考點(diǎn)06 函數(shù)的奇偶性與周期性1已知是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意都有成立，則不等式的解集是_.【答案】【解析】等價(jià)于，令，則，當(dāng)時(shí)，有，故為上的增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，的解為，故當(dāng)時(shí)，的解為，因，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，因?yàn)榕己瘮?shù)，故當(dāng)時(shí)，的解為即當(dāng)時(shí)，的解為，綜上，的解集是，填.2已知函數(shù)則不等式的解集為_【答案】【解析】由題可得：函數(shù)為奇函數(shù)，不等式等價(jià)于，即：當(dāng)時(shí)，由，解得：當(dāng)時(shí)，由，解得：綜上所述：或所以不等式的解集為3已知偶函數(shù)的定義域?yàn)镽，且在0，)上為增函數(shù)，則不等式的解集為_【答案】【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以等價(jià)于又在0，)上為增函數(shù)，且，所以.即：，解得：，即或所以的解集為4已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2xm(m為常數(shù))，則的值為_【答案】【解析】為上的奇函數(shù) 又 本題正確結(jié)果：5已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為_.【答案】【解析】設(shè)，則，所以因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)0時(shí)，.所以0.當(dāng)x0時(shí)，所以-2x0.綜上不等式的解集為.故答案為：6已知函數(shù)，且，則_【答案】-5【解析】設(shè)，則為奇函數(shù)，且，故答案為7已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ，則實(shí)數(shù)a的值為_【答案】2【解析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，又因?yàn)?，所以，即，即，所以，解得?故答案為：2.8已知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為_【答案】【解析】解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，由二次函數(shù)圖象可知：的解集為，的圖象看成是的圖象向右平移2個(gè)單位，得到，所以，的解集為故答案為：9奇函數(shù)是R上的增函數(shù)，則不等式的解集為_【答案】【解析】根據(jù)題意，為R上的奇函數(shù)，且，則，且 又由是R上的增函數(shù)，若，則有，則有，解可得：，即不等式的解集為；故答案為10若函數(shù)是奇函數(shù)，則為_【答案】【解析】若函數(shù)是奇函數(shù)，則f（x）1即解得：m2，故答案為：211已知函數(shù)為奇函數(shù)，則不等式的解集為_【答案】【解析】依題意，有：，即再由對(duì)數(shù)不等式的解法得到結(jié)果.，所以，即：，所以，k±1，當(dāng)k1時(shí)，沒有意義，舍去，所以，k1，不等式即為：1所以，02，由0，得：x1或x1，由2，即0，即0，得：x1或x3，綜上可得：x1或x3，所以，解集為：（，1）（3，）12已知函數(shù)，則不等式的解集為_.【答案】【解析】,函數(shù)在R上位增函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，由可得又函數(shù)在R上為增函數(shù)，不等式的解集為故答案為：13已知函數(shù)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，若f (a)4f (a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】f (x)為奇函數(shù)，f (a)4f (a)可轉(zhuǎn)化為f (a)2作出的圖象，如圖：由圖易知：a2故答案為：14定義在R上的偶函數(shù)f（x），且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x+2）f（x），當(dāng)x0，1時(shí)，f（x）x2，若在區(qū)間3，3內(nèi)，函數(shù)g（x）f（x）kx3k有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_【答案】【解析】由定義在R上的偶函數(shù)f（x），且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x+2）f（x），當(dāng)x0，1時(shí)，f（x）x2，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間3，3的圖象如圖所示，在區(qū)間3，3內(nèi)，函數(shù)g（x）f（x）kx3k有6個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于yf（x）的圖象與直線yk（x+3）在區(qū)間3，3內(nèi)有6個(gè)交點(diǎn)，又yk（x+3）過定點(diǎn)（3，0），觀察圖象可知實(shí)數(shù)k的取值范圍為：，故答案為：（0，15已知函數(shù)的周期為4，且當(dāng)時(shí)，則的值為_.【答案】0【解析】函數(shù)的周期為4，且當(dāng)時(shí)， 故答案為：016已知函數(shù)，若給定非零實(shí)數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)是上的級(jí)類周期函數(shù)，若函數(shù)是上的2級(jí)2類周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，又函數(shù).若，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得：當(dāng)時(shí)，有最大值，最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則此時(shí)有，又由函數(shù)是定義在區(qū)間內(nèi)的2級(jí)類周期函數(shù)，且；則在上，則有，則，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為8，最小值為0；對(duì)于函數(shù)，有，得在上，函數(shù)為減函數(shù)，在上，函數(shù)為增函數(shù)，則函數(shù)在上，由最小值.