小學(xué)數(shù)學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)容斥原理容斥原理v在計數(shù)時，為了使重疊部分不被重復(fù)計在計數(shù)時，為了使重疊部分不被重復(fù)計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復(fù)數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復(fù)計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計數(shù)的方法稱既無遺漏又無重復(fù)，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。為容斥原理。容斥原理（第一講）v 一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？v15+12-4=23（人）v數(shù)學(xué) 語文v 15 4 12v 數(shù)學(xué)和語文 容斥原理 上題中語文滿分人數(shù)是上題中語文滿分人數(shù)是12，數(shù)學(xué)滿分人數(shù)是，數(shù)學(xué)滿分人數(shù)是15，一門滿分的人數(shù)應(yīng)該是，一門滿分的人數(shù)應(yīng)該是27，但我們重復(fù)，但我們重復(fù)計算了語文數(shù)學(xué)都是滿分人數(shù)計算了語文數(shù)學(xué)都是滿分人數(shù)4，所以應(yīng)該減，所以應(yīng)該減去去4，答案就是，答案就是23結(jié)論：（公式一）結(jié)論：（公式一）如果被計數(shù)的事物有如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，兩類，那么，A類或類或B類事物個數(shù)類事物個數(shù)=A類事物個數(shù)類事物個數(shù)+B類事物類事物 個數(shù)個數(shù)既是既是A類又是類又是B類的事物個數(shù)。類的事物個數(shù)。v某班學(xué)生每人家里至少有空調(diào)和電腦某班學(xué)生每人家里至少有空調(diào)和電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調(diào)兩種電器中的一種，已知家中有空調(diào)的有的有41人，有電腦的有人，有電腦的有34人，二者都人，二者都有的有有的有27人，這個班有學(xué)生多少人？人，這個班有學(xué)生多少人？v41+34-27=48人人 v 41 27 34v一個班有一個班有45名學(xué)生，訂閱名學(xué)生，訂閱小學(xué)生數(shù)小學(xué)生數(shù)學(xué)報學(xué)報的有的有15人，訂閱人，訂閱今日少年報今日少年報的有的有10人，兩種報紙都訂閱的有人，兩種報紙都訂閱的有6人。人。v（1）訂閱報紙的總?cè)藬?shù)是多少？）訂閱報紙的總?cè)藬?shù)是多少？v15+10-6=19人人 15 6 10v（2）兩種報紙都沒訂閱的有多少人？）兩種報紙都沒訂閱的有多少人？v45-19=26人人 容斥原理容斥原理v在在1到到1000的自然數(shù)中，能被的自然數(shù)中，能被3或或5整除的數(shù)共整除的數(shù)共有多少個？不能被有多少個？不能被3或或5整除的數(shù)共有多少個？整除的數(shù)共有多少個？v能被能被3整除的個數(shù)：整除的個數(shù)：10003=333個個1 v能被能被5整除的個數(shù)：整除的個數(shù)：10005=200個個 能被能被3和和5整除的個數(shù)：整除的個數(shù)：100015=66個個10所以根據(jù)容斥原理，能被所以根據(jù)容斥原理，能被3或或5整除的數(shù)共有整除的數(shù)共有：333+200-66=467個個不能被不能被3或或5整除的個數(shù)：整除的個數(shù)：1000-467=533個個v某校選出某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)競賽，作文比賽獲獎的有數(shù)學(xué)競賽，作文比賽獲獎的有16人，人，數(shù)學(xué)比賽獲獎的有數(shù)學(xué)比賽獲獎的有12人，有人，有5人兩項比人兩項比賽都獲獎了。賽都獲獎了。v（1）共有多少人獲獎？）共有多少人獲獎？v16+12-5=23人人v（2）兩項比賽都沒獲獎的有多少人？）兩項比賽都沒獲獎的有多少人？