專題06 函數(shù)的奇偶性與周期性一、【知識精講】1函數(shù)的奇偶性(1)奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱(2)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件2函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期3函數(shù)的對稱性常見的結(jié)論(1)函數(shù)yf(x)關于x對稱f(ax)f(bx)f(x)f(bax)特殊：函數(shù)yf(x)關于xa對稱f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；函數(shù)yf(x)關于x0對稱f(x)f(x)(即為偶函數(shù))(2)函數(shù)yf(x)關于點(a，b)對稱f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b.特殊：函數(shù)yf(x)關于點(a,0)對稱f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函數(shù)yf(x)關于(0,0)對稱f(x)f(x)0(即為奇函數(shù))(3)yf(xa)是偶函數(shù)函數(shù)yf(x)關于直線xa對稱；yf(xa)是奇函數(shù)函數(shù)yf(x)關于點(a,0)對稱知識拓展1函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(3)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(4)yf(xa)是奇函數(shù)，則f(xa)f(xa)；yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)2函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a(a0)(2)若f(xa)1fx，則T2a(a0)(3)若f(xa)1fx，則T2a(a0)二、【典例精練】考點一判斷函數(shù)的奇偶性例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)【解析】(1)由得x23，解得x±，即函數(shù)f(x)的定義域為，從而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(2)由得定義域為(1，0)(0，1)，關于原點對稱.x2<0，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(，0)(0，)，關于原點對稱.當x<0時，x>0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當x>0時，x<0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).【解法小結(jié)】判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立.考點二函數(shù)的周期性及其應用例2. (1) (2018·全國卷)已知f(x)是定義域為(，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x).若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B.0 C.2 D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0x<2時，f(x)x3x，則函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0，6上與x軸的交點個數(shù)為_.【答案】(1)C(2)7【解析】(1)法一f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1x)f(1x).f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x).因此f(x4)f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(1)f(2)f(3)f(50)12×0f(1)f(2)2.法二取一個符合題意的函數(shù)f(x)2sin，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列f(n)(nN*)是以4為周期的周期數(shù)列.故f(1)f(2)f(3)f(50)12×f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)12×20(2)0202.(2)因為當0x<2時，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)0，則f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0，6上與x軸的交點有7個.【解法小結(jié)】1.根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時，應根據(jù)周期性或奇偶性，由待求區(qū)間轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間.2.若f(xa)f(x)(a是常數(shù)，且a0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個周期.第(1)題法二是利用周期性構造一個特殊函數(shù)，優(yōu)化了解題過程.考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合運用角度1函數(shù)單調(diào)性與奇偶性【例31】(2017·全國卷)函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若f(1)1，則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是()A2,2 B1,1C0,4 D1,3【答案】D【解析】(1)f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)上單調(diào)遞減，1x21，1x3.【解法小結(jié)】1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性.2.本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)f(|x|)，避免了不必要的討論，簡化了解題過程.角度2函數(shù)的奇偶性與周期性【例32】（1）(2017·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x4)f(x2)若當x3,0時，f(x)6x，則f(919)_.【答案】6【解析】f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x)的周期為6，919153×61，f(919)f(1)又f(x)為偶函數(shù)，f(919)f(1)f(1)6.