專(zhuān)題突破練16熱點(diǎn)小專(zhuān)題二球與多面體的內(nèi)切、外接一、選擇題1.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12B.323C.8D.42.(2019江西九江一模,文9)九章算術(shù)卷第五商功中,有“賈令芻童,上廣一尺,袤二尺,下廣三尺,袤四尺,高一尺.”,意思是:“假設(shè)一個(gè)芻童,上底面寬1尺,長(zhǎng)2尺;下底面寬3尺,長(zhǎng)4尺,高1尺(如圖).”(注:芻童為上下底面為相互平行的不相似長(zhǎng)方形,兩底面的中心連線與底面垂直的幾何體),若該幾何體所有頂點(diǎn)在一球的表面上,則該球體的表面積為()A.46平方尺B.41平方尺C.40平方尺D.36平方尺3.(2019山東濟(jì)寧一模,理9)九章算術(shù)中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示,則該“塹堵”的外接球的體積為()A.823B.6C.6D.84.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,則球O的直徑為()A.13B.410C.210D.2175.(2019山東濰坊二模,文10)一個(gè)各面均為直角三角形的四面體有三條棱長(zhǎng)為2,則該四面體外接球的表面積為()A.6B.12C.32D.486.(2019湖北八校聯(lián)考二,文8)已知三棱錐的三視圖如圖所示,且各頂點(diǎn)在同一球面上,則該球的表面積是()A.12B.10C.8D.67.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.2568.如圖,需在正方體的盒子內(nèi)鑲嵌一個(gè)小球,使得鑲嵌后三視圖均為圖所示,且面A1C1B截得小球的截面面積為23,則該小球的體積為()A.6B.43C.323D.8239.已知A,B,C,D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn),其中ABC是正三角形,AD平面ABC,AD=2AB=6,則該球的體積為()A.323B.48C.24D.1610.(2019四川第二次診斷,理10)已知一個(gè)幾何體的正視圖,側(cè)視圖和俯視圖均是直徑為10的圓(如圖),這個(gè)幾何體內(nèi)接一個(gè)圓錐,圓錐的體積為27,則該圓錐的側(cè)面積為()A.910B.1211C.1017D.403311.(2019山西呂梁一模,文12)四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為矩形,AD=4,AB=2,且SA+SD=8,當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí),其外接球的表面積為()A.20B.25C.803D.76312.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為()A.26B.36C.23D.22二、填空題13.(2019四川成都二模,理14)已知三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,若AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=2,則球O的表面積為. 14.(2019河北唐山一模,理15)在四面體ABCD中,AB=BC=1,AC=2,且ADCD,該四面體外接球的表面積為. 15.(2019湖南六校聯(lián)考,理15)在九章算術(shù)中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬.如圖,若四棱錐P-ABCD為陽(yáng)馬,側(cè)棱PA底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為r,則Rr=. 16.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑,若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為.參考答案專(zhuān)題突破練16熱點(diǎn)小專(zhuān)題二球與多面體的內(nèi)切、外接1.A解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,由a3=8,得a=2.由題意可知,正方體的體對(duì)角線為球的直徑,故2r=3a2,則r=3.所以該球的表面積為4×(3)2=12,故選A.2.B解析由已知得球心在幾何體的外部,設(shè)球心到幾何體下底面的距離為x,則R2=x2+522=(x+1)2+522,解得x=2,R2=414,該球的表面積S=41.故選B.3.A解析根據(jù)幾何體的三視圖可知幾何體為底面為腰長(zhǎng)為2的直角等腰三角形,高為2的直三棱柱.設(shè)外接球的半徑為R,則(2R)2=(2)2+(2)2+22,解得R=2,所以V=43(2)3=823.故選A.4.A解析由題意可知,直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球O的半徑R=32+42+1222=132,故球O的直徑為13.