題型練6大題專項(四)立體幾何綜合問題1.如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=2,ACB=90°,AP=BP=AB,PCAC. (1)求證:PCAB;(2)求點C到平面APB的距離.2.(2018江蘇,15)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求證:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.3.已知PA平面ABCD,CDAD,BAAD,CD=AD=AP=4,AB=2. (1)求證:CD平面ADP;(2)若M為線段PC上的點,當BMPC時,求三棱錐B-APM的體積.4.(2019安徽淮南模擬,19)如圖,ABC的外接圓O的直徑為AB,CD平面ABC,BECD. (1)求證:平面ADC平面BCDE;(2)試問在線段DE和BC上是否分別存在點M和F,使得平面OMF平面ACD?若存在,確定點M和點F的位置;若不存在,請說明理由.5.(2019天津,文17)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PCD為等邊三角形,平面PAC平面PCD,PACD,CD=2,AD=3.(1)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點,求證:GH平面PAD;(2)求證:PA平面PCD;(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA底面ABCD,PA=AC,過點A的平面與棱PB,PC,PD分別交于點E,F,G(E,F,G三點均不在棱的端點處).(1)求證:平面PAB平面PBC.(2)若PC平面AEFG,求PFPC的值.(3)直線AE是否可能與平面PCD平行?證明你的結(jié)論.題型練6大題專項(四)立體幾何綜合問題1.(1)證明取AB的中點D,連接PD,CD.AP=BP,PDAB.AC=BC,CDAB.PDCD=D,AB平面PCD.PC平面PCD,PCAB.(2)解由(1)知AB平面PCD,平面APB平面PCD.過C作CHPD,垂足為H.平面APB平面PCD=PD,CH平面APB.CH的長即為點C到平面APB的距離.由(1)知PCAB,又PCAC,且ABAC=A,PC平面ABC.CD平面ABC,PCCD.在RtPCD中,CD=12AB=2,PD=32PB=6,PC=PD2-CD2=2.CH=PC×CDPD=233,點C到平面APB的距離為233.2.證明(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因為AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因為AA1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形,因此AB1A1B.又因為AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因為A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因為AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.3.(1)證明因為PA平面ABCD,PA平面ADP,所以平面ADP平面ABCD.因為平面ADP平面ABCD=AD,CDAD,所以CD平面ADP.(2)解取CD的中點F,連接BF,在梯形ABCD中,因為CD=4,AB=2,所以BFCD.又BF=AD=4,所以BC=25.在ABP中,由勾股定理求得BP=25.所以BC=BP.又知點M在線段PC上,且BMPC,所以點M為PC的中點.在平面PCD中過點M作MQDC交DP于Q,連接QB,QA,則V三棱錐B-APM=V三棱錐M-APB=V三棱錐Q-APB=V三棱錐B-APQ=13×12×QP×AQ×2=13×22×22=83.4.(1)證明ABC的外接圓O的直徑為AB,CD平面ABC,BECD,ACBC,ACDC.BCDC=C,AC平面BCDE.AC平面ADC,平面ADC平面BCDE.(2)解存在點M和F,使得平面OMF平面ACD.取BC的中點M,DE的中點F,連接OM,MF,OF.O是AB的中點,OMAC,MFCD.ACCD=C,OMMF=M,AC,CD平面ACD,OM,MF平面OMF,平面OMF平面ACD.5.(1)證明如圖,連接BD,易知ACBD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GHPD.又因為GH平面PAD,PD平面PAD,所以GH平面PAD.(2)證明取棱PC的中點N,連接DN,依題意,得DNPC,又因為平面PAC平面PCD,平面PAC平面PCD=PC,所以DN平面PAC,又PA平面PAC,故DNPA.又已知PACD,CDDN=D,所以PA平面PCD.(3)解連接AN,由(2)中DN平面PAC,可知DAN為直線AD與平面PAC所成的角.因為PCD為等邊三角形,CD=2且N為PC的中點,所以DN=3,又DNAN,在RtAND中,sinDAN=DNAD=33.所以,直線AD與平面PAC所成角的正弦值為33.6.(1)證明因為PA平面ABCD,所以PABC.因為四邊形ABCD為正方形,所以ABBC,所以BC平面PAB.所以平面PAB平面PBC.(2)解連接AF.因為PC平面AEFG,所以PCAF.又因為PA=AC,所以F是PC的中點.所以PFPC=12.(3)解AE與平面PCD不可能平行.證明如下:假設(shè)AE平面PCD,因為ABCD,AB平面PCD,所以AB平面PCD.而AE,AB平面PAB,所以平面PAB平面PCD,這顯然矛盾.所以假設(shè)不成立,即AE與平面PCD不可能平行.9