第4課時(shí)利用向量解決平行與垂直、夾角問(wèn)題課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.已知向量a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),如果ab,那么x等于()A.-1B.1C.-5D.5解析向量a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),ab,x2=24=-1-2,解得x=1.故選B.答案B2.(2019全國(guó)高考)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則AB·BC=()A.-3B.-2C.2D.3解析由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,則BC=(1,0).所以AB·BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故選C.答案C3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn),若DA=a,DC=b,DD1=c,則MN=()A.12(c+b-a)B.12(a+b-c)C.12(a-c)D.12(c-a)解析在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn),DA=a,DC=b,DD1=c,MN=MB+BB1+B1N=12A1B+BB1+12B1D1=12(A1A+AB)+BB1+12(BC+CD)=12(-c+b)+c+12(-a-b)=-12a+12c=12(c-a),故選D.答案D4.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中點(diǎn),M是棱CC1上的點(diǎn),且CC1=3CM,則直線BM與B1N所成的角的余弦值是()A.105B.2515C.1020D.1030解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)N32,0,0,B(3,3,0),M(0,3,1),B1(3,3,3),BM=(-3,0,1),B1N=-32,-3,-3.cos<BM,B1N>=B1N·BM|B1N|BM|=1030,故選D.答案D5.已知點(diǎn)A(m,-2,n),點(diǎn)B(-5,6,24)和向量a=(-3,4,12),且ABa,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為. 解析A(m,-2,n),B(-5,6,24),AB=(-5-m,8,24-n).又向量a=(-3,4,12),且ABa,AB=a,即-5-m=-3,8=4,24-n=12,解得=2,m=1,n=0,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2,0).答案(1,-2,0)6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是. 解析正方體棱長(zhǎng)為a,A1M=AN=2a3,MB=23A1B,CN=23CA.MN=MB+BC+CN=23A1B+BC+23CA=23(A1B1+B1B)+BC+23(CD+DA)=23B1B+13B1C1.又CD是平面B1BCC1的法向量,MN·CD=23B1B+13B1C1·CD=0.MNCD.又MN平面B1BCC1,MN平面B1BCC1.答案平行7.(2019天津高考)在四邊形ABCD中,ADBC,AB=23,AD=5,A=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且AE=BE,則BD·AE=. 解析ADBC,且DAB=30°,ABE=30°.EA=EB,EAB=30°.AEB=120°.在AEB中,EA=EB=2,BD·AE=(BA+AD)·(AB·BE)=-BA2+BA·BE+AD·AB+AD·BE=-12+23×2×cos30°+5×23×cos30°+5×2×cos180°=-22+6+15=-1.答案-18.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,BAA1=45°,平面AA1C1C平面AA1B1B.(1)求證:AA1BC;(2)若BB1=2AB=2,直線BC與平面ABB1A1所成角為45°,D為CC1的中點(diǎn),求二面角B1-A1D-C1的余弦值.(1)證明過(guò)點(diǎn)C作COAA1,垂足為O,因?yàn)槠矫鍭A1C1C平面AA1B1B,所以CO平面AA1B1B,故COOB.又因?yàn)镃A=CB,CO=CO,COA=COB=90°,所以RtAOCRtBOC,故OA=OB.因?yàn)锳1AB=45°,所以AA1OB.又因?yàn)锳A1CO,所以AA1平面BOC,故AA1BC.(2)解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OC所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,因?yàn)镃O平面AA1B1B,所以CBO是直線BC與平面AA1B1B所成角,故CBO=45°,所以AB=2,AO=BO=CO=1,A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),A1(-1,0,0),B1(-2,1,0),D(-1,0,1),設(shè)平面A1B1D的法向量為n=(x1,y1,z1),則n·A1D=0,n·B1D=0,所以z1=0,x1-y1+z1=0,令x1=1,得n=(1,1,0),因?yàn)镺B平面AA1C1C,所以O(shè)B為平面A1C1D的一條法向量,OB=(0,1,0),cos<n,OB>=n·OB|n|·|OB|=22,所以二面角B1-A1D-C1的余弦值為22.9.(2019天津高考)如圖,AE平面ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求證:BF平面ADE;(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值為13,求線段CF的長(zhǎng).(1)證明依題意,可以建立以A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AE的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).設(shè)CF=h(h>0),則F(1,2,h).依題意,AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得BF·AB=0,又因?yàn)橹本€BF平面ADE,所以BF平面ADE.(2)解依題意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則n·BD=0,n·BE=0,即-x+y=0,-x+2z=0,不妨令z=1,可得n=(2,2,1).因此有cos<CE,n>=CE·n|CE|n|=-49.所以,直線CE與平面BDE所成角的正弦值為49.(3)解設(shè)m=(x,y,z)為平面BDF的法向量,則m·BD=0,m·BF=0,即-x+y=0,2y+hz=0,不妨令y=1,可得m=1,1,-2h.由題意,有|cos<m,n>|=|m·n|m|n|=4-2h32+4h2=13,解得h=87,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.所以,線段CF的長(zhǎng)為87.能力提升1.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M在AC1上且AM=12MC1,N為B1B的中點(diǎn),則|MN|為()A.216aB.66aC.156aD.153a解析以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,a2.