12排列、組合與二項式定理1.從4本不同的課外讀物中,買3本送給3名同學,每人1本,則不同的送法種數是().A.12B.24C.64D.81解析4本不同的課外讀物選3本送給3名同學,每人1本,則不同的送法種數是A 43=24.答案B2.從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動,則男女生都有的選法種數是().A.18B.24C.30D.36解析(法一)選出的3人中有2名男同學、1名女同學的選法有CC 4231=18種,選出的3人中有1名男同學、2名女同學的選法有CC 4132=12種,故3名學生中男女生都有的選法有CC 4231CC+4132=30種.(法二)所求選法種數等于從7名同學中任選3名的選法種數,再除去所選3名同學全是男生或全是女生的選法種數,即C73-C43-C33=30.答案C3.用數字1,2,3,4,5組成的無重復數字的四位偶數的個數為().A.8B.24C.48D.120解析末位數字排法有A 21種,其他位置排法有A 43種,共有AA 2143=48種.答案C4.已知x-1x7的展開式的第4項等于5,則x等于().A.17B.-17C.7D.-7解析由T4C=73x4-1x3=5,得x=-17.答案B能力1排列問題【例1】有3名男生、4名女生,在下列不同條件下,求不同的排列方法種數.(1)選5人排成一排;(2)排成前后兩排,前排3人,后排4人;(3)(一題多解)全體排成一排,甲不站排頭也不站排尾;(4)全體排成一排,女生必須站在一起;(5)全體排成一排,男生互不相鄰.解析(1)從7人中選5人排列,有A 75=7×6×5×4×3=2520種排列方法.(2)分兩步完成,先選3人站前排,有A73種排列方法,再將余下4人站后排,有A44種排列方法,共有A73·A44=5040種排列方法.(3)(法一:特殊元素優(yōu)先法)先排甲,有5種排列方法,再排其余6人,有A66種排列方法,共有5×A66=3600種排列方法.(法二:特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另外6人中的2人,有A62種排法,其他位置安排余下5人,有A55種排列方法,共有A62·A55=3600種排列方法.(4)(捆綁法)先將女生看作一個整體與3名男生一起全排列,有A44種排列方法,再將女生全排列,有A44種排列方法,共有A44·A44=576種排列方法.(5)(插空法)先排女生,有A44種排列方法,再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生,有A53種排列方法,共有A44·A53=1440種排列方法.排列應用問題的分類與解法(1)對于有限制條件的排列問題,分析問題時有位置分析法、元素分析法,在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則,即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對于分類過多的問題可以采用間接法.(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.(1)7人站成兩排隊列,前排3人,后排4人,現將甲、乙、丙3人加入隊列,前排加1人,后排加2人,其他人保持相對位置不變,則不同的加入方法種數為().A.120B.240C.360D.480(2)某班準備從甲、乙等7人中選派4人發(fā)言,要求甲、乙2人至少有1人參加,那么不同的發(fā)言順序有().A.30種B.600種C.720種D.840種解析(1)第一步,從甲、乙、丙3人中選1人加入前排,有3種方法,第二步,前排3人形成了4個空位,任選1個空位加入1人,有4種方法,第三步,后排4人形成了5個空位,任選1個空位加入1人,有5種方法,此時形成6個空位,任選1個空位加入1人,有6種方法,根據分步乘法計數原理,有3×4×5×6=360種方法.(2)若甲、乙2人只有1人參加,則有C21C53A44=480種方法;若甲、乙2人都參加,則有C22C52A44=240種方法.故共有480+240=720種方法.答案(1)C(2)C能力2組合問題【例2】某市工商局對35種商品進行抽樣檢查,已知其中有15種假貨.現從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內,不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內,不同的取法有多少種?(3)恰有2種假貨在內,不同的取法有多少種?(4)至少有2種假貨在內,不同的取法有多少種?解析(1)從余下的34種商品中選取2種,有C 342=561種取法.某一種假貨必須在內的不同取法有561種.(2)從34種可選商品中選取3種,有C343=5984種取法.某一種假貨不能在內的不同取法有5984種.(3)從20種真貨中選取1種,從15種假貨中選取2種,有C201C152=2100種取法.恰有2種假貨在內的不同取法有2100種.(4)選取2種假貨,有C201C152種取法,選取3種假貨,有C153種取法,共有C201C152+C153=2100+455=2555種取法.至少有2種假貨在內的不同取法有2555種.組合問題常有以下兩類題型變化(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型:解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法分類復雜時,考慮逆向思維,用間接法處理.(1)在爸爸去哪兒第二季第四期中,村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務.