(一)　三角函數(shù)與解三角形 1．(2017·山東)已知cosx＝，則cos2x等于(　　) A．－B.C．－D. 答案　D 解析　cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.故選D. 2．若sin＝，則cos等于(　　) A.B.C．－D．－ 答案　C 解析　令θ＝－x，則2x＋＝π－2θ， 所以cos＝cos(π－2θ)＝－cos2θ ＝2sin2θ－1＝－. 3．要得到函數(shù)y＝sin的圖象，可以將函數(shù)y＝cos的圖象(　　) A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 答案　A 解析　函數(shù)y＝cos＝cos， 轉(zhuǎn)換為y＝sin＝sin， 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度， 得到y(tǒng)＝sin的圖象． 4．已知sinα＝，sin(β－α)＝－，α，β均為銳角，則角β等于(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　因?yàn)閟inα＝，sin(β－α)＝－， 結(jié)合α，β均為銳角，可以求得cosα＝，cos(β－α)＝， 所以sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosα·sin(β－α)＝×＋×＝＝， 所以β＝，故選C. 5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a＝2，C＝，tanB＝，則△ABC的面積等于(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　根據(jù)題干條件tanB＝可得到 sinB＝，cosB＝， 又∵C＝，∴sinC＝cosC＝， ∴sinA＝sin(B＋C)＝， 由正弦定理得到＝，∴c＝， 根據(jù)面積公式得到S＝acsinB＝×2××＝. 6．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)與y軸交于點(diǎn)M，距離y軸最近的最大值點(diǎn)N，若x1，x2∈(－a，a)，且x1≠x2，恒有f(x1)≠f(x2)，則實(shí)數(shù)a的最大值為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由題意得，A＝3,3sinφ＝，|φ|<， ∴φ＝， 由五點(diǎn)作圖法知×ω＋＝，解得ω＝3， ∴f(x)＝3sin， 令2kπ－≤3x＋≤2kπ＋，k∈Z. 解得－≤x≤＋，k∈Z. ∴(－a，a)?， ∴0<a≤. 7．將函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．函數(shù)g(x)的最大值為＋1 B．函數(shù)g(x)的最小正周期為π C．函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱 答案　C 解析　化簡(jiǎn)得f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后可得y＝2sin＝2sin， 再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)長(zhǎng)度不變)得到函數(shù)g(x)， ∴g(x)＝2sin， 由三角函數(shù)性質(zhì)知g(x)的最大值為2，故A錯(cuò)； 最小正周期為2π，故B錯(cuò)； 令x－＝＋kπ，k∈Z， ∴對(duì)稱軸為x＝＋kπ，k∈Z， 給k賦值，x取不到，故D錯(cuò)； 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 則－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z， 當(dāng)k＝0時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為， ?，故C正確． 8.如圖，在△ABC中，C＝60°，BC＝2AC＝2，點(diǎn)D在邊BC上，且sin∠BAD＝，則DC等于(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　∵C＝60°，BC＝2AC＝2， ∴AB＝ ＝＝3， ∴cosB＝＝＝， 又∵B是三角形的內(nèi)角， ∴B＝30°，∴∠BAC＝90°，(或利用勾股定理得出∠BAC＝90°，進(jìn)而得∠B＝30°) ∵sin∠BAD＝， ∴cos∠BAD＝＝， 可得sin∠DAC＝cos∠BAD＝， ∵在△ABD中，由正弦定理可得AD＝， 在△ADC中，由正弦定理可得AD＝， ∴＝， 解得DC＝. 9．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)，若f ＝2，f(π)＝0，且在上具有單調(diào)性，那么ω的取值共有(　　) A．6個(gè)B．7個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè) 答案　D 解析　因?yàn)閒 ＝2，f(π)＝0， 所以ω＋φ＝＋2kπ，πω＋φ＝mπ(k，m∈Z)， 所以ω＝， 因?yàn)閒(x)在上具有單調(diào)性， 所以≥－，所以T≥， 所以≥，所以0<ω≤12， 因此m－2k＝1,2,3,4,5,6,7,8,9， 所以ω的取值共有9個(gè)，故選D. 10．