(2)(2018·洛陽模擬)已知函數(shù)yf(x)滿足yf(x)和yf(x2)是偶函數(shù)，且f(1)，設F(x)f(x)f(x)，則F(3)()A.B.C. D.【答案】B【解析】由yf(x)和yf(x2)是偶函數(shù)知f(x)f(x)，且f(x2)f(x2)，則f(x2)f(x2).f(x4)f(x)，則yf(x)的周期為4.所以F(3)f(3)f(3)2f(3)2f(1)2f(1).例3-3（1）(2018·全國卷)已知f(x)是定義域為(，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x)若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()A50B0C2 D50(2)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足ff(x)，當x時，f(x)log (1x)，則f(x)在區(qū)間內(nèi)是()A減函數(shù)且f(x)>0 B減函數(shù)且f(x)<0C增函數(shù)且f(x)>0 D增函數(shù)且f(x)<0【答案】(1)C(2)D【解析】(1)法一：f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)由f(1x)f(1x)，得f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)由f(x)為奇函數(shù)得f(0)0.又f(1x)f(1x)，f(x)的圖象關于直線x1對稱，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)0×12f(49)f(50)f(1)f(2)202.法二：由題意可設f(x)2sin，作出f(x)的部分圖象如圖所示由圖可知，f(x)的一個周期為4，所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)12×0f(1)f(2)2.(2)當x時，由f(x)log (1x)可知，f(x)單調(diào)遞增且f(x)>0，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間上也單調(diào)遞增，且f(x)<0.由ff(x)知，函數(shù)的周期為，所以在區(qū)間上，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增且f(x)<0.【解法小結(jié)】周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.【思維升華】1.判斷函數(shù)的奇偶性，首先應該判斷函數(shù)定義域是否關于原點對稱.定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件.2.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題：(1)求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性.3.在解決具體問題時，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期”的應用.【易錯 注意點】1.f(0)0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件.2.函數(shù)f(x)滿足的關系f(ax)f(bx)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.三、【名校新題】1.(2019·衡水模擬)下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增的是()A.yx3B.yxC.y|x| D.y|tan x|【答案】C【解析】對于A，yx3為奇函數(shù)，不符合題意；對于B，yx是非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于D，y|tan x|是偶函數(shù)，但在區(qū)間(0，)上不單調(diào)遞增.2(2019·南昌聯(lián)考)函數(shù)f(x)的圖象()A關于x軸對稱 B關于y軸對稱C關于坐標原點對稱 D關于直線yx對稱【答案】B【解析】因為f(x)3x3x，易知f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱3 (2019·河北“五個一”名校聯(lián)盟二模)設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)則g(8)()A.2 B.3 C.2 D.3【答案】A【解析】法一當x<0時，x>0，且f(x)為奇函數(shù)，則f(x)log3(1x)，所以f(x)log3(1x).因此g(x)log3(1x)，x<0，故g(8)log392.法二由題意知，g(8)f(8)f(8)log392.4.(2019·山東、湖北部分重點中學模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在1，)上單調(diào)遞減，且f(x1)是偶函數(shù)，不等式f(m2)f(x1)對任意的x1，0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A.3，1 B.4，2C.(，31，) D.(，42，)【答案】A【解析】因為f(x1)是偶函數(shù)，所以f(x1)f(x1)，所以f(x)的圖象關于x1對稱，由f(m2)f(x1)得|(m2)1|(x1)1|，即|m1|x2|在x1，0恒成立，所以|m1|x2|min，所以|m1|2，解得3m1.5.(2019·石家莊模擬)已知奇函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且f(1)0，若f(x1)>0，則x的取值范圍為()A.x|0<x<1或x>2B.x|x<0或x>2C.x|x<0或x>3D.x|x<1或x>1【答案】A【解析】由題意知函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，且f(1)0，不等式f(x1)>0f(x1)>f(1)或f(x1)>f(1).x1>1或0>x1>1，解之得x>2或0<x<1.6(2019·益陽、湘潭調(diào)研)定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x5)f(x)，當x(3,0時，f(x)x1，當x(0,2時，f(x)log2x，則f(1)f(2)f(3)f(2 019)的值等于()A403 B405C806 D809【答案】B【解析】定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x5)f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為5.又當x(0,2時，f(x)log2x，所以f(1)log210，f(2)log221.當x(3,0時，f(x)x1，所以f(3)f(2)1，f(4)f(1)0，f(5)f(0)1.