已知:食物投擲地點有遠、近兩處;由于Grace年紀尚小,所以要么不參與該項任務,但此時另需一位小孩在大本營陪同,要么參與搜尋近處投擲點的食物;所有參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組,一組去遠處,一組去近處.那么不同的搜尋方案有().A.80種B.70種C.40種D.10種(2)若從1,2,3,9這9個整數中同時取4個不同的數,其和為偶數,則不同的取法共有().A.60種B.63種C.65種D.66種解析(1)若Grace不參與該項任務,則有CC 5142=30種搜尋方案;若Grace參與該項任務,則有C 52=10種搜尋方案.故共有30+10=40種搜尋方案,故選C.(2)這9個整數中共有4個不同的偶數和5個不同的奇數,要使取出的4個數的和為偶數,則這4個數全為奇數,或全為偶數,或為2個奇數和2個偶數,故不同的取法共有C54+C44+C52C42=66(種).答案(1)C(2)D能力3排列與組合的綜合應用【例3】(1)從0,2中選一個數字,從1,3,5中選兩個數字,組成無重復數字的三位數,其中奇數的個數為().A.24B.18C.12D.6(2)某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的三所中學進行教學交流,每所中學至少派1名教師,則不同的分配方法有().A.80種B.90種C.120種D.150種解析(1)從0,2中選一個數字0,則0只能排在十位,從1,3,5中選兩個數字排在個位與百位,共有A 32=6個奇數;從0,2中選一個數字2,則2排在十位(或百位),從1,3,5中選兩個數字排在百位(或十位)與個位,共有AA 2132=12個奇數.故共有A 32AA+2132=18個奇數.(2)有兩類情況:其中一所學校3名教師,另外兩所學校各1名教師的分法有C53A33=60種;其中一所學校1名教師,另外兩所學校各2名教師的分法有C51·C42A22·A33=90種.共有150種分法,故選D.答案(1)B(2)D(1)解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).對于排列組合的綜合題目,一般是將符合要求的元素取出或進行分組,再對取出的元素或分好的組進行排列.(2)不同元素的分配問題,往往是先分組再分配.在分組時,通常有三種類型:不均勻分組;均勻分組;部分均勻分組,注意各種分組類型中,不同分組方法的差異.其次對于相同元素的“分配”問題,常用的方法是采用“隔板法”.(1)若無重復數字的三位數滿足條件:個位數字與十位數字之和為奇數;所有數位上的數字和為偶數.則這樣的三位數的個數是().A.540B.480C.360D.200(2)國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育,在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生,畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教,現有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教,有種不同的分派方法. 解析(1)由個位數字與十位數字之和為奇數知,個位數字、十位數字1奇1偶,有CCA 515122=50種排法.所有數位上的數字和為偶數,則百位數字是奇數,有C 41=4(種)滿足題意的選法.故滿足題意的三位數共有50×4=200(個).(2)先把6個畢業(yè)生平均分成3組,有C62C42C22A33種分法,再將3組畢業(yè)生分到3所學校,有A33=6種分法,故6個畢業(yè)生平均分到3所學校,共有C62C42C22A33·A33=90種分派方法.答案(1)D(2)90能力4展開式中的特定項或項的系數【例4】(1)x2-12x6的展開式中,常數項是().A.-54B.54C.-1516D.1516(2)若x+13xn的展開式中前三項的系數分別為A,B,C,且滿足4A=9(C-B),則展開式中x2的系數為. 解析(1)Tr+1C=6r(x2)6-r-12xr=C-12r6rx12-3r,令12-3r=0,解得r=4,常數項為C-12464=1516.(2)由題意得A=1,B=n3,C=Cn29=n(n-1)18,4=9n2-n18-n3,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍去).在x+13x8的展開式中,其通項Tr+1=C8rx8-r·13xr=C8r3r·x8-2r,令8-2r=2,得r=3,展開式中x2的系數為5627.答案(1)D(2)5627(1)二項式定理的核心是通項公式,求解此類問題可以分兩步完成:第一步,根據所給出的條件(特定項)和通項公式,建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件,即n,r均為非負整數,且nr,如常數項指數為零、有理項指數為整數等);第二步,根據所求的指數,再求所求的項.(2)求兩個多項式的積的特定項,可先化簡或利用分類加法計數原理討論求解.(1)已知x-ax5的展開式中x32的系數為30,則實數a=. (2)已知x2+mx5的展開式中x7的系數為-10,則x的系數為.(用數字作答) 解析(1)x-ax5的展開式的通項為Tr+1C=5r(x)5-r·-axr=(-aC)r5r·x5-2r2.依題意,令5-2r=3,得r=1,(-a)1·C51=30,解得a=-6.(2)二項式x2+mx5的展開式的通項為Tr+1=C5rx2(5-r)·mxr=mr·C5r·x10-3r.令10-3r=7,得r=1,mC51=-10,解得m=-2.令10-3r=1,得r=3,展開式中x的系數為(-2)3×C53=-80.答案(1)-6(2)-80一、選擇題1.