1.8排列、組合、二項(xiàng)式定理命題角度1計(jì)數(shù)原理、排列與組合問(wèn)題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2017全國(guó)·6)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有()A.12種B.18種C.24種D.36種答案D解析先把4項(xiàng)工作分成3份有C42C21C11A22種情況,再把3名志愿者排列有A33種情況,故不同的安排方式共有C42C21C11A22·A33=36種,故選D.2.(2016全國(guó)·5)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24B.18C.12D.9答案B解析由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再?gòu)腇處到G處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3=18,故選B.3.(2016全國(guó)·12)定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下:an共有2m項(xiàng),其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k2m,a1,a2,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個(gè)B.16個(gè)C.14個(gè)D.12個(gè)答案C解析由題意知a1=0,a8=1,則滿(mǎn)足題意的a1,a2,a8的可能取值如下:綜上可知,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有14個(gè).4.(2017浙江·16)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,共有種不同的選法.(用數(shù)字作答) 答案660解析由題意可得,總的選擇方法為C84C41C31種方法,其中不滿(mǎn)足題意的選法有C64C41C31種方法,則滿(mǎn)足題意的選法有:C84C41C31-C64C41C31=660種.5.(2018全國(guó)·15)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫(xiě)答案) 答案16解析方法一:當(dāng)3人中恰有1位女生時(shí),有C21C42=12種選法.當(dāng)3人中有2位女生時(shí),有C22C41=4種選法.故不同的選法共有12+4=16種.方法二:6人中選3人共有C63種選法,當(dāng)3人全是男生時(shí)有C43種選法,所以至少有1位女生入選時(shí)有C63-C43=16種選法.6.(2017天津·14)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有個(gè).(用數(shù)字作答) 答案1 080解析沒(méi)有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有A54=120個(gè);有且只有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有C41C53A44=960個(gè).所以至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120+960=1080個(gè).典題演練提能·刷高分1.有5名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照,其中甲必須站在正中間,并且乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰,則不同的站法有()A.8種B.16種C.32種D.48種答案B解析首先將甲排在中間,乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰,則兩人必須站在甲的兩側(cè),選出一人排在左側(cè),有C21A21種方法,另外一人排在右側(cè),有A21種方法,余下兩人排在余下的兩個(gè)空,有A22種方法,綜上可得,不同的站法有C21A21A21A22=16種.2.上海某小學(xué)組織6個(gè)年級(jí)的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個(gè)博物館,每個(gè)年級(jí)任選一個(gè)博物館參觀,則有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的方案有()A.A62×A54種B.A62×54種C.C62×A54種D.C62×54種答案D解析因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)年級(jí)選擇甲博物館,所以參觀甲博物館的年級(jí)有C62種情況,其余年級(jí)均有5種選擇,所以共有54種情況,根據(jù)乘法原理可得C62×54種情況,故選D.3.將5個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子至少放一個(gè)球,則不同放法共有()A.480種B.360種C.240種D.120種答案C解析第一步:先從4個(gè)盒子中選一個(gè)盒子準(zhǔn)備裝兩個(gè)球,有4種選法;第二步:從5個(gè)球里選出兩個(gè)球放在剛才的盒子里,有C52種選法;第三步:把剩下的3個(gè)球全排列,有A33種排法,由乘法分步原理得不同方法共有4C52A33=240種,故選C.4.福州西湖公園花展期間,安排6位志愿者到4個(gè)展區(qū)提供服務(wù),要求甲、乙兩個(gè)展區(qū)各安排一個(gè)人,剩下兩個(gè)展區(qū)各安排兩個(gè)人,不同的安排方案共有()A.90種B.180種C.270種D.360種答案B解析第一步,為甲地選一名志愿者,有C61=6種選法;第二步,為乙地選一名志愿者,有C51=5種選法;第三步,為剩下兩個(gè)展區(qū)各安排兩個(gè)人,有C42C22=6種選法.故不同的安排方案共有6×5×6=180種.故選B.5.用6種不同的顏色對(duì)正四棱錐的8條棱染色,每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的棱的顏色各不相同,不同的染色方案共有()A.14 400種B.28 800種C.38 880種D.43 200種答案C解析從P點(diǎn)出發(fā)的4條側(cè)棱一定要用4種不同的顏色,有A64=360種不同的方案,接下來(lái)底面的染色根據(jù)是否使用剩下的2種顏色分類(lèi)計(jì)數(shù):(1)不使用新的顏色,有2種顏色分類(lèi)方案;(2)使用1種新的顏色,分為2類(lèi):第一類(lèi),染一條邊,有2×4×4=32種方案;第二類(lèi),染兩條對(duì)邊,有2×2×4=16種方案.