模擬試卷(一)(時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1設(shè)集合Ax|1<x<2，Bx|2x1，則AB等于()A. 0,2) B0,1) C(1,0D(1,0)答案A解析由題意得Bx|2x1x|x0，又Ax|1<x<2，ABx|0x<20,2)故選A.2(2019·河北省示范高中聯(lián)考)若z，則|z|等于()A.B.C1D.答案B解析因?yàn)閦i，所以|z|.故選B.3下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(，0)上單調(diào)遞增的是()Af(x)2x2xBf(x)x21Cf(x)xcosxDf(x)ln|x|答案D解析A中，f(x)2x2xf(x)，不是偶函數(shù)，A錯(cuò)；B中，f(x)(x)21x21f(x)，是偶函數(shù)，但在(，0)上單調(diào)遞減，B錯(cuò)；C中，f(x)xcos(x)xcosxf(x)，不是偶函數(shù)，C錯(cuò)；D中，f(x)ln|x|ln|x|f(x)，是偶函數(shù)，且函數(shù)在(，0)上單調(diào)遞增，故選D.4設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snk·2n3，則ak等于()A4B8C12D16答案C解析當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1k·2n1；當(dāng)n1時(shí)，a1S12k3k·211，解得k3, aka33·23112.故選C.5已知sincos，2sincos，則cos2等于()A.BC.D答案A解析因?yàn)樗詓in，從而cos212sin2.故選A.6已知x0是函數(shù)f(x)sin(2x)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()A.B.C.D.答案C解析x0是函數(shù)f(x)sin(2x)的一個(gè)極大值點(diǎn)，fsin1，2k，kZ，2k，kZ，f(x)sinsin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，令k1，得x，函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，結(jié)合各選項(xiàng)可得C符合題意故選C.7函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa2Ba<2Ca2Da>2答案C解析由題意得，當(dāng)x<1時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)x；當(dāng)x1時(shí)，令2x2ax0，得x，要使函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則只需1，解得a2.故選C.8(2019·安徽省江淮名校試題)RtABC的斜邊AB等于4，點(diǎn)P在以C為圓心，1為半徑的圓上，則·的取值范圍是()A.B.C3,5D12，12答案C解析·()·()2()··.注意·0，21，|4.·1()·.所以當(dāng)與同向時(shí)取最大值5，反向時(shí)取最小值3.故選C.9.(1x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A1B9C31D19答案B解析(1x)5的展開(kāi)式中第k1項(xiàng)為T(mén)k1Cxk，其中x2的系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)，x3的系數(shù)分別為C，C，C，故(1x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為CC2C9.故選B.10.如圖，B是AC上一點(diǎn)，分別以AB，BC，AC為直徑作半圓過(guò)B作BDAC，與半圓相交于D. AC6，BD2，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是()A.B.C.D.答案C解析連接AD，CD，可知ACD是直角三角形，又BDAC，所以BD2AB·BC，設(shè)ABx(0<x<6)，則有8x(6x)，得x2或x4，當(dāng)x2時(shí)，AB2，BC4，由此可得圖中陰影部分的面積等于2，故概率P.同理，當(dāng)x4時(shí)，P.故選C.11.如圖，已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，若直線(xiàn)yx與雙曲線(xiàn)C交于P，Q兩點(diǎn)，且四邊形PF1QF2是矩形，則雙曲線(xiàn)的離心率為()A52B52C.1D.1答案C解析由題意，矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)相等，將yx代入1(a0，b0)，可得x±，y±·，c2，4a2b2(b23a2)c2，4a2(c2a2)(c24a2)c2，e48e240，e1，e242，e1.故選C.12設(shè)正三棱錐PABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上，則三棱錐PABC體積的最大值為()A.B.C.D.