《2020屆高考數(shù)學(xué) 專題二十 幾何概型精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué) 專題二十 幾何概型精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理（17頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、培優(yōu)點(diǎn)二十 幾何概型 一、長度類幾何概型 例1：若是從區(qū)間中任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，則函數(shù)無零點(diǎn)的概率是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程無實(shí)解，則，即， 又，∴，其構(gòu)成的區(qū)域長度為， 從區(qū)間中任取一個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的區(qū)域長度為， 則方程無實(shí)解的概率是．故選B． 二、面積類幾何概型 例2：（1）圖形類幾何概型 例題2-1：如圖，在正方形圍欄內(nèi)均勻撒米粒，一只小雞在其中隨意啄食，此刻小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)正方形的邊長為，則圓的半徑為， 由幾何概型的概率公式得，故答案為B． （

2、2）線性規(guī)劃類幾何概型 例2-2：小明一家訂購的晚報(bào)會(huì)在下午之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，小明一家人在下午之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開始晚餐． ①你認(rèn)為晚報(bào)在晚餐開始之前被送到和晚餐開始之后被送到哪一種可能性更大? ②晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率是多少？ 【答案】①見解析；②． 【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系． 圖中直線，，，圍成一個(gè)正方形區(qū)域， 該試驗(yàn)的所有結(jié)果與區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)， 由題意知，每次結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，是幾何概型． ①作射線．晚報(bào)在晚餐前送達(dá)即， 因此圖中陰影部分表示事件“晚報(bào)在晚餐前送達(dá)”． 而中空白部分則表示事件“晚報(bào)在晚餐開始后送到”．

3、 由圖知事件發(fā)生的可能性大． ②易求的面積為，而的面積為，由幾何概型的概率公式可得． （3）利用積分求面積 例2-3：如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)依次為，，，， 記線段、以及的圖象圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）為，若向矩形內(nèi)任意投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】陰影部分的面積是，矩形的面積是， ∴點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率，故選D． 三、體積類幾何概型 例3：已知，，，都在球面上，且在所在平面外，，，，，在球面內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在三棱錐內(nèi)的概率為． 【答案】 【解析】如圖，在三角形中，由已知可得，，可得， 設(shè)三角形的

4、外接圓的半徑為，由，可得． 再設(shè)的外心為，過作底面的垂線，且使，連接， 則為三棱錐的外接球的半徑， 則球的體積為，， 則該點(diǎn)落在三棱錐內(nèi)的概率為． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．已知地鐵列車每分鐘一班，在車站停分鐘．則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于地鐵列車每分鐘一班，列車在車站停分鐘， 乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率為，故選A． 2．下圖是年月中國成功主辦的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，是我們古代數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理而繪制的，在我國最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中有詳細(xì)的記載．若圖中大正方形的邊長為，小正方形

5、的邊長為，現(xiàn)作出小正方形的內(nèi)切圓，向大正方形所在區(qū)域模擬隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，有個(gè)點(diǎn)落在中間的圓內(nèi)，由此可估計(jì)的所似值為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】大正方形的邊長為，總面積為，小正方形的邊長為，其內(nèi)切圓的半徑為，面積為； 則，解得．故選A． 3．已知橢圓的面積公式為，某同學(xué)通過下面的隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)估計(jì)的值過橢圓的左右焦點(diǎn)，分別作與軸垂直的直線與橢圓交于，，，四點(diǎn)，隨機(jī)在橢圓內(nèi)撒粒豆子，設(shè)落入四邊形內(nèi)的豆子數(shù)為，則圓周率的值約為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)題意得到，， 將方程中的，，代入等式中得到． 4．某路口人行橫道的信號(hào)燈

6、為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為秒．若一名行人來到該路口遇到 紅燈，則至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵紅燈持續(xù)時(shí)間為秒，至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈， ∴一名行人前秒來到該路口遇到紅燈， ∴至少需要等待秒才出現(xiàn)綠燈的概率為．故選B． 5．分別以正方形的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)正方形的邊長為，那么圖中陰影區(qū)域的面積， 而正方形的面積，所以若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)， 則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概

7、率． 6．路公共汽車每分鐘發(fā)車一次，小明到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過兩分鐘的概率 是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵公共汽車站每隔分鐘有一輛車通過， 當(dāng)乘客在上一輛車開走后分鐘內(nèi)到達(dá)候車時(shí)間會(huì)超過分鐘， ∴乘客候車時(shí)間不超過分鐘的概率為． 7．從區(qū)間上任意選取一個(gè)實(shí)數(shù)，則雙曲線的離心率大于的概率為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意得，，， ∴，解得，即，∴． 8．如圖，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內(nèi)切圓，現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概

8、率為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)大正方形的邊長為，其內(nèi)切圓的直徑為，則小正方形的邊長為， 所以大正方形的面積為，圓的面積為，小正方形的面積為， 則陰影部分的面積為， 所以在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率． 9．歐陽修《賣炭翁》中寫道：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕．可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．若銅錢是直徑為的圓，中間的正方形孔，若你隨意向錢上滴一滴油，則油（油滴大小忽略不計(jì)）正好落入圓孔中的概率為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意得，正方形

