考點(diǎn)規(guī)范練22平面向量的概念及線性運(yùn)算基礎(chǔ)鞏固組1.如圖,向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2答案C解析由題圖可知a-b=e1-3e2.故選C.2.在ABC中,AB=c,AC=b,若點(diǎn)D滿足BD=2DC,則AD=()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c答案A解析AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)=c+23(b-c)=23b+13c.故選A.3.設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,使a|a|=b|b|成立的充分條件是()A.a=-bB.abC.a=2bD.ab且|a|=|b|答案C解析a|a|=b|b|a=|a|b|b|a與b共線且同向a=b且>0.B,D選項(xiàng)中a和b可能反向.A選項(xiàng)中<0,不符合>0.故選C.4.在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析如圖所示,根據(jù)向量的運(yùn)算法則,可得BE=12BA+12BC=12BA+12(BA+AC)=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC,所以EB=34AB-14AC,故選A.5.(2017浙江嘉興測(cè)試)設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)C在直線AB外,|AB|=6,|CA+CB|=|CA-CB|,則|CM|=()A.12B.6C.3D.32答案C解析|CA+CB|=2|CM|,|CA-CB|=|BA|,2|CM|=|BA|=6,|CM|=3,故選C.6.給出下列命題:若兩個(gè)單位向量的起點(diǎn)相同,則終點(diǎn)也相同;若a與b同向,且|a|>|b|,則a>b;,為實(shí)數(shù),若a=b,則a與b共線;0·a=0.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為. 答案解析不正確.單位向量的起點(diǎn)相同時(shí),終點(diǎn)在以起點(diǎn)為圓心的單位圓上;不正確,兩向量不能比較大小;不正確.當(dāng)=0時(shí),a與b可能不共線;正確.7.設(shè)點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且BC+BA=2BP,則PC+PA=. 答案0解析因?yàn)锽C+BA=2BP,由平行四邊形法則知,點(diǎn)P為AC的中點(diǎn),故PC+PA=0.8.設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=12AB,BE=23BC,若DE=1AB+2AC(1,2為實(shí)數(shù)),則1=,2=. 答案-1623解析如圖所示,DE=BE-BD=23BC-12BA=23(AC-AB)+12AB=-16AB+23AC.又DE=1AB+2AC,且AB與AC不共線,所以1=-16,2=23.能力提升組9.如圖,在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若AC=a,BD=b,則AF=()A.14a+12bB.12a+14bC.23a+13bD.13a+23b答案C解析AC=a,BD=b,AD=AO+OD=12AC+12BD=12a+12b.E是OD的中點(diǎn),|DE|EB|=13,|DF|=13|AB|,DF=13AB=13(OB-OA)=13×-12BD-12AC=16AC-16BD=16a-16b,AF=AD+DF=12a+12b+16a-16b=23a+13b,故選C.10.已知在ABC中,D是AB邊上的一點(diǎn),CD=CA|CA|+CB|CB|,|CA|=2,|CB|=1,若CA=b,CB=a,則用a,b表示CD為()A.23a+13bB.13a+23bC.13a+13bD.23a+23b答案A解析由題意知,CD是ACB的角平分線,故CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=23CB+13CA=23a+13b,故選A.11.(2017浙江溫州八校檢測(cè))設(shè)a,b不共線,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)p的值為()A.-2B.-1C.1D.2答案B解析BC=a+b,CD=a-2b,BD=BC+CD=2a-b.由A,B,D三點(diǎn)共線,知AB,BD共線.設(shè)AB=BD,2a+pb=(2a-b),2=2,p=-,=1,p=-1.12.