第3講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1.(2015·湖北卷)l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交，則()A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件C.p是q的充分必要條件D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件解析直線l1，l2是異面直線，一定有l(wèi)1與l2不相交，因此p是q的充分條件；若l1與l2不相交，那么l1與l2可能平行，也可能是異面直線，所以p不是q的必要條件.故選A.答案A2.(2017·鄭州聯(lián)考)已知直線a和平面，l，a，a，且a在，內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A.相交或平行 B.相交或異面C.平行或異面 D.相交、平行或異面解析依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，選D.答案D3.給出下列說法：梯形的四個頂點共面；三條平行直線共面；有三個公共點的兩個平面重合；三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面.其中正確的序號是()A. B. C. D.解析顯然命題正確.由于三棱柱的三條平行棱不共面，錯.命題中，兩個平面重合或相交，錯.三條直線兩兩相交，可確定1個或3個平面，則命題正確.答案B4.(2017·濟南模擬)a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A.若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B.若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C.若ab，則a，b與c所成的角相等D.若ab，bc，則ac解析若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若ab，bc，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.答案C5.已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為()A. B. C. D.解析連接DF，則AEDF，D1FD為異面直線AE與D1F所成的角.設正方體棱長為a，則D1Da，DFa，D1Fa，cosD1FD.答案B二、填空題6.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線MN與AC所成的角為60°.其中正確的結(jié)論為_(填序號).解析A，M，C1三點共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，C1AM，因此直線AM與CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，錯；M，B，B1三點共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，BMB1，因此直線BN與MB1是異面直線，正確；連接D1C，因為D1CMN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60°.答案7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_.解析取CD的中點H，連接EH，F(xiàn)H.在正四面體CDEF中，由于CDEH，CDHF，且EHFHH，所以CD平面EFH，所以AB平面EFH，則平面EFH與正方體的左右兩側(cè)面平行，則EF也與之平行，與其余四個平面相交.答案48.(2014·全國卷改編)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為_.解析如圖所示，取BC中點D，連接MN，ND，AD.M，N分別是A1B1，A1C1的中點，MN綉B(tài)1C1.又BD綉B(tài)1C1，MN綉B(tài)D，則四邊形BDNM為平行四邊形，因此NDBM，AND為異面直線BM與AN所成的角(或其補角).設BC2，則BMND，AN，AD，在ADN中，由余弦定理得cosAND.故異面直線BM與AN所成角的余弦值為.答案三、解答題9.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點.問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由.解(1)AM，CN不是異面直線.理由：連接MN，A1C1，AC.因為M，N分別是A1B1，B1C1的中點，所以MNA1C1.又因為A1A綉C1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.(2)直線D1B和CC1是異面直線.理由：因為ABCDA1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面.假設D1B與CC1不是異面直線，則存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，這與B，C，C1，D1不共面矛盾.所以假設不成立，即D1B和CC1是異面直線.10.(2017·成都月考)如圖所示，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，D是PC的中點.已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱錐PABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.解(1)SABC×2×22，三棱錐PABC的體積為VSABC·PA×2×2 .(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則EDBC，所以ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角).在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.11.以下四個命題中，不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3解析假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以正確.從條件看出兩平面有三個公共點A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；不正確；不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形.答案B12.若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A.l1l4B.l1l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定解析如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，記l1DD1，l2DC，l3DA.若l4AA1，滿足l1l2，l2l3，l3l4，此時l1l4，可以排除選項A和C.若取C1D為l4，則l1與l4相交；若取BA為l4，則l1與l4異面；取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直.因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定.答案D13.如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點，則AD與GF所成的角的余弦值為_.解析取DE的中點H，連接HF，GH.由題設，HF綉AD.GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補角).在GHF中，可求HF，GFGH，cosHFG.答案14.如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點.(1)求四棱錐OABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值.解(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S4，所以四棱錐OABCD的體積V×4×2.(2)如圖，連接AC，設線段AC的中點為E，連接ME，DE.又M為OA中點，MEOC，則EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM為直角三角形，tanEMD.異面直線OC與MD所成角的正切值為.6