v50-23=27人人 v習題習題v1、四（、四（1）班有）班有40個學(xué)生，其中個學(xué)生，其中25人參加人參加數(shù)學(xué)小組，數(shù)學(xué)小組，23人參加航模小組，有人參加航模小組，有19個人個人兩個小組都參加了，那么，有多少人兩個兩個小組都參加了，那么，有多少人兩個小組都沒有參加？小組都沒有參加？v25+23-19=29人人 40-29=11人人v2、有、有100位旅客，其中有位旅客，其中有10人既不懂英語人既不懂英語又不懂俄語，有又不懂俄語，有75人懂英語，人懂英語，83人懂俄語，人懂俄語，問既懂英語又懂俄語的有多少人？問既懂英語又懂俄語的有多少人？v100-10=90人人 75+83=158人人 158-90=68人人v3、在一次數(shù)學(xué)測驗中，所有同學(xué)都答了第、在一次數(shù)學(xué)測驗中，所有同學(xué)都答了第1、2兩題，其中答對第兩題，其中答對第1題的有題的有35人，答對第人，答對第2題的題的有有28人，這兩題都答對的有人，這兩題都答對的有20人，沒有人兩題人，沒有人兩題都答錯。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測驗？都答錯。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測驗？v35+28-20=42人人v4、一個俱樂部里，會下中國象棋的有、一個俱樂部里，會下中國象棋的有69人，會人，會下國際象棋的有下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會下的有人，這兩種棋都不會下的有12人，都會下的有人，都會下的有30人。這個俱樂部里有多少人。這個俱樂部里有多少人？人？v69+52-30=91人人 91+12=103人人v5、全班有、全班有50人，不會騎車的有人，不會騎車的有23人，不會人，不會滑旱冰的有滑旱冰的有35人，兩樣都會的有人，兩樣都會的有5人。問：人。問：兩樣都不會的有多少人？兩樣都不會的有多少人？v50-5=45人人 23+35-45=15人人v6、六年級（、六年級（2）班有）班有48名學(xué)生，其中會騎自名學(xué)生，其中會騎自行車的有行車的有27個，會游泳的有個，會游泳的有18人，既會騎自人，既會騎自行車又會游泳的有行車又會游泳的有10人。問兩樣都不會的有人。問兩樣都不會的有多少人？多少人？v27+18-10=35人人 48-35=13人人容斥原理（第二講）容斥原理（第二講）v某校六（某校六（1）班，每人）班，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊，其中參加足球隊練隊，其中參加足球隊的有的有25人，參加排球隊人，參加排球隊的有的有22人，參加游泳隊人，參加游泳隊的有的有34人，足球、排球人，足球、排球都參加的有都參加的有12人，足球、人，足球、游泳都參加的有游泳都參加的有18人，人，排球、游泳都參加的有排球、游泳都參加的有14人，三項都參加的有人，三項都參加的有8人，這個班有多少人？人，這個班有多少人？25+22+34-12-18-14+8=45人人v 足球 排球v v 游泳 v如果我們用這七個字母分別代表各字母所在區(qū)域的學(xué)生人數(shù)，那么根據(jù)題意，我們有以下七條等式：(1)A+D+E+G=25；(2)B+D+F+G=34；(3)C+E+F+G=22；(4)D+G=18；(5)E+G=12；(6)F+G=14；(7)G=8?，F(xiàn)在我們要求的是A+B+C+D+E+F+G=？。如何利用以上資料求得答案？我們利用等式的性質(zhì)來試試看.v 把頭三條等式加起來，我們得到A+B+C+2D+2E+2F+3G=81?？墒沁@結(jié)果包含了多余的D、E、F和G，必須設(shè)法把多余的部分減去。由于等式(4)(6)各有一個D、E和F，若從上述結(jié)果減去這三條等式，便可以把多余的D、E和 F減去，得A+B+C+D+E+F=37?？墒沁@么一來，本來重復(fù)重現(xiàn)的G卻變被完全減去了，所以最后還得把等式(7)加上去，得最終結(jié)果為A+B+C+D+E+F+G=45，即該班共有45名學(xué)生。v結(jié)論（結(jié)論（公式二）公式二）v如果被計數(shù)的事物有如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，三類，那么，那么，A類或類或B類或類或C類事物個數(shù)類事物個數(shù)=A類類事物個數(shù)事物個數(shù)+B類事物個數(shù)類事物個數(shù)+C類事物個類事物個數(shù)數(shù)既是既是A類又是類又是B類的事物個數(shù)類的事物個數(shù)既既是是A類又是類又是C類的事物個數(shù)類的事物個數(shù)既是既是B類類又是又是C類的事物個數(shù)類的事物個數(shù)+既是既是A類又是類又是B類類而且是而且是C類的事物個數(shù)。