單科標準練(四) (滿分：150分時間：120分鐘)第卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知集合Ax|ylg x，Bx|y，則AB()A0,2B2,0C(0,2D2,0)C由A中的函數(shù)ylg x，得到x0，即Ax|ylg x(0，)Bx|y2,2，則AB(0,2，故選C.2設zi3，則z的虛部是()A1BC2iD2Dzi3iiii2i，則z的虛部為2，故選D.3下圖為國家統(tǒng)計局發(fā)布的2019年上半年全國居民消費價格指數(shù)(CPI)數(shù)據(jù)折線圖，(注：同比是今年第n個月與去年第n個月之比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計周期和上一個統(tǒng)計周期之比)下列說法錯誤的是()A2019年6月CPI環(huán)比下降0.1%，同比上漲1.9%B2019年3月CPI環(huán)比下降1.1%，同比上漲2.1%C2019年2月CPI環(huán)比上漲0.6%，同比上漲1.4%D2019年6月CPI同比漲幅比上月略微擴大0.1個百分點C觀察表中數(shù)據(jù)知A，B，D正確，對選項C,2019年2月CPI環(huán)比上漲1.2%，同比上漲2.9%，故C錯誤，故選C.4已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率e，且其虛軸長為8，則雙曲線C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1B雙曲線C：1(a0，b0)的離心率e，且其虛軸長為8，由得可得1.故選B.5根據(jù)黨中央關于“精準脫貧”的要求，我市某農業(yè)經濟部門派4位專家對3個縣區(qū)進行調研，每個縣區(qū)至少派1位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為()A. B.C. D.A4個專家分為3組，每組至少1人，分法為：2,1,1，共有C種，再排到3個縣區(qū)，故基本事件的總數(shù)有C·A36種. “甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)”事件的方法數(shù)為A6種，故“甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率” 為.6.如圖，在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，則該截面的面積為()A2B2C2D4C在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，則該截面是一個對角線分別為正方體體對角線和面對角線的菱形，如圖所示：則EF2，A1C2，EFA1C，則截面的面積SEF·A1C2，故選C.7若兩個非零向量a，b滿足|b|2|a|2，|a2b|3，則a，b的夾角是()A. B.C.DD根據(jù)題意，設a，b的夾角是，又由|b|2|a|2，且|a2b|3，則(a2b)a24a·b4b29，即14(1×2cos )169，解得cos 1，則，故選D.8函數(shù)f(x)xcos xx3的大致圖象為()ABCDB函數(shù)f(x)xcos(x)(x)3xcos xx3f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除C，D，fcos0，排除A，故選B.9執(zhí)行如圖所示程序框圖，若輸出的S值為20，則條件框內應填寫()Ai3?Bi4?Ci4?Di5?D模擬執(zhí)行程序，可得：i1，S10，滿足判斷框內的條件，第1次執(zhí)行循環(huán)體，S10218，i2，滿足判斷框內的條件，第2次執(zhí)行循環(huán)體， S8224，i3，滿足判斷框內的條件，第3次執(zhí)行循環(huán)體，S4234，i4，滿足判斷框內的條件，第4次執(zhí)行循環(huán)體，S42420，i5，此時，應該不滿足判斷框內的條件，退出循環(huán)，輸出的S值為20，則條件框內應填寫：i5？故選D.10ABC的內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若ABC的面積為(c2a2b2)，則內角C的余弦值等于()A B.CDAABC的面積為(c2a2b2)absin C，sin C2cos C，tan C2，C，cos C.故選A.11設alog0.20.4，b1，則()Aab0abBabab0Cabab0Dab0abCalog0.20.40，b1log4 4log4 10log4 0.40，log0.40.2log0.44log0.40.8(0,1)，01.ab0，abab0.故選C.12.如圖，四棱錐P­ABCD的底面為矩形，矩形的四個頂點A，B，C，D在球O的同一個大圓上，且球的表面積為16，點P在球面上，則四棱錐P­ABCD體積的最大值為()A8 B.C16 D.D因為球O的表面積是16，所以S4R216，解得R2.如圖，四棱錐 P­ABCD底面為矩形且矩形的四個頂點A，B，C，D在球O的同一個大圓上，設矩形的長寬為x，y，則x2y2(2R)22xy，當且僅當xy時上式取等號，即底面為正方形時，底面面積最大，此時S正方形ABCD2R28.點P在球面上，當PO底面ABCD時，POR，即hmaxR，則四棱錐P­ABCD體積的最大值為.故選D.