第2講空間點、線、面的位置關系1(2019·揭陽模擬改編)設平面，直線a，b，a，b，則“a，b”是“”的_條件解析 由平面與平面平行的判定定理可知，若直線a，b是平面內(nèi)兩條相交直線，且a，b，則；當，若a，b，則a，b，因此“a，b”是“”的必要不充分條件答案 必要不充分2在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與過點A、E、C的平面的位置關系是_解析 連結(jié)AC、BD相交于一點O，連結(jié)OE、AE、EC，因為四邊形ABCD為正方形，所以DOBO而DED1E，所以EO為DD1B的中位線，所以EOD1B，所以BD1平面AEC答案 BD1平面AEC3(2019·南京模擬)四棱錐P­ABCD 的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA底面ABCD且PA4，則PC與底面ABCD所成角的正切值為_解析 因為PA底面ABCD，所以PC在底面ABCD上的射影為AC，PCA就是PC與底面ABCD所成的角，tanPCA答案 4(2019·南京、鹽城模擬)已知平面，直線m，n，給出下列命題：若m，n，mn，則；若，m，n，則mn；若m，n，mn，則；若，m，n ，則mn其中是真命題的是_(填寫所有真命題的序號)解析 錯誤，還有可能，相交；錯誤，直線m，n可能平行、相交或異面；正確答案 5(2019·鎮(zhèn)江期末)如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐A­BCD，則在三棱錐A­BCD中，下列命題正確的是_(填序號)平面ABD平面ABC；平面ADC平面BDC；平面ABC平面BDC；平面ADC平面ABC解析 因為在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，則CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC答案 6(2019·無錫期末)已知兩條直線m、n，兩個平面、給出下面四個命題：mn，mn；，m，nmn；mn，mn；，mn，mn其中正確命題的序號是_解析 兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，故正確；兩平面平行，分別在這兩平面內(nèi)的兩直線可能平行，也可能異面，故錯；mn，m時，n或n，故錯；由，m得m，由m，nm得n，故正確答案 7(2019·蘇州調(diào)研)正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為2，點M為CC1的中點，點N為線段DD1上靠近D1的三等分點，平面BMN交AA1于點Q，則線段AQ的長為_解析 如圖所示，在線段DD1上靠近點D處取一點T，使得DT，因為N是線段DD1上靠近D1的三等分點，故D1N，故NT21，因為M為CC1的中點，故CM1，連接TC，由NTCM，且CMNT1，知四邊形CMNT為平行四邊形，故CTMN，同理在AA1上靠近A處取一點Q，使得AQ，連接BQ，TQ，則有BQCTMN，故BQ與MN共面，即Q與Q重合，故AQ答案 8如圖，ACB90°，DA平面ABC，AEDB交DB于點E，AFDC交DC于點F，且ADAB2，則三棱錐D­AEF體積的最大值為_解析 因為DA平面ABC，所以DABC，又BCAC，DAACA，所以BC平面ADC，所以BCAF又AFCD，BCCDC，所以AF平面DCB，所以AFEF，AFDB又DBAE，AEAFA，所以DB平面AEF，所以DE為三棱錐D­AEF的高因為AE為等腰直角三角形ABD斜邊上的高，所以AE，設AFa，F(xiàn)Eb，則AEF的面積Sab·×，所以三棱錐D­AEF的體積V××(當且僅當ab1時等號成立)答案 9如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號)ACBE；EF平面ABCD；三棱錐A­BEF的體積為定值；AEF的面積與BEF的面積相等解析 因為AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D，所以ACBE，故正確因為B1D1平面ABCD，又E、F在線段B1D1上運動，故EF平面ABCD故正確中由于點B到直線EF的距離是定值，故BEF的面積為定值，又點A到平面BEF的距離為定值，故VA­BEF不變故正確由于點A到B1D1的距離與點B到B1D1的距離不相等，因此AEF與BEF的面積不相等，故錯誤答案 10在ABC中，ACB90°，AB8，ABC60°，PC平面ABC，PC4，M是AB上一個動點，則PM的最小值為_解析 如圖，因為PC平面ABC，MC平面ABC，所以PCMC故PM又因為MC的最小值為2，所以PM的最小值為2答案 211(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(五)如圖，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1CA，點E，F(xiàn)分別為AC1，BC1的中點(1)若B1C1上存在一點G，使得平面EFG平面AA1B1B，求證：點G為B1C1的中點；(2)若AC1AB，求證：平面CEF平面ABC1證明 (1)如圖，連接AB1，因為平面EFG平面AA1B1B，EG平面EFG，所以EG平面AA1B1B因為EG平面AB1C1，平面AB1C1平面AA1B1BAB1，所以EGAB1，因為點E為AC1的中點，所以點G為B1C1的中點(2)因為CC1CA，點E為AC1的中點，所以CEAC1因為點E，F(xiàn)分別為AC1，BC1的中點，所以EFAB，因為AC1AB，所以EFAC1又CEEFE，CE，EF平面CEF，所以AC1平面CEF，因為AC1平面ABC1，所以平面CEF平面ABC112(2019·南通調(diào)研)如圖，在四面體ABCD中，平面BAD平面CAD，BAD90°M，N，Q分別為棱AD，BD，AC的中點(1)求證：CD平面MNQ；(2)求證：平面MNQ平面CAD證明(1)因為M，Q分別為棱AD，AC的中點，所以MQCD，又CD平面MNQ，MQ平面MNQ， 故CD平面MNQ(2)因為M，N分別為棱AD，BD的中點，所以MNAB，又BAD90°，故MNAD因為平面BAD平面CAD，平面BAD平面CADAD，且MN平面ABD，所以MN平面CAD又MN平面MNQ，所以平面MNQ平面CAD13(2019·南京、鹽城模擬)如圖，E，F(xiàn)分別是直角三角形ABC邊AB和AC的中點，B90°，沿EF將三角形ABC折成如圖所示的銳二面角A1­EF­B，若M為線段A1C的中點求證：(1)直線FM平面A1EB；(2)平面A1FC平面A1BC證明(1)取A1B中點N，連結(jié)NE，NM(圖略)，則MN綊BC，EF綊BC，所以MN綊FE，所以四邊形MNEF為平行四邊形，所以FMEN，又因為FM平面A1EB，EN平面A1EB，所以直線FM平面A1EB(2)因為E，F(xiàn)分別為AB和AC的中點，所以A1FFC，所以FMA1C同理，ENA1B，由(1)知，F(xiàn)MEN，所以FMA1B又因為A1CA1BA1，所以FM平面A1BC，又因為FM平面A1FC，所以平面A1FC平面A1BC14在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC2，過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD­A1C1D1，且這個幾何體的體積為(1)求AA1的長；(2)在線段BC1上是否存在點P，使直線A1P與C1D垂直，如果存在，求線段A1P的長，如果不存在，請說明理由解 (1)因為VABCD­A1C1D1VABCD­A1B1C1D1VB­A1B1C12×2×AA1××2×2×AA1AA1，所以AA14(2)存在點P滿足題意在平面CC1D1D中作D1QC1D交CC1于Q，過Q作QPCB交BC1于點P，則A1PC1D因為A1D1平面CC1D1D，C1D平面CC1D1D，所以C1DA1D1，而QPCB，CBA1D1，所以QPA1D1，又因為A1D1D1QD1，所以C1D平面A1PQD1，且A1P平面A1PQD1，所以A1PC1D因為RtD1C1QRtC1CD，所以，所以C1Q1，又因為PQBC，所以PQBC因為四邊形A1PQD1為直角梯形，且高D1Q，所以A1P- 7 -