5.立體幾何1. 如圖，若一個(gè)幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖均為面積等于2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為_答案2. 如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)(左)視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為()A4 B3 C2 D.答案D3. 判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“”號(hào)，錯(cuò)誤的畫“”號(hào)(1)如果a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面()(2)如果直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行()(3)如果直線a，b和平面滿足a，b，那么ab.()(4)如果直線a，b和平面滿足ab，a，b，那么b.()答案(1)(2)(3)(4)4. 一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是，那么這個(gè)三棱柱的體積是()A96 B16 C24 D48答案D5. 如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積解由題圖中數(shù)據(jù)，根據(jù)圓臺(tái)和球的體積公式，得V圓臺(tái)(222552)452(cm3)，V半球23(cm3)所以旋轉(zhuǎn)體的體積為V圓臺(tái)V半球52(cm3)6. (2015浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A8 cm3 B12 cm3C. cm3 D. cm3答案C解析該幾何體是棱長(zhǎng)為2 cm的正方體與一底面邊長(zhǎng)為2 cm的正方形、高為2 cm的正四棱錐組成的組合體，V222222 cm3.故選C.7. 如圖，已知ABC為直角三角形，其中ACB90，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPB>PCBPAPB<PCCPAPBPCDPAPBPC答案C8. 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C與PM相交；NC與PM異面其中不正確的結(jié)論是()A BC D答案B9. 設(shè)a，b為兩條直線，為兩個(gè)平面，且a，a，則下列結(jié)論中不成立的是()A若b，ab，則a B若a，則aC若ab，b，則a D若，a，ba，則b10. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B.C.8 D16答案B11. 如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐PBCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為()A11 B21C.23 D32答案A12. 如圖所示，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長(zhǎng)方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的三視圖是(用代表圖形)()A BC. D答案B13. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B.C. D.答案D14. 在半徑為5的球面上有不同的四點(diǎn)A，B，C，D，若ABACAD2，則平面BCD被球所截得圖形的面積為_答案16解析過(guò)點(diǎn)A向平面BCD作垂線，垂足為M，則M是BCD的外心，外接球球心O位于直線AM上，設(shè)BCD所在截面圓半徑為r，OAOB5，AB2，在ABO中，BO2AB2AO22ABAOcosBAO，cosBAO，sinBAO.在RtABM中，r2sinBAO4，所求面積Sr216.15. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，DAB60，PD平面ABCD，PDAD1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn)(1)求證：直線AF平面PEC； (2)求三棱錐PBEF的表面積解(1)證明：作FMCD交PC于M，連接ME.點(diǎn)F為PD的中點(diǎn)，F(xiàn)M綊CD，又AE綊CD，AE綊FM，四邊形AEMF為平行四邊形，AFEM，AF平面PEC，EM平面PEC，直線AF平面PEC.(2)連接ED，BD，可知EDAB，ABPE，ABFE，故SPEFPFED；SPBFPFBD1；SPBEPEBE；SBEFEFEB1.因此三棱錐PBEF的表面積SPBEFSPEFSPBFSPBESBEF.16. 如圖，在底面是正三角形的直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB2，D是BC的中點(diǎn)(1)求證：A1C平面AB1D；(2)求點(diǎn)A1到平面AB1D的距離解(1)證明：連接A1B，交AB1于點(diǎn)O，連接OD.ABCA1B1C1是直三棱柱，四邊形ABB1A1是平行四邊形，O是A1B的中點(diǎn)又D是BC的中點(diǎn)，ODA1C，OD平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)由(1)知，O是A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)A1到平面AB1D的距離等于點(diǎn)B到平面AB1D的距離ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1平面ABC，平面BCC1B1平面ABC，ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，ADBC，AD平面BCC1B1，ADB1D， 17. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為梯形，ABCBAD90，BC2，APADAB，PABPAD.(1)試在棱PA上確定一個(gè)點(diǎn)E，使得PC平面BDE，并求出此時(shí)的值；(2)當(dāng)60時(shí)，求證：CD平面PBD.解(1)解法一：連接AC，BD交于點(diǎn)F，在平面PCA中作EFPC交PA于E，連接BE，DE，因?yàn)镻C平面BDE，EF平面BDE，所以PC平面BDE，因?yàn)锳DBC，所以，因?yàn)镋FPC，所以，所以.解法二：在棱PA上取一點(diǎn)E，使得.連接AC，BD交于點(diǎn)F，連接EF，BE，DE，因?yàn)锳DBC，所以，所以，所以EFPC，因?yàn)镻C平面BDE，EF平面BDE，所以PC平面BDE.