若，使成立，必有，即，解可得，即的取值范圍為.故答案為：.17函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為_【答案】【解析】由得函數(shù)的周期為4，所以因此18若是定義在上的周期為3的函數(shù)，且,則的值為_【答案】【解析】f（x）是定義在R上的周期為3的函數(shù)，且，可得f（0）=f（3），即有a=18+18=0，則f（a+1）=f（1）=1+1=2，故答案為：219函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x2)13，若f(1)2，則f(99)等于_【答案】【解析】由f(x)f(x+2)=13得,f(x+2)f(x+4)=13，即f(x)=f(x+4)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)。所以f(99)=f(25×41)=f(1).由f(1)f(1)=13,f(1)=2,得f(1)= ，所以f(99)=132，故答案為： .20若是周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則_.【答案】【解析】是周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故答案為： 21已知函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：f(x1)f(x1)；當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)x2，則方程f(x)lg x解的個(gè)數(shù)是_.【答案】9【解析】函數(shù) 為周期為2的周期函數(shù) 時(shí)， ，函數(shù)的圖象和 的圖象如圖：由圖數(shù)形結(jié)合可得函數(shù) 與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為9故答案為922設(shè)是定義在上且周期為的函數(shù)，在區(qū)間上，其函數(shù)解析式是，其中.若，則的值是_【答案】【解析】是周期為的函數(shù)，答案：123已知奇函數(shù)滿足當(dāng)時(shí) ,則的值為_ 【答案】【解析】是周期為4的函數(shù)，又是奇函數(shù)， 故答案為-24定義在上的函數(shù)滿足:,當(dāng)時(shí)，,則=_【答案】 【解析】，將代換為，則有為周期函數(shù)，周期為，令，則，當(dāng)時(shí)，故答案為.25記為不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)的最小正周期為_【答案】1【解析】所以最小正周期為126若數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為，則將數(shù)列和的距離定義為.（1）求數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離.（2）記為滿足遞推關(guān)系的所有數(shù)列的集合，數(shù)列和為中的兩個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為.若， ，數(shù)列和的距離小于2016，求的最大值.（3）記是所有7項(xiàng)數(shù)列（其中， 或）的集合， ，且中的任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3.求證： 中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.【答案】（1）7;（2）3455;（3）見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，將兩數(shù)列對(duì)應(yīng)代入計(jì)算，問題即可得解；（2）由題意，根據(jù)遞推關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，由此可確定數(shù)列亦為周期數(shù)列，由其首項(xiàng)即可知對(duì)應(yīng)數(shù)列各項(xiàng)，依據(jù)定義當(dāng)項(xiàng)數(shù)越大時(shí)，其距離也呈周期性且越大，從而問題可得解；（3）根據(jù)題意，這里可以考慮采用反證法來(lái)證明，首先假設(shè)問題不成立，再通過特殊賦值法，依據(jù)定義進(jìn)行運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)與條件相矛盾，從而問題可得證.試題解析：（1）由題得數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離為7.（2）設(shè)，其中且.由，得， ， ， ，.所以， ，.因此集合中的所有數(shù)列都具有周期性，且周期為4.所以數(shù)列中， ， ， ， ，數(shù)列中， ， ， ， .因?yàn)椋皂?xiàng)數(shù)越大，數(shù)列和的距離越大.因?yàn)椋?，因此，?dāng)時(shí)，.故的最大值為3455.（3）假設(shè)中的元素個(gè)數(shù)大于或等于17.因?yàn)閿?shù)列中， 或1，所以僅由數(shù)列前三項(xiàng)組成的數(shù)組（， ， ）有且只有8個(gè)：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）.那么這17個(gè)元素之中必有3個(gè)具有相同的， ， .設(shè)這3個(gè)元素分別為： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ，其中， ， .因?yàn)檫@3個(gè)元素中每?jī)蓚€(gè)元素的距離大于或等于3，所以在與中， 至少有3個(gè)成立.不妨設(shè)， ， .由題意得， 中一個(gè)等于0，另一個(gè)等于1.又因?yàn)榛?，所以和中必有一個(gè)成立.同理得： 和中必有一個(gè)成立， 和中必有一個(gè)成立，所以“ 中至少有兩個(gè)成立”和“ 中至少有兩個(gè)成立”中必有一個(gè)成立.故和中必有一個(gè)成立，這與題意矛盾.所以中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.13