(3)使用2種新的顏色,分為4類(lèi):第一類(lèi),染兩條鄰邊,有4×2×3=24種方案;第二類(lèi),染兩條對(duì)邊,有2×2×4=16種方案;第三類(lèi),染三條邊,有4×2×2=16種方案;第四類(lèi),染四條邊,有2種方案.因此不同的染色方案總數(shù)為360×2+(32+16)+(24+16+16+2)=38880,故選C.6.根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求,我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門(mén)決定派出五位相關(guān)專(zhuān)家對(duì)三個(gè)貧困地區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個(gè)地區(qū)至少派遣一位專(zhuān)家,其中甲、乙兩位專(zhuān)家需要派遣至同一地區(qū),則不同的派遣方案種數(shù)為(用數(shù)字作答). 答案36解析由題意可知,可分為兩類(lèi):第一類(lèi):甲乙在一個(gè)地區(qū)時(shí),剩余的三類(lèi)分為兩組,再三組派遣到三個(gè)地區(qū),共有C32A33=18種不同的派遣方式;第二類(lèi):甲乙和剩余的三人中的一個(gè)人同在一個(gè)地區(qū),另外兩人分別在兩個(gè)地區(qū),共有C31A33=18種不同的派遣方式;由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得,不同的派遣方式共有18+18=36種.命題角度2求展開(kāi)式中的指定項(xiàng)或其系數(shù)高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2018全國(guó)·5)x2+2x5的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為()A.10B.20C.40D.80答案C解析由展開(kāi)式知Tr+1=C5r(x2)5-r(2x-1)r=C5r2rx10-3r.當(dāng)r=2時(shí),x4的系數(shù)為C5222=40.2.(2019全國(guó)·4)(1+2x2)(1+x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為()A.12B.16C.20D.24答案A解析(1+2x2)(1+x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為C43+2C41=4+8=12.故選A.3.(2017全國(guó)·4)(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為()A.-80B.-40C.40D.80答案C解析(2x-y)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)r.當(dāng)r=3時(shí),x(2x-y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為C53×22×(-1)3=-40;當(dāng)r=2時(shí),y(2x-y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為C52×23×(-1)2=80.故展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為80-40=40.4.(2015全國(guó)·10)(x2+x+y)5的展開(kāi)式中,x5y2的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.60答案C解析由于(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,其展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C5r(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,5),因此只有當(dāng)r=2,即T3=C52(x2+x)3y2中才能含有x5y2項(xiàng).設(shè)(x2+x)3的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Si+1=C3i(x2)3-i·xi=C3ix6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,則(x2+x)3的展開(kāi)式中x5項(xiàng)的系數(shù)是C31=3,故(x2+x+y)5的展開(kāi)式中,x5y2的系數(shù)是C52·3=10×3=30.5.(2019浙江·13)在二項(xiàng)式(2+x)9的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)是,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是. 答案1625解析(2+x)9的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C9r(2)9-rxr(r=0,1,2,9),可得常數(shù)項(xiàng)為T(mén)1=C90(2)9=162.因?yàn)橄禂?shù)為有理數(shù),所以r=1,3,5,7,9,即T2,T4,T6,T8,T10的系數(shù)為有理數(shù),共5個(gè).6.(2019天津·10)2x-18x38的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為. 答案28解析Tr+1=C8r(2x)8-r1-8x3r=C8r·28-r·-18r·x8-4r.需8-4r=0,r=2.常數(shù)項(xiàng)為C8226-182=C8226126=C82=28.典題演練提能·刷高分1.(x2+2)1x-15展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是()A.12B.-12C.8D.-8答案B解析由1x-15展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)Tr+1=C5r1x5-r(-1)r=(-1)rC5rxr-5,得(x2+2)1x-15展開(kāi)式的通項(xiàng)為x2·(-1)rC5rxr-5=(-1)rC5rxr-3或2(-1)rC5rxr-5,則當(dāng)r-3=0或r-5=0,即r=3或r=5時(shí),為展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng),即(-1)3C53+2(-1)5C55=-12.