9、的面積，銅錢的面積， 則油正好落入圓孔中的概率． 二、填空題 10．已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在內(nèi)，則黃豆落在內(nèi)的概率是． 【答案】 【解析】以，為鄰邊作平行四邊形，則， 因?yàn)?，所以，得? 由此可得，是邊上的中線的中點(diǎn)，點(diǎn)到的距離等于到距離的， 所以，所以將一粒黃豆隨機(jī)撒在內(nèi)，黃豆落在內(nèi)的概率為． 11．下列關(guān)于概率和統(tǒng)計(jì)的幾種說法： ①名工人某天生產(chǎn)同一種零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是，設(shè)其平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為，則，，的大小關(guān)系為； ②樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是； ③在面積為的內(nèi)任選一點(diǎn)，則隨機(jī)事件“的面積小于”的概率為； ④從寫有的十張卡片中，有放回地每

10、次抽一張，連抽兩次，則兩張卡片上的數(shù)字各不相同的 概率是． 其中正確說法的序號(hào)有． 【答案】②④ 【解析】對(duì)于①，由題意原數(shù)據(jù)為，故可得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)為，所以，故①不正確； 對(duì)于②，由題意得樣本的平均數(shù)為，故方差為， 所以標(biāo)準(zhǔn)差為，故②正確； 對(duì)于③，如圖，作出的高，當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，，要使的面積小于，則點(diǎn)應(yīng)位于圖中的陰影部分內(nèi)，由題意可得，故陰影部分的面積， 所以由幾何概型概率公式可得“的面積小于”的概率為，故③不正確； 對(duì)于④，由題意得所有的基本事件總數(shù)為個(gè)，事件“有放回地每次抽一張，連抽兩次，則兩張卡片上的數(shù)字各不相同”包含的基本事件有個(gè)，根據(jù)古典概型的概

11、率公式得所求概率為，故④正確． 綜上可得②④正確． 12．已知直線過點(diǎn)，與圓相交于，兩點(diǎn)，則弦長的概率為． 【答案】 【解析】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為， 代入中得，， ∵與圓相交于，兩點(diǎn)，∴，∴，∴． 又當(dāng)弦長時(shí)，∵圓半徑，∴圓心到直線的距離，即，， ∴，由幾何概型知，事件：“直線與圓相交弦長”的概率． 三、解答題 13．設(shè)關(guān)于的一元二次方程． （1）若是從，，，，五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從，，三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率； （2）若是從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率． 【答案】（1）；（2）．

12、【解析】（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，設(shè)事件為“方程有實(shí)根”， 總的基本事件共個(gè)：，，，，，，，，，，，，，，， 其中第一個(gè)數(shù)表示的取值，第二個(gè)數(shù)表示的取值． 事件中包含個(gè)基本事件，，，，，，，，，， ∴事件發(fā)生的概率為． （2）由題意知本題是一個(gè)幾何概型， 試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋? 滿足條件的構(gòu)成事件的區(qū)域?yàn)椋? ∴所求的概率是． 14．已知有一個(gè)三邊長分別為的三角形．求下面兩只螞蟻與三角形三頂點(diǎn)的距離均超過的概率． （1）一只螞蟻在三角形的邊上爬行； （2）一只螞蟻在三角形所在區(qū)域內(nèi)部爬行． 【答案】（1）；（2）． 【解析】記“螞蟻與三角形三

13、頂點(diǎn)的距離均超過”為事件． （1）根據(jù)題意，如圖中，，，，，則的周長為， 由圖分析可得，距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過的部分為線段、、上， 即其長度為， 則螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過的概率螞蟻在三角形的邊上爬行，其測(cè)度是長度， 所求概率． （2）螞蟻在三角形所在區(qū)域內(nèi)部爬行，其測(cè)度是面積，三角形的面積為， 離三個(gè)頂點(diǎn)距離都不大于的地方的面積為， 所以其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的地方的概率為所求概率． 15．已知圓，直線． （1）圓的圓心到直線的距離為多少？ （2）圓上任意一點(diǎn)到直線的距離小于的概率為多少？ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由

14、題意知，圓的圓心是，圓心到直線的距離是． （2）如圖，圓心到直線的距離是，到直線的距離是， 則劣弧所對(duì)應(yīng)的弧上的點(diǎn)到直線的距離都小于， 優(yōu)弧所對(duì)應(yīng)的弧上的點(diǎn)到直線的距離都大于， ∵，，∴，，∴， 根據(jù)幾何概型的概率公式得到． 16．某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，前三次射擊在靶上的著彈點(diǎn)、、剛好是邊長為的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)． （1）第四次射擊時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員瞄準(zhǔn)區(qū)域射擊（不會(huì)打到外），則此次射擊的著彈點(diǎn)距、、的距離都超過的概率為多少？（彈孔大小忽略不計(jì)） （2）該運(yùn)動(dòng)員前三次射擊的成績（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內(nèi)，調(diào)整一下后，又連打三槍，其成績（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間內(nèi)．現(xiàn)從這次射擊成績中隨機(jī)抽取兩次射擊的成績（記為和）進(jìn)行技術(shù)分析．求事件“”的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因?yàn)橹鴱楛c(diǎn)若與、、的距離都超過， 則著彈點(diǎn)就不能落在分別以、、為中心，半徑為的三個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)， 只能落在圖中陰影部分內(nèi)． 因?yàn)椋? 圖中陰影部分的面積為， 故所求概率為． （2）前三次射擊成績依次記為，，，后三次成績依次記為，，， 從這次射擊成績中隨機(jī)抽取兩個(gè)，基本事件是：，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)， 其中可使發(fā)生的是后個(gè)基本事件．故． 17