第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2+cos2=1,sincos=tan .2.借助單位圓的對(duì)稱性,利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(2±,±的正弦、余弦、正切).1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系:sin2+cos2=1.(2)商數(shù)關(guān)系:tan =sincos.(2+k,kZ).2.誘導(dǎo)公式組序一二三四五六七八角2k+(kZ)+-2-2+32-32+正弦sin -sin -sin sin cos cos -cos -cos 余弦cos -cos cos -cos sin -sin -sin sin 正切tan tan -tan -tan 口訣函數(shù)名不變,符號(hào)看象限函數(shù)名改變,符號(hào)看象限誘導(dǎo)公式的記憶口訣可以概括為“奇變偶不變,符號(hào)看象限”這里的奇、偶指的是k·2±(kZ)中k是奇數(shù)還是偶數(shù),“符號(hào)看象限”指的是把看成銳角時(shí),k·2±(kZ)的三角函數(shù)值的符號(hào),即原三角函數(shù)值的符號(hào).1.化簡(jiǎn)sin 870°的值是(A)A.12B.-12C.32D.-32解析:sin 870°=sin(720°+150°)=sin(180°-30°)=12.故選A.2.(必修第一冊(cè)P184練習(xí)T1改編)已知是第三象限角,sin =-513,則cos 等于(B)A.-513B.-1213C.513D.1213解析:因?yàn)閟in =-513,是第三象限角,所以cos =-1-sin2=-1213.故選B.3.已知sin cos =18,且54<<32,則cos -sin 的值為 . 解析:因?yàn)?4<<32,所以cos <0,sin <0且cos >sin ,所以cos -sin >0.又(cos -sin )2=1-2sin cos =1-2×18=34,所以cos -sin =32.答案:324.已知cos =15,-2<<0,則cos(2+)tan(+)cos(-)tan的值為. 解析:因?yàn)?2<<0,所以sin =-1-(15) 2=-265,所以tan =-26.則cos(2+)tan(+)cos(-)tan=-sintan·cos·tan=-1tan=126=612.答案:612 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用“知一求二”問題 已知(2,),tan =-43,則cos(-2)等于()A.35B.-35C.-45D.45解析:因?yàn)閠an =sincos=-43,所以cos =-34sin ,所以sin2+cos2=sin2+916sin2=2516sin2=1,所以sin2=1625.又(2,),所以sin =45,所以cos(-2)=cos(2+)=-sin =-45.故選C.已知sin ,cos ,tan 中的一個(gè)求另外兩個(gè)的值.解決此類問題時(shí),直接套用公式sin2+cos2=1及tan =sincos即可,但要注意的取值范圍,即三角函數(shù)值的符號(hào).sin ,cos 的齊次式問題 已知sin+3cos3cos-sin=5,則cos2+12sin 2的值是()A.35B.-35C.-3D.3解析:由sin+3cos3cos-sin=5,得tan+33-tan=5,可得tan =2,則cos2+12sin 2=cos2+sin cos =cos2+sincoscos2+sin2=1+tan1+tan2=35.故選A.1.分式中分子與分母是關(guān)于sin ,cos 的齊次式,往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan 的式子求解.2.關(guān)于sin ,cos 的二次齊次式,要用到“1”代換,即1=sin2+cos2.“sin ±cos ,sin cos ”之間的關(guān)系 已知-2<<0,sin +cos =15.(1)求sin -cos 的值;(2)求tan ;(3)求1cos2-sin2的值.解:(1)因?yàn)閟in +cos =15,所以(sin +cos )2=(15)2,即1+2sin cos =125,所以2sin cos =-2425.因?yàn)?sin -cos )2=sin2-2sin cos +cos2=1-2sin cos =1+2425=4925.又因?yàn)?2<<0,所以sin <0,cos >0,所以sin -cos <0.所以sin -cos =-75.(2)由已知條件及(1)可知sin+cos=15,sin-cos=-75,解得sin=-35,cos=45,所以tan =-34.(3)由(1)可得1cos2-sin2=1(cos+sin)(cos-sin)=115×75=257.所以1cos2-sin2=257.對(duì)于sin +cos ,sin -cos ,sin cos 這三個(gè)式子,利用(sin ±cos )2=1±2sin cos ,可以知一求二.針對(duì)訓(xùn)練 1.若(2,),sin(-)=35,則tan 等于()A.-43B.43C.-34D.34解析:因?yàn)?2,),sin =35,所以cos =-45,所以tan =-34.故選C.2.已知tan =-34,則sin ·(sin -cos )等于()A.2125B.2521C.45D.54解析:sin ·(sin -cos )=sin2-sin ·cos =sin2-sin·cossin2+cos2=tan2-tantan2+1,將tan =-34代入,得原式=(-34) 2-(-34)(-34) 2+1=2125.