從6本不同的書中選出4本,分別發(fā)給4名同學,已知其中2本書不能發(fā)給甲同學,則不同的分配方法有().A.180種B.220種C.240種D.260種解析因為其中2本書不能發(fā)給甲同學,所以甲只能從剩下的4本書中分得1本,然后從余下的5本書中選3本分給3名同學,故有A 41A·53=240種分配方法.答案C2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=().A.x5B.x5-1C.x5+1D.(x-1)5-1解析逆用二項式定理,得原式=(x-1)+15-1=x5-1.答案B3.從1,3,5,7,9這五個數中,每次取出兩個不同的數分別記為a,b,共可得到lga-lgb的不同值的個數是().A.9B.10C.18D.20解析lga-lgb=lgab(a>0,b>0),lgab有多少個不同的值,只需看ab不同值的個數.從1,3,5,7,9中任取兩個不同的數,得到ab的值有A52個,又13與39相同,31與93相同,lga-lgb的不同值的個數是A52-2=18.答案C4.10名同學合影,站成了前排3人,后排7人,現攝影師要從后排7人中抽2人站前排,其他人的相對順序不變,則不同調整方法的種數為().A.C72A55B.C72A22C.C72A52D.C72A53解析首先從后排的7人中抽2人,有C 72種方法;再把2個人在5個位置中選2個位置進行排列有A 52種.由分步乘法計數原理知不同調整方法的種數為CA 7252.答案C5.設5x-1xn的展開式的各項系數之和為M,各二項式系數之和為N,若M-N=240,則展開式中x的系數為().A.500B.150C.20D.5解析由已知條件得4n-2n=240,解得n=4,Tr+1=C4r(5x)4-r-1xr=(-1)r54-rC4rx4-3r2,令4-3r2=1,得r=2,故T3=150x.故選B.答案B6.有六人排成一排,其中甲只能在排頭或排尾,乙、丙兩人必須相鄰,則滿足要求的排法有().A.34種B.48種C.96種D.144種解析特殊元素優(yōu)先安排,先讓甲從排頭、排尾中選取一個位置,有C 21種選法,再將乙、丙相鄰,捆綁在一起看作一個元素,與其余三個元素全排列,最后乙、丙可以換位,故共有C 21A·44A·22=96種排法.答案C7.甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐,若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座,則坐法種數為().A.10B.16C.20D.24解析一排共有8個座位,現有兩人就坐,故有6個空座.要求每人左右均有空座,在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐,即有A 52=20種坐法.答案C8.已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等,則奇數項的二項式系數和為().A.29B.210C.211D.212解析由題意知C n3C=n7,解得n=10,則奇數項的二項式系數和為2n-1=29.答案A9.在2018年的自主招生中,某校高三奧賽班有5名同學獲得甲、乙兩所高校的推薦資格,且每人限推薦一所高校.若這兩所高校中每個學校都至少有1名同學獲得推薦,則這5名同學不同的推薦方案共有().A.20種B.30種C.36種D.40種解析將推薦方案分成兩類:一類是一所高校推薦3人,另一所高校推薦2人;另一類是一所高校推薦4人,另一所高校推薦1人.所以共有CA 5322CA+5422=30種不同的推薦方案,故選B.答案B10.在x2-13xn的展開式中,只有第5項的二項式系數最大,則展開式的常數項為().A.-7B.7C.-28D.28解析依題意有n2+1=5,n=8.二項式x2-13x8的展開式的通項公式Tk+1=(-1)k·C128-k8kx8-43k,令8-43k=0,得k=6,故常數項為T7=(-1)6C12286=7.答案B二、填空題11.某班主任準備請2016屆畢業(yè)生做報告,要從甲、乙等8人中選4人發(fā)言,要求甲、乙2人至少有1人參加,若甲、乙同時參加,則他們發(fā)言中間需恰隔1人,那么不同的發(fā)言順序共有種.(用數字作答) 解析若甲、乙同時參加,有ACCA 22615122=120種發(fā)言順序;若甲、乙2人中只有1人參加,有CCA 216344=960種發(fā)言順序.從而不同的發(fā)言順序共有1080種.答案108012.現有2個紅球、3個黃球、4個白球,同色球不加區(qū)分,將這9個球排成一列,有種不同的排列方法.(用數字作答) 解析第一步,從9個位置中選出2個位置,分給相同的紅球,有C 92種選法;第二步,從剩余的7個位置中選出3個位置,分給相同的黃球,有C 73種選法;第三步,剩下的4個位置全部分給4個白球,有1種選法.根據分步乘法計數原理,排列方法共有CC 9273=1260(種).答案126013.從6名同學中選派4人分別參加數學、物理、化學、生物四科知識競賽,若其中甲、乙2名同學不能參加生物競賽,則選派方案共有種.(用數字作答) 解析特殊位置優(yōu)先考慮,既然甲、乙都不能參加生物競賽,則先從另外4人中選擇1人參加,有C 41種選派方案;然后從剩下的5人中選擇3人分別參加剩下的三科知識競賽,有A 53種選派方案.故共有CA 4153=4×60=240種選派方案.答案24014.2x+1x-15的展開式中常數項是.(用數字作答) 解析2x+1x-15=2x+1x-15=(-1)+2x+1x5的展開式中,通項公式為Tr+1=C5r(-1)5-r2x+1xr,其中2x+1xr的通項公式為Tk+1=Crk(2x)r-k1xk=2r-kCrkxr-2k,令r-2k=0,則k=0,r=0或k=1,r=2或k=2,r=4.因此常數項為C50(-1)5+C52×(-1)3×2×C21+C54×(-1)×22×C42=-161.答案-16110