第六節(jié)直接證明與間接證明 點(diǎn)擊考綱1 了解直接證明的兩種基本方法 分析法和綜合法 了解分析法和綜合法的思考過(guò)程 特點(diǎn) 2 了解間接證明的一種基本方法 反證法 了解反證法的思考過(guò)程 特點(diǎn) 關(guān)注熱點(diǎn)1 本節(jié)主要考查對(duì)綜合法和分析法的理解和簡(jiǎn)單的應(yīng)用 反證法一般不會(huì)單獨(dú)命題 2 綜合法和分析法在歷年高考中均有體現(xiàn) 成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一 選擇題 填空題的形式較少 主要是綜合法 分析法的思想滲透到解答題中 1 直接證明 推理論證 成立 證明的結(jié)論 充分條件 2 間接證明反證法 假設(shè)原命題 即在原命題的條件下 結(jié)論不成立 經(jīng)過(guò)正確的推理 最后得出 因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤 從而證明了原命題成立 這樣的證明方法叫做反證法 不成立 矛盾 1 綜合法和分析法的區(qū)別和聯(lián)系是什么 提示 綜合法的特點(diǎn)是 從 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理實(shí)際上是尋找它的必要條件 分析法的特點(diǎn) 從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 其逐步推理實(shí)際上是尋求它的充分條件 在解決問題時(shí) 經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用 2 反證法的關(guān)鍵是什么 提示 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾 這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾 或與假設(shè)矛盾 或與定義 公理 定理 事實(shí)矛盾等 1 已知x y R M x2 y2 1 N x y xy 則M與N的大小關(guān)系是 A M NB M NC M ND 不能確定解析 2M 2N 2 x2 y2 2 2 x y xy x y 2 x 1 2 y 1 2 0 M N 答案 A 答案 D 答案 D 4 在等比數(shù)列 an 和等差數(shù)列 bn 中 a1 b1 0 a3 b3 0 a1 a3 則a5與b5的大小關(guān)系為 A a5 b5B a5 b5C a5 b5D a5 b5 解析 設(shè)公比為q 公差為d 則a3 a1q2 b3 b1 2d a1 2d 由a3 b3 2d a1 q2 1 又 a1 a3 q2 1 a5 b5 a1q4 a1 4d a1 q2 1 2 0 a5 b5 答案 A 思路導(dǎo)引 利用a2 b2 2ab 再同向不等式相加 思路導(dǎo)引 所給條件簡(jiǎn)單 所證結(jié)論復(fù)雜 一般采用分析法 方法探究 分析法的特點(diǎn)和思路是 執(zhí)果索因 即從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 或本身已經(jīng)成立的定理 性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等 運(yùn)用分析法必須考慮條件的必要性是否成立 通常采用 欲證 只需證 已知 的格式 在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范 思路導(dǎo)引 此類兩個(gè)命題至少有一個(gè)成立的問題一般可采用反證法 方法探究 1 反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理 即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件 且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證 否則僅否定結(jié)論 不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理 就不是反證法 2 推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣 有的與已知矛盾 有的與假設(shè)矛盾 有的與事實(shí)矛盾等 3 在 ABC中 A B C的對(duì)邊分別為a b c 若a b c三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列 求證 B 90 評(píng)價(jià)探究 證明問題是高中數(shù)學(xué)中常見的問題 也是高考中?？嫉膯栴} 難度稍大 在各章知識(shí)中均有體現(xiàn) 函數(shù) 數(shù)列 不等式 立體幾何 解析幾何中常用證明問題 本例就是代數(shù)證明問題的直接體現(xiàn) 此題綜合了導(dǎo)數(shù) 線性規(guī)劃 不等式性質(zhì)等多處知識(shí)點(diǎn) 考向分析 從近兩年的高考試題來(lái)看 綜合法 反證法證明問題是高考的熱點(diǎn) 題型大多為解答題 難度為中高檔 主要是在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題 像數(shù)列 立體幾何中的平行 垂直 不等式 解析幾何等都有可能考查 在考查數(shù)學(xué)基本概念的同時(shí) 注重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化 分類討論思想以及學(xué)生的邏輯推理能力 預(yù)計(jì)2012年高考仍將以綜合法證明為主要考點(diǎn) 偶爾會(huì)出現(xiàn)反證法證明的題目 重點(diǎn)考查運(yùn)算能力與邏輯推理能力 答案 C 答案 D 答案 C 答案 A 答案 A