(2)證法一：取BC的中點(diǎn)G，連接DG，則ABGD為正方形連接AG，BD交于點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)锳PADAB，PABPAD60，所以PAB和PAD都是等邊三角形，因此PAPBPD，又因?yàn)镺DOB，所以POBPOD，所以POBPOD90，同理得POAPOB，POA90，所以PO平面ABC.所以POCD.由ABCBAD90，BC2AD2AB2，可得BD2，CD2，所以BD2CD2BC2，所以BDCD，所以CD平面PBD.證法二：取BC的中點(diǎn)G，連接DG，則ABGD為正方形過(guò)P作PO平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OD， OG.因?yàn)锳PADAB，PABPAD60，所以PAB和PAD都是等邊三角形，因此PAPBPD，所以O(shè)AOBOD，即點(diǎn)O為正方形ABGD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以PO 平面PBD.又ABCBAD90，BC2AD2AB2，所以BDCD，又因?yàn)镻OCD，所以CD平面PBD.18. 如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圓O所在的平面，AB4，BE1.(1)證明：平面ADE平面ACD；(2)當(dāng)三棱錐CADE的體積最大時(shí)，求點(diǎn)C到平面ADE的距離解(1)證明：AB是直徑，BCAC，又四邊形DCBE為矩形，CDDE，BCDE，DEAC，CDACC，DE平面ACD，又DE平面ADE，平面ADE平面ACD.(2)由(1)知VCADEVEACDSACDDEACCDDEACBC(AC2BC2)AB2，當(dāng)且僅當(dāng)ACBC2時(shí)等號(hào)成立當(dāng)ACBC2時(shí)，三棱錐CADE的體積最大，為.此時(shí)，AD3，SADEADDE3，設(shè)點(diǎn)C到平面ADE的距離為h，則VCADESADEh，h.19. 如圖，AC是圓O的直徑，B、D是圓O上兩點(diǎn)，AC2BC2CD2，PA圓O所在的平面，PA，點(diǎn)M在線段BP上，且BMBP.(1)求證：CM平面PAD；(2)求異面直線BP與CD所成角的余弦值解(1)證明：作MEAB于E，連接CE，則MEAP.AC是圓O的直徑，AC2BC2CD2，ADDC，ABBC，BACCAD30，BCADCA60，ABAD，BMBP，BEBA，tanBCE，BCEECA30CAD，ECAD.又MECEE，PADAA，平面MEC平面PAD，又CM平面MEC，CM平面PAD，CM平面PAD.(2)過(guò)點(diǎn)A作平行于BC的直線交CD的延長(zhǎng)線于G，作BFCG，交AG于F，連接PF，則PBF為異面直線BP與CD所成的角，設(shè)PBF.易知AF1，PB，BF2，PF2，故cos.21. 如圖，四邊形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EFAB.現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC.(1)若BE1，是否在折疊后的線段AD上存在一點(diǎn)P，且，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；(2)求三棱錐ACDF的體積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)F到平面ACD的距離解(1)AD上存在一點(diǎn)P，使得CP平面ABEF，此時(shí).理由如下：當(dāng)時(shí)，可知，過(guò)點(diǎn)P作MPFD交AF于點(diǎn)M，連接EM，則有，又BE1，可得FD5，故MP3，又EC3，MPFDEC，故MP綊EC，故四邊形MPCE為平行四邊形，所以CPME.又CP平面ABEF，ME平面ABEF，故CP平面ABEF.(2)設(shè)BEx，所以AFx(0x4)，F(xiàn)D6x，故V三棱錐ACDF2(6x)x(x26x)，當(dāng)x3時(shí)，V三棱錐ACDF有最大值，且最大值為3，此時(shí)，EC1，AF3，F(xiàn)D3，DC2.在RtEFC中，F(xiàn)C，在RtAFD中，AD3，在RtAFC中，AC.在ACD中，cosADC，故sinADC，SADCDADCsinADC323.設(shè)點(diǎn)F到平面ACD的距離為h，由V三棱錐ACDFV三棱錐FADC，即3hSADCh3，得h，故此時(shí)點(diǎn)F到平面ACD的距離為.22.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)(1)求證：EF平面ABC1D1；(2)求證：EFB1C.證明(1)連接BD1，如圖所示在DD1B中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點(diǎn)，則EF平面ABC1D1.(2)ABCDA1B1C1D1為正方體AB平面BCC1B1EFB1C.23. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC3，AA12，點(diǎn)P，Q分別為A1B和B1C1的中點(diǎn)(1)證明：PQ平面A1ACC1；(2)求三棱錐QA1BC的體積(1)證明取A1C的中點(diǎn)G，連接PG，GC1.P，G，Q分別為A1B，A1C，B1C1的中點(diǎn)，PGBC，且PGBC，QC1BC，且QC1BC，PGQC1，且PGQC1，四邊形PQC1G為平行四邊形，PQGC1.又PQ平面A1ACC1，GC1平面A1ACC1，PQ平面A1ACC1.(2)解由已知得A1B1A1C1，又Q為B1C1的中點(diǎn)，A1QB1C1.又棱柱ABCA1B1C1為直棱柱，A1QCC1.又B1C1，CC1平面B1BCC1，且B1C1CC1C1，A1Q平面B1BCC1.A1Q是棱錐A1BQC的高BAC90，ABAC3，BC6，A1Q3.又AA12，SQBCBCCC1626，SQBCA1Q636，6.24. 如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，PAAD1，E、F分別為PD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且(01)(1)若，求證：EF平面PAB；(2)求三棱錐EFCD體積的最大值解(1)證明：分別取PA和AB的中點(diǎn)M、N，連接MN、ME、NF、DF，則NF綊AD，ME綊AD，所以NF綊ME，所以四邊形MEFN為平行四邊形，所以EFMN，又EF平面PAB，MN平面PAB，所以EF平面PAB.(2)在平面PAD內(nèi)作EHAD于H，因?yàn)閭?cè)棱PA底面ABCD，所以平面PAD底面ABCD，且平面PAD底面ABCDAD，所以EH平面ADC，所以EHPA.(或平面PAD中，PAAD，EHAD，所以EHPA亦可)因?yàn)?01)，所以，EHPA.1，SFCD(1)SADC，VEFCD(01)，所以VEFCD的最大值為.