故選A. 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用1.若cos(2-)=23,則cos(-2)等于(D)A.29B.59C.-29D.-59解析:由cos(2-)=23,得sin =23.所以cos(-2)=-cos 2=-(1-2sin2)=2sin2-1=2×29-1=-59.故選D.2.已知sin(+3)=1213,則cos(6-)=. 解析:因?yàn)?+3)+(6-)=2.所以cos(6-)=cos2-(+3)=sin(+3)=1213.答案:12133.化簡(jiǎn):tan(+)cos(2+)sin(-32)cos(-3)sin(-3-)=. 解析:原式=tancossin-2+(+2)cos(3+)-sin(3+)=tancossin(2+)(-cos)sin=tancoscos(-cos)sin=-tancossin=-sincos·cossin=-1.答案:-1誘導(dǎo)公式用法的一般思路(1)化負(fù)為正,化大為小,化到銳角為止.(2)角中含有加減2的整數(shù)倍時(shí),用公式去掉2的整數(shù)倍. 兩類公式在化簡(jiǎn)與求值中的應(yīng)用 已知為銳角,且2tan(-)-3cos(2+)+5=0,tan(+)+6sin(+)-1=0,則sin 的值是()A.355B.377C.31010D.13解析:由已知可得-2tan +3sin +5=0,tan -6sin -1=0,解得tan =3,又為銳角,故sin =31010.故選C.(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí),關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活使用公式進(jìn)行變形.(2)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響.針對(duì)訓(xùn)練 已知(32,2),sin(2+)=13,則tan(+2)等于()A.427B.±225C.±427D.225解析:因?yàn)?32,2),sin(2+)=13,所以cos =13,sin =-223,tan =sincos=-22.所以tan(+2)=tan 2=2tan1-tan2=-421-(-22)2=427.故選A. 已知(0,),且cos =-513,則sin(2-)·tan 等于()A.-1213B.-513C.1213D.513解析:因?yàn)?0,),且cos =-513,所以sin =1213,由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系知sin(2-)·tan =cos ·sincos=sin =1213.故選C. 已知sin cos =38,且4<<2,則cos -sin 的值為()A.12B.±12C.-14D.-12解析:因?yàn)閟in cos =38,所以(cos -sin )2=cos2-2sin cos +sin2=1-2sin cos =1-2×38=14,因?yàn)?<<2,所以cos <sin ,即cos -sin <0,所以cos -sin =-12.故選D. 若角滿足2cos(2-)+cos2sin(+)-3cos(-)=3,則tan 的值為. 解析:由2cos(2-)+cos2sin(+)-3cos(-)=3,得2sin+cos-2sin+3cos=3,等式左邊分子分母同時(shí)除以cos ,得2tan+1-2tan+3=3,解得tan =1.答案:1 已知sin +cos =-15,且2<<,則1sin(-)+1cos(-)的值為. 解析:由sin +cos =-15平方得sin cos =-1225,因?yàn)?<<,所以sin -cos =(sin+cos)2-4sincos=75,所以1sin(-)+1cos(-)=1sin-1cos=cos-sinsincos=-75-1225=3512.答案:3512知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練同角三角函數(shù)基本關(guān)系式2,39,10誘導(dǎo)公式1,4,6,713綜合應(yīng)用5,811,12,1415,161.sin 600°的值為(B)A.-12B.-32C.12D.32解析:sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-32.故選B.2.已知tan =12,且(,32),則cos(-2)等于(A)A.-55B.55C.255D.-255解析:由(,32)知為第三象限角,聯(lián)立tan=sincos=12,sin2+cos2=1,得sin =-55,故cos(-2)=sin =-55.故選A.3.已知直線2x+y-3=0的傾斜角為,則sin+cossin-cos的值是(C)A.-3B.-2C.13D.3解析:由已知得tan =-2,所以sin+cossin-cos=tan+1tan-1=-2+1-2-1=13.故選C.4.已知sin(53°-)=15,且-270°<<-90°,則sin(37°+)等于(D)A.15B.-15C.265D.-265解析:設(shè)53°-=,則=53°-,所以sin(37°+)=sin(90°-)=cos .又因?yàn)?270°<<-90°,所以143°<<323°,所以cos =-1-sin2=-265.故選D.5.已知sin(3-)=-34,則cos(20213-2)等于(A)A.18B.-18C.378D.