專題08 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、【知識精講】1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：()na(a使有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時，a，當(dāng)n為偶數(shù)時，|a|2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a(a>0，m，nN*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a(a>0，m，nN*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：arasar+s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)yax(a>0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，)性質(zhì)過定點(0，1)，即x0時，y1當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x<0時，y>1；當(dāng)x>0時，0<y<1在(，)上是增函數(shù)在(，)上是減函數(shù)微點提醒1.畫指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a1)的圖象越高，底數(shù)越大.二、【典例精練】考點一指數(shù)冪的運算【例1】 化簡下列各式：(1)22·(0.01)0.5；(2)(6ab)÷.【解析】(1)原式1×1×1.(2) 原式2×(6)÷(3)ab4ab04a.【解法小結(jié)】1.指數(shù)冪的運算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】 (1) 若函數(shù)y21xm的圖象不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍_【答案】(，2【解析】y21xmx1m，函數(shù)yx1的圖象如圖所示，則要使其圖象不經(jīng)過第一象限，則m2.故m的取值范圍為(，2(2)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_.【答案】(0，2)【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示.當(dāng)0<b<2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點.b的取值范圍是(0，2).【解法小結(jié)】1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論.2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例31】 (1) (2016·全國卷)已知a2，b4，c25，則()Ab<a<cBa<b<cCb<c<a Dc<a<b(2)設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)<1，則實數(shù)a的取值范圍是_.【答案】(1)A(2)(3，1)【解析】(1)因為a2，b42，由函數(shù)y2x在R上為增函數(shù)知，b<a；又因為a24，c255，由函數(shù)yx在(0，)上為增函數(shù)知，a<c.綜上得b<a<c.故選A.答案A (2)當(dāng)a<0時，原不等式化為7<1，則2a<8，解之得a>3，所以3<a<0.當(dāng)a0時，則<1，0a<1.綜上知，實數(shù)a的取值范圍是(3，1).角度2與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【例32】 (1)已知函數(shù)f(x)2|2xm|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間2，)上是增加的，則m的取值范圍是_.(2)若函數(shù)f(x)的值域是，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_.【答案】(1)(，4(2)(，1【解析】(1)令t|2xm|，則t|2xm|在區(qū)間上是增加的，在區(qū)間上是減少的.而y2t在R上是增加的，所以要使函數(shù)f(x)2|2xm|在2，)上是增加的，則有2，即m4，所以m的取值范圍是(，4.(2)令g(x)ax22x3，由于f(x)的值域是，所以g(x)的值域是2，).因此有解得a1，這時g(x)x22x3，f(x).由于g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，1，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1.角度3函數(shù)的最值問題【例33】 如果函數(shù)ya2x2ax1(a>0，且a1)在區(qū)間1，1上的最大值是14，則a的值為_.【答案】3或【解析】令axt，則ya2x2ax1t22t1(t1)22.當(dāng)a>1時，因為x1，1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增，所以ymax(a1)2214，解得a3(負(fù)值舍去).當(dāng)0<a<1時，因為x1，1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增，則ymax214，解得a(負(fù)值舍去).綜上，a3或a.【解法小結(jié)】1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.2.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.易錯警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時，當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時，要分類討論.【思維升華】1.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡運算.2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)分0<a<1和a>1兩種情況分類討論.【易錯注意點】1.對與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題，要弄清楚復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，并且一定要注意函數(shù)的定義域.2.對可化為a2xb·axc0或a2xb·axc0(0)形式的方程或不等式，常借助換元法解題，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.三、【名校新題】1.(2019·永州模擬)下列函數(shù)中，與函數(shù)y2x2x的定義域、單調(diào)性與奇偶性均一致的是()A.ysin xB.yx3C.yD.ylog2x【答案】B【解析】y2x2x是定義域為R的單調(diào)遞增函數(shù)，且是奇函數(shù).