第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第1321題為必考題，每個試題考生都必須作答，第2223題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13函數(shù)f(x)3sin xcos x的最大值為_2由題意可知f(x)3sin xcos x22sin2，故函數(shù)f(x)3sin xcos x最大值為2. 14甲、乙、丙三人中，只有一個會彈鋼琴甲說：“我會”，乙說：“我不會”，丙說：“甲不會”如果這三句話只有一句是真的，那么會彈鋼琴的是_乙設會彈鋼琴的是甲，則甲、乙說的是真話，與題設矛盾，故會彈鋼琴的不是甲；設會彈鋼琴的是乙，則丙說的是真話，與題設相符，故會彈鋼琴的是乙；設會彈鋼琴的是丙，則乙、丙說的是真話，與題設矛盾，故會彈鋼琴的不是丙；綜合得：會彈鋼琴的是乙15已知函數(shù)f(x)是定義域為(，)的偶函數(shù)，且f(x1)為奇函數(shù)，當x0,1時，f(x)1x3，則f_.根據(jù)題意，f(x1)為奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)關于點(1,0)對稱，則有f(x)f(2x)，又由函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)f(x)，則有f(x)f(x2)，變形可得f(x4)f(x2)f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，fffff.16已知拋物線C：y22px(p0)，過其焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，若3，且拋物線C上存在點M與x軸上一點N(7,0)關于直線l對稱，則該拋物線的焦點到準線的距離為_6拋物線C：y22px(p0)，過其焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，若3，可得直線l的斜率為，如圖拋物線C上存在點M與x軸上一點N(7,0)關于直線l對稱，可得M(，)，M在拋物線上，所以2p，解得p6. 三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分12分)已知an是遞增的等比數(shù)列，a2a34，a1a43.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)設等比數(shù)列an的公比為q，因為a2a34，a1a4a2a33，所以a2，a3是方程x24x30的兩個根解得或 因為an是遞增的等比數(shù)列，所以a21，a23，則q3.所以數(shù)列an的通項公式為an3n2.(2)由(1)知bnn×3n2.則Sn1×312×303×31n×3n2 ，在式兩邊同時乘以3得，3Sn1×302×313×32n×3n1，得2Sn3130313n2n×3n1，即2Snn×3n1，所以Sn(2n1)×3n1.18(本小題滿分12分)如圖所示的幾何體ABCDEF中，底面ABCD為菱形，AB2a，ABC120°，AC與BD相交于O點，四邊形BDEF為直角梯形，DEBF，BDDE，DE2BF2a，平面BDEF底面ABCD.(1)證明：平面AEF平面AFC；(2)求二面角E­AC­F的余弦值解(1)因為底面ABCD為菱形，所以ACBD，又平面BDEF底面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，因此AC平面BDEF，從而ACEF，ACDE，又BDDE，所以DE平面ABCD，由AB2a，DE2BF2a，ABC120°，可知AFa，BD2a，EFa，AE2a.從而AF2FE2AE2，故EFAF.又AFACA，所以EF平面AFC.又EF平面AEF，所以平面AEF平面AFC.(2)取EF中點G，由題可知OGDE，所以OG平面ABCD，又在菱形ABCD中，OAOB，所以分別以，的方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系O­xyz(如圖所示)，則O(0,0,0)，A(a,0,0)，C(a,0,0)，E(0，a，2a)，F(xiàn)(0，a，a)，所以(0，a,2a)(a,0,0)(a，a,2a)，(a,0,0)(a,0,0)(2a,0,0)，(0，a，a)(0，a,2a)(0,2a，a)由(1)可知EF平面AFC，所以平面AFC的法向量可取為(0,2a，a)設平面AEC的法向量為n(x，y，z)，則即即令z，得y4，所以n(0,4，)從而cosn，.故所求的二面角E­AC­F的余弦值為.19(本小題滿分12分)港珠澳大橋是中國建設史上里程最長，投資最多，難度最大的跨海橋梁項目，大橋建設需要許多橋梁構件從某企業(yè)生產的橋梁構件中抽取100件，測量這些橋梁構件的質量指標值，由測量結果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質量指標值落在區(qū)間55,65)，65,75)，75,85內的頻率之比為421.(1)求這些橋梁構件質量指標值落在區(qū)間75,85內的頻率；(2)若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產的這種橋梁構件中隨機抽取3件，記這3件橋梁構件中質量指標值位于區(qū)間45,75)內的橋梁構件件數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望解(1)設區(qū)間75,85內的頻率為x，則區(qū)間55,65)，65,75)內的頻率分別為 4x和2x.依題意得(0.0040.0120.0190.03)×104x2xx1，解得x0.05.所以這些橋梁構件質量指標值落在區(qū)間75,85內的頻率為0.05.