答案C解析設(shè)正ABC的邊長(zhǎng)為a，中心為O，則|OA|a，在RtOOA中，由勾股定理可得|OO|，故三棱錐的高h(yuǎn)|PO|OO|22，所以VPABCSABC·h×a2.設(shè)t(0t<2)，則4t2，則V(t)(4t2)(t2)(t32t24t8)，所以V(t)(3t24t4)，令V(t)0，則t或t2(舍)，當(dāng)t時(shí)，V(t)>0，V(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t時(shí)，V(t)<0，V(t)單調(diào)遞減故V(t)maxV.故選C.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13已知向量a，b的夾角為45°，且|a|b|2，則a·(ab)_.答案0解析a·(ab)a2a·b4×2×2×0.14若函數(shù)f(x)(a1)x3ax22x為奇函數(shù)，則曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)答案xy20解析f(x)(a1)x3ax22x為奇函數(shù)，則a0，f(x)x32x，f(x)3x22，f(1)3×1221，又f(1)1，曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程為y1x1，即xy20.15(2019·安徽省江淮名校聯(lián)考)已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足ab1，則的最大值為_(kāi)答案解析令xa1，yb2，則xy4，所以22(xy)·22，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)a45，b64.故最大值為.16設(shè)mR，若函數(shù)f(x)|x33xm|在x0，上的最大值與最小值之差為2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(，20，)解析設(shè)g(x)x33x，x0，則g(x)3x233(x1)(x1)，函數(shù)yg(x)在區(qū)間0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，上單調(diào)遞增g(0)0，g(1)2，g()0，函數(shù)yg(x)在區(qū)間0，上的值域?yàn)?,0，最大值與最小值之差為2，函數(shù)yx33xm，x0，的值域?yàn)?m，m，最大值與最小值之差也為2.函數(shù)f(x)|x33xm|在x0，上的最大值與最小值之差為2，2m0或m0，解得m2或m0.實(shí)數(shù)m的取值范圍為(，20，)三、解答題(本大題共70分)17(10分)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S981，a2a38.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若S3，a14，Sm成等比數(shù)列，求S2m.解(1)故an1(n1)×22n1(nN*)(2)由(1)知，Snn2.S3，a14，Sm成等比數(shù)列，S3·Sma，即9m2272，解得m9，故S2m182324.18(12分)如圖，D是RtABC斜邊BC上一點(diǎn)，ACDC.(1)若DAC30°，求角B的大??；(2)若BD2DC，且AD2，求DC的長(zhǎng)解(1)在ABC中，根據(jù)正弦定理，有.因?yàn)锳CDC，所以sinADCsinDAC.又ADCBBADB60°>60°，所以ADC120°.于是C180°120°30°30°，所以B60°.(2)設(shè)DCx，則BD2x，BC3x，ACx.于是sinB，cosB，ABx.在ABD中，由余弦定理，得AD2AB2BD22AB·BDcosB，即(2)26x24x22×x×2x×2x2，得x2.故DC2.19(12分)如圖，四邊形ABCD為正方形，BEDF，且ABBEDFEC，AB平面BCE.(1)證明：平面AEC平面BDFE；(2)求二面角AFCD的余弦值(1)證明四邊形ABCD為正方形，ACBD.ABBCBEEC，BE2BC2EC2，BEBC.又AB平面BCE，ABBE.ABBCC，BE平面ABCD，BEAC.又BEBDB，AC平面BDFE，AC平面AEC，平面AEC平面BDEF.(2)解BE平面ABCD，BEDF，DF平面ABCD.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，令A(yù)B1，則A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(1,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0,1，1)，(1,1,0)，設(shè)平面AFC的法向量為n1(x1，y1，z1)，則令x11，則n1(1,1,1)易知平面FCD的一個(gè)法向量n2(1,0,0)，cosn1，n2.