而ysin x不是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；y是非奇非偶函數(shù)，不符合題意；ylog2x的定義域是(0，)，不符合題意；yx3是定義域為R的單調(diào)遞增函數(shù)，且是奇函數(shù)符合題意.2. (2019·衡水中學(xué)檢測)不論a為何值，函數(shù)y(a1)2x恒過定點，則這個定點的坐標(biāo)是()A.B.C.D.【答案】C【解析】(1)y(a1)2xa2x，令2x0，得x1，故函數(shù)y(a1)2x恒過定點.3.(2019·東北三校聯(lián)考)函數(shù)f(x)ax1(a>0，a1)的圖象恒過點A，下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過點A的是()A.yB.y|x2|C.y2x1 D.ylog2(2x)【答案】A【解析】f(x)過定點A(1，1)，將點A(1，1)代入四個選項，y的圖象不過點A(1，1).4. (2019·貴陽監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)42ax1的圖象恒過定點P，則點P的坐標(biāo)是()A(1,6)B(1,5)C(0,5) D(5,0)【答案】A【解析】由于函數(shù)yax的圖象過定點(0,1)，當(dāng)x1時，f(x)426，故函數(shù)f(x)42ax1的圖象恒過定點P(1,6)5.(2019·南寧調(diào)研)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.C. D.【答案】D【解析】令xx20，得0x1，所以函數(shù)f(x)的定義域為0,1，因為yt是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間就是函數(shù)yx2x在0,1上的減區(qū)間，故選D.6.(2019·郴州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(2x1)f(x1)>0的解集為()A.(2，) B(2，)C.(2，) D(，2)【答案】B【解析】函數(shù)f(x)ex的定義域為R，f(x)exexf(x)，f(x)是奇函數(shù)，那么不等式f(2x1)f(x1)>0等價于f(2x1)>f(x1)f(1x)，易證f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，2x1>x1，解得x>2，不等式f(2x1)f(x1)>0的解集為(2，)7.(2019·西安市質(zhì)檢)在我國大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%，專家預(yù)測經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍，則函數(shù)yf(x)的圖象大致為()【答案】D【解析】設(shè)原有荒漠化土地面積為b，經(jīng)過x年后荒漠化面積為z，則zb(110.4%)x，故y(110.4%)x，其是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù).其圖象應(yīng)為選項D.8.(2019·合肥檢測)當(dāng)x(，1時，不等式(m2m)·4x2x<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(2，1) B.(4，3) C.(3，4) D.(1，2)【答案】D【解析】原不等式變形為m2m<，又y在(，1上是減函數(shù)，知2.故原不等式恒成立等價于m2m<2，解得1<m<2.9.化簡_.【答案】【解析】原式a·b.10. (2017·山東高考)若函數(shù)exf(x)(e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為_f(x)2x；f(x)3x；f(x)x3；f(x)x22.【答案】【解析】：設(shè)g(x)exf(x)，對于，g(x)ex·2x，則g(x)(ex·2x)ex·2x(1ln 2)>0，所以函數(shù)g(x)在(，)上為增函數(shù)，故符合要求；對于，g(x)ex·3x，則g(x)(ex·3x)ex·3x(1ln 3)<0，所以函數(shù)g(x)在(，)上為減函數(shù)，故不符合要求；對于，g(x)ex·x3，則g(x)(ex·x3)ex·(x33x2)，顯然函數(shù)g(x)在(，)上不單調(diào)，故不符合要求；對于，g(x)ex·(x22)，則g(x)ex·(x22)ex·(x22x2)ex·(x1)21>0，所以函數(shù)g(x)在(，)上為增函數(shù)，故符合要求綜上，具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為.11. (2019·西安質(zhì)檢)若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)2x4(x0)，則不等式f(x2)>0的解集為_【答案】x|x>4或x<0【解析】f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時，x>0，則f(x)f(x)2x4.f(x)當(dāng)f(x2)0時，有或解得x4或x0.不等式的解集為x|x>4或x<012.(2018·長沙一中月考)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(1)求a的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并加以證明.【解析】(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)的定義域為R；所以f(0)0，所以a1.(2)由(1)知f(x)1，函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增.證明：設(shè)x1<x2R，則f(x1)f(x2).因為x1<x2，所以3x1<3x2，所以3x13x2<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增.13.(2018·上海卷)已知常數(shù)a>0，函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點P，Q.若2p+q36pq，則a_.【解析】因為f(x)，且其圖象經(jīng)過點P，Q，則f(p)，即，f(q)，即6，×得1，則2pqa2pq36pq，所以a236，解得a±6，因為a>0，所以a6.14.已知定義在R上的函數(shù)f(x)2x，(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0對于t1，2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)x<0時，f(x)0，故f(x)無解；當(dāng)x0時，f(x)2x，由2x，得2·22x3·2x20，將上式看成關(guān)于2x的一元二次方程，解得2x2或2x，因為2x>0，所以2x2，所以x1.(2)當(dāng)t1，2時，2tm0，即m(22t1)(24t1)，因為22t1>0，所以m(22t1)，因為t1，2，所以(22t1)17，5，故實數(shù)m的取值范圍是5，).10