(2)從該企業(yè)生產的該種橋梁構件中隨機抽取3件，相當于進行了3次獨立重復實驗，所以X服從二項分布B(n，p)，其中n3.由(1)得，區(qū)間45,75內的頻率為0.30.20.10.6，將頻率視為概率得p0.6.因為X的所有可能取值為0,1,2,3.且P(X0)C×0.60×0.430.064，P(X1)C×0.61×0.420.288，P(X2)C×0.62×0.410.432，P(X3)C×0.63×0.400.216.所以X的分布列為：X0123P0.0640.2880.4320.216X服從二項分布B(n，p)，所以X的數(shù)學期望為E(X)3×0.61.8. 20(本小題滿分12分)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，P是橢圓C上的動點，且PF1F2面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)若A，B是橢圓C的左、右頂點，直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D，當點P在橢圓上運動時，求證：以BD為直徑的圓與直線PF2恒相切解(1)由題意可設橢圓C的方程為1(ab0)，F(xiàn)(c,0)由題意知解得b2，c1，a3.所以橢圓C的方程為1，離心率為e.(2)證明：由題意可設直線AP的方程為yk(x3)(k0)，則點D坐標為(3,6k)，BD中點E的坐標為(3,3k)由得(89k2)x254k2x81k2720.設點P的坐標為(x0，y0)，則3x0，所以x0，y0k(x03).因為點F2坐標為(1,0)，當k±時，點P的坐標為，直線PF2x軸，點D的坐標為(3，±4)，此時以BD為直徑的圓(x3)2(y±2)24與直線PF2相切當k±時，則直線PF2的斜率為kPF2，所以直線PF2的方程為y(x1)，點E到直線PF2的距離為d3|k|.又因為|BD|6|k|，所以d|BD|，故以BD為直徑的圓與直線PF2相切綜上，當點P在橢圓上運動時，以BD為直徑的圓與直線PF2恒相切21(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x2xln x，g(x).(1)記h(x)f(x)g(x)，試判斷h(x)在區(qū)間(1,2)內零點個數(shù)并說明理由；(2)記(1)中的h(x)在(1,2)內的零點為x0，(x)，若(x)t(tR)在(1，)有兩個不等實根x1，x2(x1x2)，判斷x1x2與2x0的大小，并給出對應的證明解(1)由題意h(x)f(x)g(x)，那么h(x)x2xln x，定義域為x(0，)h(x)x1ln x，由題設x(1,2)，故h(x)0，即h(x)在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)那么：h(1)ln 10，h(2)2ln 20，并且h(x)在(1,2)上連續(xù)的，故根據(jù)零點定理，有h(x)在區(qū)間(1,2)有且僅有唯一實根，即一個零點(2)(x)，當1xx0時，(x)f(x)x1ln x恒大于0，所以當1xx0時，(x)是增函數(shù)；當xx0時，(x)g(x)恒小于0，(x)是減函數(shù)(x)t(tR)在(1，)有兩個不等實根x1，x2(x1x2)，則x1(1，x0)，x2(x0，)，顯然：當x2時，x1x22x0.要證明x1x22x0，即可證明x22x0x1x0，而(x)在xx0時是減函數(shù)，故證(x2)(2x0x1)又由(x1)(x2)，即可證：(x1)(2x0x1)即xx1ln x1，(構造思想)，即xx1ln x10，令s(x)x2xln x(1xx0)，由(1)可知：s(x0)0，那么：s(x)xln x1，記P(x)，則P(x).當x(0,1)時，P(x)0；當x1時，P(x)0；故P(x)max；而P(x)0，故P(x)0，而2x0x0，從而有：0；因此：s(x)xln x10，即s(x)單調遞增，從而1xx0時，s(x)s(x0)0，即xx1ln x1成立，故得：x1x22x0.請考生在22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分22(本小題滿分10分)選修44：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的方程為ykx，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系(1)求曲線C的極坐標方程；(2)曲線C與直線l交于A，B兩點，若|OA|OB|2，求k的值解(1)x24xy210.所以曲線C的極坐標方程為24cos 10. (2)設直線l的極坐標方程為1(R，10，)，其中1為直線l的傾斜角，代入曲線C得24cos 110，設A，B所對應的極徑分別為1，2.124cos 1，1210，(4cos 1)240，|OA|OB|1|2|12|2，cos 1±滿足0，1或，l的傾斜角為或， 則ktan 1或 . 23(本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知a，b均為實數(shù)，且|3a4b|10.(1)求a2b2的最小值；(2)若|x3|x2|a2b2對任意的a，bR恒成立，求實數(shù)x的取值范圍解(1)因為102(3a4b)2(3242)(a2b2)25(a2b2)，所以a2b24，當且僅當，即或時取等號，即a2b2的最小值為4.(2)由(1)知|x3|x2|a2b2對任意的a，bR恒成立|x3|x2|4，或，或x3或3xx.所以實數(shù)x的取值范圍為.- 12 -