故選A.5.B解析如圖,在四面體ABCD中,ABD=ABC=BCD=ACD=90°,AB=BC=CD=2,可得BD=22,AD=23,設(shè)AD的中點(diǎn)為O,連接OB,OC,則OB=OC=OA=OD,所以AD的中點(diǎn)O即為外接球的球心,故球O半徑為3,其表面積為12,故選B.6.A解析根據(jù)三視圖,把該三棱錐放入長(zhǎng)、寬、高分別為2,3,5的長(zhǎng)方體中,如圖所示.則三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球,所以外接球的半徑R滿足(2R)2=PC2=22+(3)2+(5)2=12,所以外接球的表面積是4R2=12.7.C解析由AOB的面積確定可知,若三棱錐O-ABC的底面OAB上的高最大,則其體積最大.因?yàn)楦咦畲鬄榘霃絉,所以VO-ABC=13×12R2×R=36,解得R=6,故S球=4R2=144.8.B解析設(shè)正方體盒子的棱長(zhǎng)為2a,則內(nèi)切球的半徑為a,平面A1BC1是邊長(zhǎng)為22a的正三角形,且球與以點(diǎn)B1為公共點(diǎn)的三個(gè)面的切點(diǎn)恰為A1BC1三邊的中點(diǎn),所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積,則由圖得,A1BC1內(nèi)切圓的半徑是2a×tan30°=63a,則所求的截面圓的面積是·63a2=23a2=23,故a=1,該小球的體積為V球=43×13=43.9.A解析由題意畫(huà)出幾何體的直觀圖如圖,把A,B,C,D擴(kuò)展為三棱柱,上下底面中心的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑,AD=2AB=6,OE=3,ABC是正三角形,AE=23×32×3=3,AO=32+(3)2=23.故所求球的體積為43×(23)3=323.10.A解析幾何體的軸截面如圖所示,設(shè)圓錐的底面半徑為r,由題意可得13××r2×(25-r2+5)=27,解得r=3,所以該圓錐的側(cè)面積為12×6×32+92=910.故選A.11.D解析當(dāng)點(diǎn)S到底面ABCD的距離最大時(shí),四棱錐的體積最大,這時(shí)SAD為等邊三角形,S到底面ABCD的距離為23且平面SAD平面ABCD.設(shè)球心O到平面ABCD的距離OE=x,則由OD=OS,得x2+5=(23-x)2+1,所以x=23,所以四棱錐外接球的半徑R=x2+5=193,所以四棱錐外接球的表面積為S=4R2=763.故選D.12.A解析SC是球O的直徑,CAS=CBS=90°.BA=BC=AC=1,SC=2,AS=BS=3.取AB的中點(diǎn)D,顯然ABCD,ABSD,AB平面SCD.在CDS中,CD=32,DS=112,SC=2,利用余弦定理可得cosCDS=CD2+SD2-SC22CD·SD=-133,sinCDS=4233,SCDS=12×32×112×4233=22,故V=VB-CDS+VA-CDS=13×SCDS×BD+13SCDS×AD=13SCDS×BA=13×22×1=26.13.3解析(法一)如圖,取CD的中點(diǎn)E,連接BE,可得BE=32×2=62,設(shè)等邊三角形BCD的中心為G,則BG=23×62=63,AG=12-(63) 2=33.設(shè)三棱錐A-BCD的外接球的半徑為R,則R2=BG2+OG2,即R2=632+33-R2,解得R=32.球O的表面積為4R2=3.(法二)AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=2,由勾股定理的逆定理得三棱錐的三個(gè)側(cè)面都是全等的直角三角形,將三棱錐補(bǔ)形為正方體,則其外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線,2R=12+12+12=3,故球O的表面積為4R2=3.14.2解析如圖所示,由AB=BC=1,AC=2,得ABBC,所以ABC和DAC都是直角三角形.ABC外接圓的圓心是AC的中點(diǎn),DAC外接圓的圓心也是AC的中點(diǎn),且兩個(gè)三角形的外接圓都是球的大圓,所以球半徑R=12AC=22,所以S球=4R2=2.15.412解析易知該陽(yáng)馬補(bǔ)形所得到的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑,所以(2R)2=AB2+AD2+AP2=42+42+32=41,R=412.因?yàn)閭?cè)棱PA底面ABCD,且底面為正方形,所以內(nèi)切球O1在側(cè)面PAD內(nèi)的正視圖是PAD的內(nèi)切圓,則內(nèi)切球半徑為1,故Rr=412.16.36解析取SC的中點(diǎn)O,連接OA,OB.因?yàn)镾A=AC,SB=BC,所以O(shè)ASC,OBSC.因?yàn)槠矫鍿AC平面SBC,且OA平面SAC,所以O(shè)A平面SBC.設(shè)OA=r,則VA-SBC=13×SSBC×OA=13×12×2r×r×r=13r3,所以13r3=9,解得r=3.所以球O的表面積為4r2=36.10