在△ABC中，B＝30°，BC＝3，AB＝2，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)B，C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)分別為B′，C′，則△BB′C′的面積的最大值為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　由余弦定理可得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB ＝12＋9－2×2×3×＝3， ∴AC＝，且AC2＋BC2＝AB2， ∴AC⊥BC， 以C為原點(diǎn)，以CB，CA為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示， 由題意知，直線AD的斜率存在， 設(shè)直線AD的方程為y＝kx＋， 當(dāng)D是線段BC的端點(diǎn)B時(shí)，B，B′，C′在同一條直線上，不符合題意， ∴k<－，設(shè)B′(m，n)，顯然n<0， 則 解得n＝， ∵CC′∥BB′， ∴S△BB′C′＝S△BB′C＝·BC·|n| ＝×3×＝－， 令f(k)＝－， 則f′(k)＝， 令f′(k)＝0可得k＝－或k＝(舍)， ∴當(dāng)k<－時(shí)，f′(k)>0， 當(dāng)－<k<－時(shí)，f′(k)<0， ∴當(dāng)k＝－時(shí)，f(k)取得最大值f(－)＝. 即△BB′C′的面積的最大值為. 11．(2019·湖州三校聯(lián)考)我國(guó)古代某數(shù)學(xué)著作中記載了一個(gè)折竹抵地問(wèn)題：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，問(wèn)折者高幾何？”意思是：有一根竹子(與地面垂直)，原高二丈(1丈＝10尺)，現(xiàn)被風(fēng)吹折，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離為六尺，則折斷處離地面的高為________尺． 答案　9.1 解析　設(shè)折斷處離地面的高為x尺．則(20－x)2－x2＝62，∴x＝9.1. 12．已知函數(shù)f(x)＝4sinxsin，則函數(shù)f(x)的最小正周期T＝________，在上的值域?yàn)開_______． 答案　π　(0,3] 解析　f(x)＝4sinxsin ＝4sinx ＝2sin2x＋2sinxcosx ＝1－cos2x＋sin2x ＝1－2cos， 則函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π. 當(dāng)x∈時(shí)，2x＋∈， 則cos∈， 所以f(x)＝1－2cos∈(0,3]． 13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c＝2b，sinC＝，則sinB＝________，若2a2＋b2＋c2＝4，則△ABC面積的最大值是________． 答案　　 解析　因?yàn)閏＝2b，sinC＝，則在△ABC中， 由正弦定理得＝，即sinB＝＝. 由2a2＋b2＋c2＝4，得b2＋c2＝4－2a2， 則2＝(1－cos2A) ＝＝ ＝－≤－ ＝－ ＝－＋a2＝－2＋(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立)， 則當(dāng)a2＝時(shí)，2取得最大值， 則△ABC面積的最大值為. 14．(2019·浙江省三校聯(lián)考)在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，c＝2，A＝，則asinC＝________，a＋b的取值范圍是________． 答案　　(＋1,4＋2) 解析　由正弦定理，可得＝， 則asinC＝csinA＝2sin＝. 由＝＝， 可得a＝＝， b＝＝， 所以a＋b＝＋＝1＋ ＝1＋＝1＋. 由△ABC是銳角三角形， 可得0<C<，0<－C<， 則<C<，所以<<，2－<tan<1. 所以1＋<a＋b<1＋＝4＋2. 15．(2019·湖州三校聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知tan＝2，則sinA的值為________，若B＝，a＝4，則△ABC的面積等于________． 答案　　16 解析　因?yàn)閠an＝2， 所以＝2，tanA＝，因此sinA＝， 因?yàn)椋?，所以b＝4， 因?yàn)閟inC＝sin(A＋B)＝×＝， 所以△ABC的面積等于××4×4＝16. 16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若bc＝1，b＋2ccosA＝0，則當(dāng)角B取得最大值時(shí)，三角形的內(nèi)切圓的半徑r＝________. 答案?。? 解析　因?yàn)閎＋2ccosA＝0， 所以A∈， 且由正弦定理得sinB＋2sinCcosA＝0， 即3sinCcosA＋cosCsinA＝0,3tanC＋tanA＝0. tanB＝－＝≤， 當(dāng)且僅當(dāng)tan2C＝，即C＝時(shí)等號(hào)成立， 故Bmax＝， 此時(shí)B＝C，所以b＝c＝1，a＝， 此時(shí)r＝×1×1×， 解得r＝－. 17．已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，A是最大角，若＋＝m，則m的取值范圍為________． 答案　[，2) 解析　設(shè)D是AB中點(diǎn)， 根據(jù)垂徑定理可知OD⊥AB， 依題意得 ·＋· ＝m(＋)·＝2， 即＋＝c2， 利用正弦定理化簡(jiǎn)得cosB＋cosAcosC＝sinC. 由于cosB＝－cos(A＋C)， 所以sinAsinC－cosAcosC＋cosAcosC＝sinC， 即m＝2sinA．由于A是銳角三角形的最大角， 故A∈，sinA∈， 故m＝2sinA∈[，2)． 11