設(shè)M(x,y,z),點(diǎn)M在AC1上且AM=12MC1,(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z).x=23a,y=a3,z=a3.M2a3,a3,a3,|MN|=a-23a2+a-a32+a2-a32=216a.答案A2.已知ABCD-A1B1C1D1為正方體,則二面角B-A1C1-A的余弦值為()A.23B.22C.63D.32解析以D為原點(diǎn),直線DA為x軸,直線DC為y軸,直線DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),A1C1=(-1,1,0),A1A=(0,0,-1),A1B=(0,1,-1).設(shè)平面A1C1A的法向量n=(x,y,z),則n·A1C1=-x+y=0,n·A1A=-z=0,取x=1,得n=(1,1,0).設(shè)平面A1C1B的法向量m=(a,b,c),則m·A1C1=-a+b=0,m·A1B=b-c=0,取a=1,得m=(1,1,1).設(shè)二面角B-A1C1-A的平面角為,則cos=|m·n|m|n|=22×3=63.二面角B-A1C1-A的余弦值為63.故選C.答案C3.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中點(diǎn),則B1C與A1P所成角的大小為,B1C·A1P=. 解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間坐標(biāo)系,如圖所示.AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中點(diǎn),B1(1,2,1),C(0,2,0),A1(1,0,1),P(0,1,1).B1C=(-1,0,-1),A1P=(-1,1,0).B1C·A1P=1+0+0=1,|B1C|=2,|A1P|=2.設(shè)B1C與A1P所成角為,cos=12×2=12,=60°.答案60°14.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等,M為A1C1的中點(diǎn),N為BB1的中點(diǎn),則直線CM與AN所成的角的余弦值為. 解析以A為原點(diǎn),在平面ABC內(nèi)過(guò)A作AC的垂線為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,則C(0,2,0),M(0,1,2),A(0,0,0),N(3,1,1),CM=(0,-1,2),AN=(3,1,1),設(shè)直線CM與AN所成的角為,則cos=|CM·AN|CM|AN|=15×5=15.直線CM與AN所成的角的余弦值為15.故答案為15.答案155.在四面體P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PA=PB=PC=a,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為. 解析根據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz,則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).過(guò)點(diǎn)P作PH平面ABC,交平面ABC于點(diǎn)H,則PH的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面ABC的距離.PA=PB=PC,H為ABC的外心.又ABC為正三角形,H為ABC的重心,可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為a3,a3,a3.PH=a3-02+a3-02+a3-02=33a.點(diǎn)P到平面ABC的距離為33a.答案33a6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,AB=1,CD=3,AP=2,DP=23,ÐPAD=60°,AB平面PAD,點(diǎn)M在棱PC上.(1)求證:平面PAB平面PCD;(2)若直線PA平面MBD,求此時(shí)直線BP與平面MBD所成角的正弦值.解(1)證明:因?yàn)锳B平面PAD,所以ABDP.又因?yàn)镈P=23,AP=2,PAD=60°,由PDsinPAD=PAsinPDA,可得sinPDA=12,所以PDA=30°,所以APD=90°,即DPAP,因?yàn)锳BAP=A,所以DP平面PAB,因?yàn)镈P平面PCD,所以平面PAB平面PCD.(2)由AB平面PAD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面PAD中,過(guò)點(diǎn)A作AD的垂線為x軸,AD,AB所在直線分別為y軸,z軸,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.其中A(0,0,0),B(0,0,1),C(0,4,3),D(0,4,0),P(3,1,0).從而B(niǎo)D=(0,4,-1),AP=(3,1,0),PC=(-3,3,3),設(shè)PM=PC,從而得M(3(1-),3+1,3),BM=(3(1-),3+1,3-1),設(shè)平面MBD的法向量為n=(x,y,z),若直線PA平面MBD,滿足n·BM=0,n·BD=0,n·AP=0,即3(1-)x+(3+1)y+(3-1)z=0,4y-z=0,3x+y=0,得=14,取n=(3,-3,-12),且BP=(3,1,-1),直線BP與平面MBD所成角的正弦值sin=|n·BP|n|BP|=|3-3+12|156×5=265195.7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA底面ABCD,ABC=60°,AB=3,AD=23,AP=3.(1)求證:平面PCA平面PCD;(2)設(shè)E為側(cè)棱PC上的一點(diǎn),若直線BE與底面ABCD所成的角為45°,求二面角E-AB-D的余弦值.解(1)證明:在平行四邊形ABCD中,ADC=60°,CD=3,AD=23,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosADC=12+3-2×23×3×cos60°=9,AC2+CD2=AD2,ACD=90°,即CDAC,又PA底面ABCD,CD底面ABCD,PACD.又ACCD=C,CD平面PCA.又CD平面PCD,平面PCA平面PCD.(2)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(-3,3,0),P(0,0,3).設(shè)E(x,y,z),PE=PC(01),則(x,y,z-3)=(0,3,-3),x=0,y=3,z=3-3,即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,3,3-3),BE=(-3,3,3-3).又平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),sin45°=|cos<BE,n>|=|3-3|3+92+(3-3)2,解得=13.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1,2),AE=(0,1,2),AB=(3,0,0),設(shè)平面EAB的法向量為m=(x,y,z),由m·AB=0,m·AE=0,得x=0,y+2z=0,令z=1,得平面EAB的一個(gè)法向量為m=(0,-2,1),cos<m,n>=m·n|m|n|=15=55.又二面角E-AB-D的平面角為銳角,所以,二面角E-AB-D的余弦值為55.10