點(diǎn)D為ABC內(nèi)一點(diǎn),且DA+4DB+7DC=0,則SBCDSABC=()A.47B.13C.712D.112答案D解析如圖所示,分別延長(zhǎng)DB,DC至點(diǎn)B1,C1,使得DB1=4DB,DC1=7DC,則DA+DB1+DC1=0,則SDAB1=SDAC1=SDB1C1=S,SDAB=14S,SDAC=17S,SDBC=128S,SABC=14S+17S+128S=1228S,SBCDSABC=128S1228S=112,故選D.13.在RtABC中,C是直角,CA=4,CB=3,ABC的內(nèi)切圓交CA,CB于點(diǎn)D,E,點(diǎn)P是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)(不包含邊界).若CP=xCD+yCE,則x+y的值可以是()A.1B.2C.4D.8答案B解析設(shè)圓心為O,半徑為r,則ODAC,OEBC,3-r+4-r=5,解得r=1.連接DE,則當(dāng)x+y=1時(shí),P在線段DE上,排除A;在AC上取點(diǎn)M,在CB上取點(diǎn)N,使得CM=2CD,CN=2CE,連接MN,CP=x2CM+y2CN.則點(diǎn)P在線段MN上時(shí),x2+y2=1,故x+y=2.同理,當(dāng)x+y=4或x+y=8時(shí),P點(diǎn)不在三角形內(nèi)部,排除C,D.故選B.14.已知ABC和點(diǎn)M,滿足MA+MB+MC=0,若存在實(shí)數(shù)m,使得AB+AC=mAM成立,則點(diǎn)M是ABC的,實(shí)數(shù)m=. 答案重心3解析由MA+MB+MC=0知,點(diǎn)M為ABC的重心.設(shè)點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn),則AM=23AD=23×12(AB+AC)=13(AB+AC),所以有AB+AC=3AM,故m=3.15.(2017浙江湖州模擬)如圖,在ABC中,AD=2DB,AE=12EC,BE與CD相交于點(diǎn)P,若AP=xAB+yAC(x,yR),則x=,y=. 答案4717解析由題可知AP=AD+DP=AD+DC=AD+(BC-BD)=23AB+AC-AB-13BA=23(1-)AB+AC.又AP=AE+EP=AE+EB=AE+(CB-CE)=13AC+AB-AC-23CA=AB+13(1-)AC,所以可得23(1-)=,13(1-)=,解得=17,=47,故AP=47AB+17AC,所以x=47,y=17.16.在ABC中,點(diǎn)P滿足BP=2PC,過(guò)點(diǎn)P的直線與AB,AC所在直線分別交于點(diǎn)M,N,若AM=mAB,AN=nAC(m>0,n>0),則m+2n的最小值為. 答案3解析BP=2PC,AP-AB=2(AC-AP),AP=13AB+23AC=13mAM+23nAN,M,P,N三點(diǎn)共線,13m+23n=1,m+2n=(m+2n)13m+23n=13+43+23nm+mn53+23×2nm·mn=53+43=3.當(dāng)且僅當(dāng)nm=mn時(shí)等號(hào)成立,即m=n=1,故m+2n的最小值為3.17.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求證:A,B,D三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.(1)證明AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,AB,BD共線.它們有公共點(diǎn)B,A,B,D三點(diǎn)共線.(2)解ka+b與a+kb共線,存在實(shí)數(shù),使ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b.又a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,k-=k-1=0.k2-1=0.k=±1.18.已知O,A,B是不共線的三點(diǎn),且OP=mOA+nOB(m,nR).(1)若m+n=1,求證:A,P,B三點(diǎn)共線;(2)若A,P,B三點(diǎn)共線,求證:m+n=1.證明(1)若m+n=1,則OP=mOA+(1-m)OB=OB+m(OA-OB),所以O(shè)P-OB=m(OA-OB),即BP=mBA,所以BP與BA共線.又因?yàn)锽P與BA有公共點(diǎn)B,所以A,P,B三點(diǎn)共線.(2)若A,P,B三點(diǎn)共線,則存在實(shí)數(shù),使BP=BA,所以O(shè)P-OB=(OA-OB).又OP=mOA+nOB.故有mOA+(n-1)OB=OA-OB,即(m-)OA+(n+-1)OB=0.因?yàn)镺,A,B不共線,所以O(shè)A,OB不共線,所以m-=0,n+-1=0.所以m+n=1.7