雙曲線與其他知識(shí)的綜合，如平面幾何、向量、直線與圓等【方法總結(jié)】（一）對(duì)雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程必須掌握以下內(nèi)容：（1）在求解雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離d時(shí)，一定要注意這一隱含條件（2）求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定雙曲線的類型，也就是確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后利用待定系數(shù)法求出方程中的的值，最后寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（3）在求雙曲線的方程時(shí)，若不知道焦點(diǎn)的位置，則進(jìn)行討論，或可直接設(shè)雙曲線的方程為.（4）常見雙曲線方程的設(shè)法：與雙曲線(a0，b0)有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為或與雙曲線(a0，b0)共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為過兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為與橢圓(a>b>0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為（二）對(duì)于雙曲線的漸近線，有下面兩種考查方式：（1）已知雙曲線的方程求其漸近線方程;（2）給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線方程，由漸近線方程可確定a，b的關(guān)系，結(jié)合已知條件可解.（三）求雙曲線的離心率一般有兩種方法：（1）由條件尋找滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形，即，注意區(qū)分雙曲線中的關(guān)系與橢圓中的關(guān)系，在橢圓中，而在雙曲線中.（2）根據(jù)條件列含的齊次方程，利用雙曲線的離心率公式轉(zhuǎn)化為含或的方程，求解可得，注意根據(jù)雙曲線離心率的范圍對(duì)解進(jìn)行取舍.（四）求解雙曲線的離心率的范圍的方法：一般是根據(jù)條件，結(jié)合和，得到關(guān)于的不等式，求解即得.注意區(qū)分雙曲線離心率的范圍，橢圓離心率的范圍.另外，在建立關(guān)于的不等式時(shí)，注意雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最值的應(yīng)用.1【江蘇省南通市2019屆高三年級(jí)階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線，則點(diǎn)到的漸近線的距離為_【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為：y=±x，點(diǎn)（4，0）到C的漸近線的距離為：=故答案為：.【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題求出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式得到結(jié)果.2【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查（二）數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線C的方程為，則其離心率為_【答案】【解析】由雙曲線C的方程可得：，所以，所以.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，由雙曲線C的方程可求得，問題得解.3【江蘇省2019屆高三第二學(xué)期聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題】若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)的值為_【答案】1【解析】因?yàn)榇黼p曲線，所以，且，所以，解出，故答案為：1.【名師點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，先由雙曲線方程求出，再利用列方程求解.4【江蘇省徐州市2018-2019學(xué)年高三考前模擬檢測數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為_【答案】【解析】由題意得，左準(zhǔn)線方程為，所以，又漸近線方程為：，所以到漸近線的距離為，故填.【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，要求能從標(biāo)準(zhǔn)方程中得到，并計(jì)算出準(zhǔn)線方程、漸近線方程等，此類問題是基礎(chǔ)題.求解時(shí)，先求出左準(zhǔn)線方程，從而得到的坐標(biāo)，利用公式可計(jì)算它到漸近線的距離.5【江蘇省南通市2019屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，則該雙曲線的焦距為_【答案】4【解析】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即，解得，所以該雙曲線的焦距為.故答案為4.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線的焦距，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.求解時(shí)，先由離心率求出，進(jìn)而可求出焦距.6【江蘇省師大附中2019屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的一條漸近線方程為，則它的離心率為_【答案】【解析】根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為y±x，又由該雙曲線的一條漸近線方程為x2y0，即yx，則有，即a2b，所以cb，故該雙曲線的離心率e.故答案為：7【江蘇省七市2019屆(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港)高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離為，則b的值為_【答案】2【解析】由題意得，右頂點(diǎn)為A（ 2，0 ），一條漸近線為bx2y0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，可得b2，故答案為2.【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，熟記雙曲線基本概念，準(zhǔn)確計(jì)算點(diǎn)線距離是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.8【江蘇省南通市基地學(xué)校2019屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為3a，則該雙曲線的漸近線方程為_【答案】【解析】漸近線方程為：，由雙曲線對(duì)稱性可知，兩焦點(diǎn)到兩漸近線的距離均相等，取漸近線，焦點(diǎn)，漸近線方程為：，本題正確結(jié)果：.