-378解析:因?yàn)閟in(3-)=-34,所以cos(2 0213-2)=cos673+(23-2) =cos+(23-2) =-cos(23-2)=2sin2(3-)-1=2×(-34)2-1=18.故選A.6.(多選題)已知xR,則下列等式恒成立的是(CD)A.sin(-x)=sin xB.sin(32-x)=cos xC.cos(2+x)=-sin xD.cos(x-)=-cos x解析:sin(-x)=-sin x,故A不成立;sin(32-x)=-cos x,故B不成立;cos(2+x)=-sin x,故C成立;cos(x-)=-cos x,故D成立.故選CD.7.已知為鈍角,sin(4+)=34,則sin(4-)=. 解析:因?yàn)闉殁g角,所以cos(4+)=-74,所以sin(4-)=cos 2-(4-) =cos(4+)=-74.答案:-748.已知sin(3+)=2sin(32+),則sin-4cos5sin+2cos=;sin2+sin 2=. 解析:因?yàn)閟in(3+)=2sin(32+),所以-sin =-2cos ,即sin =2cos .sin-4cos5sin+2cos=2cos-4cos10cos+2cos=-212=-16.因?yàn)閟in =2cos ,所以tan =2,所以sin2+sin 2=sin2+2sincossin2+cos2=tan2+2tantan2+1=4+44+1=85.答案:-16859.已知sin +cos =12,(0,),則1-tan1+tan等于(A)A.-7B.7C.3D.-3解析:因?yàn)閟in +cos =12,所以(sin +cos )2=1+2sin cos =14,所以sin cos =-38,又因?yàn)?0,),所以sin >0,cos <0,所以cos -sin <0,因?yàn)?cos -sin )2=1-2sin cos =1-2×(-38)=74,所以cos -sin =-72,所以1-tan1+tan=1-sincos1+sincos=cos-sincos+sin=-7212=-7.故選A.10.已知tan +1tan=4,則sin4+cos4等于(D)A.38B.12C.34D.78解析:tan +1tan=sincos+cossin=sin2+cos2sincos=1sincos=4.所以sin cos =14,所以sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-2×(14)2=78.故選D.11.已知sin(-2-)cos(-72+)=1225,且0<<4,則sin =,cos =. 解析:sin(-2-)cos(-72+)=(-cos )·(-sin )=sin cos =1225.因?yàn)?<<4,所以0<sin <cos .又因?yàn)閟in2+cos2=1,所以sin =35,cos =45.答案:354512.已知sin +cos =15,(0,),則sin cos(-)=,tan =. 解析:因?yàn)閟in +cos =15,所以(sin +cos )2=1+2sin cos =125,所以sin cos =-1225.所以sin cos(-)=-sin cos =1225.(sin -cos )2=1-2sin cos =4925,因?yàn)?0,),所以sin >0,cos <0,即sin -cos >0,所以sin -cos =75.聯(lián)立sin+cos=15,sin-cos=75,解得sin =45,cos =-35.所以tan =-43.答案:1225-4313.已知kZ,化簡(jiǎn):sin(k-)cos(k-1)-sin(k+1)+cos(k+)=. 解析:當(dāng)k=2n(nZ)時(shí),原式=sin(2n-)cos(2n-1)-sin(2n+1)+cos(2n+)=sin(-)·cos(-)sin(+)·cos=-sin(-cos)-sin·cos=-1;當(dāng)k=2n+1(nZ)時(shí),原式=sin(2n+1)-·cos(2n+1-1)-sin(2n+1+1)+·cos(2n+1)+=sin(-)·cossin·cos(+)=sin·cossin(-cos)=-1.綜上,原式=-1.答案:-114.已知2<<,tan -1tan=-32.(1)求tan 的值;(2)求cos(32+)-cos(-)sin(2-)的值.解:(1)令tan =x,則x-1x=-32,整理得2x2+3x-2=0,解得x=12或x=-2,因?yàn)?<<,所以tan <0,故tan =-2.(2)cos(32+)-cos(-)sin(2-)=sin+coscos=tan +1=-2+1=-1.15.是否存在(-2,2),(0,),使等式sin(3-)=2cos(2-),3cos(-)=-2cos(+)同時(shí)成立?若存在,求出,的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:假設(shè)存在角,滿足條件,則由已知條件可得sin=2sin,3cos=2cos,由2+2,得sin2+3cos2=2.所以sin2=12,所以sin =±22.因?yàn)?-2,2),所以=±4.當(dāng)=4時(shí),由式知cos =32,又(0,),所以=6,此時(shí)式成立;當(dāng)=-4時(shí),由式知cos =32,又(0,),所以=6,此時(shí)式不成立,故舍去.所以存在=4,=6滿足條件.16.已知sin =1-sin(2+),求sin2+sin(2-)+1的取值范圍.解:因?yàn)閟in =1-sin(2+)=1-cos ,所以cos =1-sin ,因?yàn)?1cos 1,所以-11-sin1,-1sin1,所以0sin 1,所以sin2+sin(2-)+1=sin2+cos +1=sin2-sin +2=(sin -12)2+74,所以sin2+sin(2-)+1的取值范圍是74,2.