故f(1)f(2)f(3)f(2 019)403×f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 016)f(2 017)f(2 018)f(2 019)403×1f(1)f(2)f(3)f(4)4030110405.7(2018·石家莊一模)設f(x)是定義在2b,3b上的偶函數(shù)，且在2b,0上為增函數(shù)，則f(x1)f(3)的解集為()A3,3 B2,4C1,5 D0,6【答案】B【解析】因為f(x)是定義在2b,3b上的偶函數(shù)，所以有2b3b0，解得b3，由函數(shù)f(x)在6,0上為增函數(shù)，得f(x)在(0,6上為減函數(shù)，故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4.8(2019·長春質(zhì)檢)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0，)上單調(diào)遞增的是()AyexexByln(|x|1)Cy Dyx【答案】D【解析】選項A，B顯然是偶函數(shù)，排除；選項C是奇函數(shù)，但在(0，)上不是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；選項D中，yx是奇函數(shù)，且yx和y在(0，)上均為增函數(shù)，故yx在(0，)上為增函數(shù)，所以選項D正確9(2019·合肥調(diào)研)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在0,1上是減函數(shù)，則有()Af<f<fBf<f<fCf<f<fDf<f<f【答案】C【解析】因為f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函數(shù)的周期為4，作出f(x)的草圖，如圖，由圖可知f<f<f.10. (2019·重慶九校模擬)已知奇函數(shù)f(x)的圖象關于直線x3對稱，當x0，3時，f(x)x，則f(16)_.【答案】2【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x3對稱，則有f(x)f(6x)，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，則有f(x)f(6x)f(x12)，則f(x)的最小正周期是12，故f(16)f(4)f(4)f(2)(2)2.11.(2019·上海崇明二模)設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當x0，1時，f(x)log2(x1)，則當x1，2時，f(x)_.【答案】log2(3x)【解析】當x1，2時，x21，0，2x0，1，又f(x)在R上是以2為周期的偶函數(shù)，f(x)f(x2)f(2x)log2(2x1)log2(3x).12. (2018·日照調(diào)研)函數(shù)yf(x)對任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函數(shù)yf(x1)的圖象關于點(1，0)對稱，f(1)4，則f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值為_.【答案】4【解析】因為函數(shù)yf(x1)的圖象關于點(1，0)對稱，所以函數(shù)yf(x)的圖象關于原點對稱，所以f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期為4.所以f(2 017)f(504×41)f(1)4，所以f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144)f(2 014)f(2 014)0，所以f(2 016)f(2 017)f(2 018)4.13(2019·洛陽統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)ln(ex1)ax為偶函數(shù)，則實數(shù)a_.【答案】.【解析】法一：(定義法)函數(shù)f(x)ln(ex1)ax為偶函數(shù)，f(x)f(x)，即ln(ex1)axln(ex1)ax，2axln(ex1)ln(ex1)lnlnx，2a1，解得a.法二：(特殊值法)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為R，由f(x)為偶函數(shù)得f(1)f(1)，ln(e11)aln(e11)a，2aln(e11)ln(e11)lnln1，a.14(2019·陜西一測)若函數(shù)f(x)axb，xa4，a的圖象關于原點對稱，則函數(shù)g(x)bx，x4，1的值域為_【答案】【解析】由函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，可得a4a0，即a2，則函數(shù)f(x)2xb，其定義域為2,2，所以f(0)0，所以b0，所以g(x)，易知g(x)在4，1上單調(diào)遞減，故值域為g(1)，g(4)，即.15(2019·惠州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x1，f(a)2，則f(a)_.【答案】-4【解析】法一：因為f(x)1x，設g(x)f(x)1x，易判斷g(x)x為奇函數(shù)，故g(x)g(x)xx0，即f(x)1f(x)10，故f(x)f(x)2.所以f(a)f(a)2，故f(a)4.法二：由已知得f(a)a12，即a3，所以f(a)a11314.16已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍【解析】：(1)設x<0，則x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x<0時，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知所以1a3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,317.設f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x.(1)求f()的值；(2)當4x4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.【解析】(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f()f(1×4)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x).故知函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x1對稱.又當0x1時，f(x)x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如下圖所示.當4x4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S4SOAB4×4.12