二面角AFCD為銳角，二面角AFCD的余弦值為.20(12分)某中學(xué)為了解中學(xué)生的課外閱讀時(shí)間，決定在該中學(xué)的1200名男生和800名女生中按分層抽樣的方法抽取20名學(xué)生，對(duì)他們的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查現(xiàn)在按課外閱讀時(shí)間的情況將學(xué)生分成三類(lèi)：A類(lèi)(不參加課外閱讀)，B類(lèi)(參加課外閱讀，但平均每周參加課外閱讀的時(shí)間不超過(guò)3小時(shí))，C類(lèi)(參加課外閱讀，且平均每周參加課外閱讀的時(shí)間超過(guò)3小時(shí))調(diào)查結(jié)果如下表：A類(lèi)B類(lèi)C類(lèi)男生x53女生y33(1)求出表中x，y的值；(2)根據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“參加閱讀與否”與性別有關(guān)；男生女生總計(jì)不參加課外閱讀參加課外閱讀總計(jì)(3)從抽出的女生中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，記X為抽取的這3名女生中A類(lèi)人數(shù)和C類(lèi)人數(shù)差的絕對(duì)值，求X的均值附：K2.P(K2k0)0.100.050.01k02.7063.8416.635解(1)設(shè)抽取的20人中，男、女生人數(shù)分別為n1，n2，則所以x12534，y8332.(2)列聯(lián)表如下：男生女生總計(jì)不參加課外閱讀426參加課外閱讀8614總計(jì)12820K2的觀測(cè)值k0.159<2.706，所以沒(méi)有90%的把握認(rèn)為“參加閱讀與否”與性別有關(guān)(3)X的可能取值為0,1,2,3，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以E(X)0×1×2×3×.21(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)yx4與拋物線(xiàn)C：x22py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，且OAOB.(1)求C的方程；(2)試問(wèn)：在x軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)D，使得ABD的外心在C上？若存在，求出D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)聯(lián)立得x22px8p0，4p232p>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22p，x1x28p，從而y1y2(x14)(x24)x1x24(x1x2)16.OAOB，·x1x2y1y22x1x24(x1x2)160，即16p8p160，解得p2，故C的方程為x24y.(2)設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，由(1)知，x02，y0x046，則線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)方程為y6(x2)，即yx8.聯(lián)立得x24x320，解得x8或4，從而ABD的外心P的坐標(biāo)為(4,4)或(8,16)假設(shè)存在點(diǎn)D(m,0)(m>0)，設(shè)P的坐標(biāo)為(4,4)，|AB|×4，|PA|4，則|DP|4.m>0，m44.若P的坐標(biāo)為(8,16)，則|PA|4，|DP|>4，則P的坐標(biāo)不可能為(8,16)故在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)D(44，0)，使得ABD的外心在C上22(12分)(2019·安徽省江淮名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)exax2在x1處的切線(xiàn)方程為ybx1.(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)ex2xx2ex1.(1)解f(x)ex2ax，由題設(shè)解得(2)證明實(shí)際上是證明當(dāng)x>0時(shí)，f(x)exx2的圖象在直線(xiàn)y(e2)x1的上方令g(x)exx2(e2)x1，x>0，則g(x)ex2xe2，令t(x)ex2xe2，則t(x)ex2，所以g(x)在(0，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，)上單調(diào)遞增；g(x)在xln2處取唯一的極小值注意到g(0)3e>0，g(1)0，而0<ln2<1，所以g(ln2)<0，所以g(0)·g(ln2)<0；又因?yàn)間(x)在(0，ln2)上單調(diào)遞減，所以存在唯一的x0(0，ln2)，使g(x0)0；因此當(dāng)x(0，x0)或x(1，)時(shí)，g(x)>0，當(dāng)x(x0，1)時(shí)，g(x)<0；所以當(dāng)x(0，x0)或x(1，)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(x0，1)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減；由于g(0)g(1)0，所以g(x)exx2(e2)x10，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)等號(hào)成立所以當(dāng)x>0時(shí)，不等式ex2xx2ex1成立12