故選B.2.x2+1x6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答) 答案15解析由題得x2+1x6展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C6r(x2)6-r1xr=C6rx12-3r(r=0,1,2,3,4,5,6),令12-3r=0,得r=4.所以x2+1x6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C64=15.3.在2x+1x26的展開(kāi)式中x-3的系數(shù)為. 答案160解析展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C6r(2x)6-r·1x2r=C6r·26-r·x6-3r,令6-3r=-3r=3,所以系數(shù)為C63·23=160.4.(x+y)(x-y)8的展開(kāi)式中x2y7的系數(shù)為(用數(shù)字作答). 答案20解析(x-y)8展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=C8rx8-r(-y)r=(-1)rC8rx8-ryr,令r=7,則展開(kāi)項(xiàng)為(-1)7C87x8-7y7=-8xy7,令r=6,則展開(kāi)項(xiàng)為(-1)6C86x8-6y6=28x2y6,據(jù)此可得展開(kāi)式中x2y7的系數(shù)為-8+28=20.5.(1+ax)(1+x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是5,則a=. 答案-1解析(1+ax)(1+x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是1×C52+a×C51=10+5a,所以10+5a=5,故a=-1.命題角度3二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2015湖北·3)已知(1+x)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()A.212B.211C.210D.29答案D解析由條件知Cn3=Cn7,n=10.(1+x)10中二項(xiàng)式系數(shù)和為210,其中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為210-1=29.2.(2015全國(guó)·15)(a+x)(1+x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=. 答案3解析一(1+x)4=x4+C43x3+C42x2+C41x+C40x0=x4+4x3+6x2+4x+1,(a+x)(1+x)4的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)為4a+4a+1+6+1=32,a=3.解析二設(shè)(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,由-,得16(a+1)=2(b1+b3+b5).即8(a+1)=32,解得a=3.典題演練提能·刷高分1.已知x3+2xn的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為243,則展開(kāi)式中x7的系數(shù)為()A.5B.40C.20D.10答案B解析由題意,二項(xiàng)式x3+2xn的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為243,令x=1,則3n=243,解得n=5,所以二項(xiàng)式x3+2x5的展開(kāi)式為T(mén)r+1=C5r(x3)5-r2xr=2rC5rx15-4r,令r=2,則T3=22C52x15-4×2=40x7,即x7的系數(shù)為40,故選B.2.若多項(xiàng)式(2x+3y)n展開(kāi)式僅在第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則多項(xiàng)式x2+1x2-4n-4展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A.-304B.304C.-208D.208答案A解析多項(xiàng)式(2x+3y)n展開(kāi)式僅在第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,故n=8,多項(xiàng)式x2+1x2-44展開(kāi)式中x2的系數(shù)為C41·(-4)3+C42·C21·(-4)=-256-48=-304.選A.3.記(2-x)7=a0+a1(1+x)2+a7(1+x)7,則a0+a1+a2+a6的值為()A.1B.2C.129D.2 188答案C解析(2-x)7=a0+a1(1+x)2+a7(1+x)7中,令x=0,得27=a0+a1+a7=128.(2-x)7展開(kāi)式中含x7項(xiàng)的系數(shù)為C7720(-1)7=-1,a7=-1,a0+a1+a6=128-a7=129.4.在二項(xiàng)式ax+bx8的展開(kāi)式中,所有項(xiàng)的系數(shù)之和記為S,第r項(xiàng)的系數(shù)記為Pr,若SP9=38,則ab的值為()A.2B.-4C.2或-2D.2或-4答案D解析在ax+bx8中,令x=1,所以S=(a+b)8,又其通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=C8r(ax)8-rbxr,即Tr+1=C8ra8-r·brx8-32r,所以P9=C88a8-8b8=b8,因此依題有(a+b)8b8=1+ab8=38,1+ab=±3,ab=2或-4.故選D.5.(2x-1)6的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是.(用數(shù)字作答) 答案-160解析(2x-1)6的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng),系數(shù)為C63(2)3(-1)3=-160.6.x-ax2x-1x5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開(kāi)式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為. 答案-48解析令x=1,可得x-ax2x-1x5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1-a=2,得a=-1,x+1x2x-1x5展開(kāi)式x4的系數(shù),即是2x-1x5展開(kāi)式中的x3與x5系數(shù)的和,2x-1x5展開(kāi)式通項(xiàng)為T(mén)r+1=C5r(-1)r25-r·x5-2r,令5-2r=3,得r=1,令5-2r=5,得r=0,將r=1與r=0,分別代入通項(xiàng),可得x3與x5的系數(shù)分別為-80與32,原展開(kāi)式x4的系數(shù)為-80+32=-48.12