【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線距離公式，關(guān)鍵在于利用點(diǎn)到直線距離公式建立的等量關(guān)系，求解得到結(jié)果.求解時(shí)，由標(biāo)準(zhǔn)方程可得漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離構(gòu)造方程，求得的值，從而得到漸近線方程.8【江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)、溧陽中學(xué)2018-2019學(xué)年上學(xué)期第二次階段檢測數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的一條漸近線與直線平行，則實(shí)數(shù)_【答案】【解析】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的漸近線方程為y=，漸近線與直線平行，故答案為：【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題9【江蘇省如東中學(xué)2019屆高三年級(jí)第二次學(xué)情測試數(shù)學(xué)試卷】已知傾斜角為的直線l的斜率等于雙曲線的離心率，則_【答案】【解析】雙曲線的離心率，為直線的傾斜角，sin=2sin=，故答案為：.【名師點(diǎn)睛】本題考查的是利用雙曲線的離心率得出tan，再利用三角函數(shù)的倍角公式得出結(jié)果即可，屬于基礎(chǔ)題.由題意知，tan=，sin，利用三角函數(shù)關(guān)系得出結(jié)果即可.10【江蘇省蘇北四市2019屆高三第一學(xué)期期末考試考前模擬數(shù)學(xué)試題】若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線C：的漸近線距離等于，則雙曲線C的離心率為_【答案】【解析】拋物線x24y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），雙曲線C：（a0，b0）的一條漸近線方程為yx，e3，故答案為：3【名師點(diǎn)睛】本題考查了拋物線和雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，先求出拋物線x24y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），和雙曲線的一條漸近線方程為yx，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和離心率公式即可求出11【江蘇省連云港市2019屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線的一條漸近線被圓C:截得的線段長為，則_【答案】2【解析】由于雙曲線為等軸雙曲線，故漸近線方程為，不妨設(shè)漸近線為.圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為.故弦長為，解得.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查直線和圓相交所得弦長公式.對(duì)于雙曲線，漸近線為，對(duì)于雙曲線，漸近線為.直線和圓相交所得弦長的弦長公式為，其中為圓心到直線的距離.12【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三考前模擬（三模）數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右頂點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為_【答案】【解析】雙曲線的右頂點(diǎn)為：，漸近線為：，依題意有：，解得：，雙曲線的方程為：，本題正確結(jié)果：.【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)，利用點(diǎn)到直線距離構(gòu)造出方程.13【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三4月考試數(shù)學(xué)試題】已知雙曲線，過原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】過原點(diǎn)的傾斜角為的直線方程為，解方程組：或則，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓過右焦點(diǎn)，所以，因此有，結(jié)合，化簡得，所以有，解得.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率，解題的關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造向量式，利用求出雙曲線的離心，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.其實(shí)本題也可以根據(jù)平面幾何圖形的性質(zhì)入手，由雙曲線和直線的對(duì)稱性，以線段為直徑的圓過右焦點(diǎn)，顯然，直線的傾斜角為，這樣可以求出的坐標(biāo)，代入雙曲線方程中，也可以求出雙曲線的離心率.14【江蘇省七市(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港)2019屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（）的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)若AOB的面積為，則該雙曲線的離心率為_【答案】2【解析】由題可得：雙曲線（）的右準(zhǔn)線方程為：，兩條漸近線方程分別，由可得：，由雙曲線的對(duì)稱性可得：，所以AOB的面積為，整理得：，即，所以該雙曲線的離心率為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，還考查了方程思想及三角形面積公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.求解時(shí)，由雙曲線的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)可求得：，再由AOB的面積為列方程整理得：，問題得解.15【江蘇省南京市、鹽城市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn).若拋物線的焦點(diǎn)為，且，則雙曲線的漸近線方程為_【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)A(x，y)，因?yàn)?，所以x(1)=5，所以x=4.所以點(diǎn)A(4，±4)，由題得即即所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.求解時(shí)，設(shè)點(diǎn)A(x，y)，根據(jù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程求出，再求雙曲線的漸近線方程.12