類的事物個數(shù)。v例1：設(shè)某班每名學(xué)生都要選修至少一種外語，其中選修英語的學(xué)生人數(shù)為25，選修法語的學(xué)生人數(shù)為18，選修德語的學(xué)生人數(shù)為20，同時選修英語和法語的學(xué)生人數(shù)為8，同時選修英語和德語的學(xué)生人數(shù)為13，同時選修法語和德語的學(xué)生人數(shù)為6，而同時選修上述三種外語的學(xué)生人數(shù)則為3，問該班共有多少名學(xué)生？25+18+20-8-13-6+3=39人v例2、在一個炎熱的夏日，幾個小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有1人；三樣都要的有1人。問：共有幾個小朋友去了冷飲店？6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人 v分析與解：根據(jù)題意畫圖。6614冰汽?人103雪v例3.某校六年級二班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語、語文學(xué)習小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語有20人參加，語文小組有10人。老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組的有3人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語和既參加英語又參加語文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。v 分析與解：根據(jù)已知條件畫出圖。數(shù)英49人質(zhì)3語3020101質(zhì)v 三圓蓋住的總體為49人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語的有x人，既參加語文又參加英語的有y人，可以列出這樣的方程：整理后得：由于x、y均為質(zhì)數(shù)，因而這兩個質(zhì)數(shù)中必有一個偶質(zhì)數(shù)2，另一個質(zhì)數(shù)為7。v 答：既參加英語又參加數(shù)學(xué)小組的為2人或7人。3020103149xyxy 9v例5.某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20人，語文20人，英語20人，數(shù)學(xué)、英語兩科滿分者8人，數(shù)學(xué)、語文兩科滿分者7人，語文、英語兩科滿分者9人，三科都沒得滿分者3人。問這個班最多多少人？最少多少人？v 分析與解：根據(jù)題意畫圖。數(shù)英98語20202073v 設(shè)三科都得滿分者為xv 全班人數(shù) v整理后：全班人數(shù)39xv 39+x表示全班人數(shù)，當x取最大值時，全班人數(shù)就最多，當x取最小值時，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學(xué)、語文、英語三科都得滿分的同學(xué)，因而x中的人數(shù)一定不超過兩科得滿分的人數(shù)，即 且 ，由此我們得到 ，另一方面x最小可能是0，即沒有三科都得滿分的。v 當x取最大值7時，全班有 人，當x取最小值0時，全班有39人。v 答：這個班最多有46人，最少有39人。2020207893xxx78，()39746x 9x 7試一試v1.某班45名同學(xué)參加體育測試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學(xué)各項都沒達優(yōu)秀，求三項都是優(yōu)秀的人數(shù)。v45-1=44 20+18+22-6-7-8=39 44-39=5人v2.某班四年級時，五年級時和六年級時分別評出10名三好學(xué)生，又知四、五年級連續(xù)三好生4人，五、六年級連續(xù)三好生3人，四年級、六年級兩年評上三好生的有5人，四、五、六三年沒評過三好生的有20人，問這個班最多有多少名同學(xué)，最少有多少名同學(xué)？v設(shè)三年連續(xù)三好生人數(shù)為x人v 全班人數(shù)=103-5-4-3+X+20v 因為x應(yīng)該小于等于3，所以x最大是3，最 小是0v所以這個班最多有41名同學(xué)，最少有38名同學(xué)