壽險(xiǎn)精算學(xué),教材,指定教材 王曉軍，壽險(xiǎn)精算學(xué)，中國人民大學(xué)出版社，2005。 參考資料 Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991. Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997.,背景知識,保險(xiǎn)的基本概念 精算學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域 壽險(xiǎn)精算學(xué)的基本思想 精算師 精算師職業(yè)資格考試,保險(xiǎn)的概念,保險(xiǎn)的概念 投保人根據(jù)合同約定，向保險(xiǎn)人支付保險(xiǎn)費(fèi)，保險(xiǎn)人對于合同約定的可能發(fā)生事故因其發(fā)生所造成的財(cái)產(chǎn)損失承擔(dān)賠償保險(xiǎn)金責(zé)任，或者當(dāng)被保險(xiǎn)人死亡、傷殘、疾病或者達(dá)到約定年齡、期限時(shí)承擔(dān)給付保險(xiǎn)金責(zé)任的商業(yè)保險(xiǎn)行為。 關(guān)鍵概念 保險(xiǎn)合同 可保風(fēng)險(xiǎn),保險(xiǎn)合同 保險(xiǎn)單，是投保人與保險(xiǎn)人約定保險(xiǎn)權(quán)利義務(wù)的協(xié)議。,保險(xiǎn)分類,人身保險(xiǎn) 壽險(xiǎn) 健康險(xiǎn) 意外險(xiǎn),財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn) 車險(xiǎn) 房屋保險(xiǎn) 火災(zāi)險(xiǎn) 信用險(xiǎn) 知識產(chǎn)權(quán)保險(xiǎn),人身保險(xiǎn),人身保險(xiǎn)是以人的生命和身體為保險(xiǎn)標(biāo)的的保險(xiǎn)，保險(xiǎn)事故是人的生、老、病、死、殘等。 人身保險(xiǎn)是比人壽保險(xiǎn)更廣的概念，但目前在保險(xiǎn)市場上經(jīng)營人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的保險(xiǎn)公司名稱都是人壽保險(xiǎn)公司。,保險(xiǎn)法規(guī)定,財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，包括財(cái)產(chǎn)損失保險(xiǎn)，責(zé)任保險(xiǎn)，信用保險(xiǎn)等保險(xiǎn)業(yè)務(wù) 人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù)包括人壽保險(xiǎn)，健康保險(xiǎn)，意外傷害保險(xiǎn)等業(yè)務(wù)。 同一保險(xiǎn)人不得同時(shí)兼營財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)和人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù)。 但是，經(jīng)營財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的保險(xiǎn)公司經(jīng)保險(xiǎn)監(jiān)督管理機(jī)構(gòu)核定，可經(jīng)營短期健康保險(xiǎn)業(yè)務(wù)和意外傷害保險(xiǎn)業(yè)務(wù)。,保險(xiǎn)中為什么需要精算，精算是什么？,精算學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域,精算學(xué)概念 以概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，與經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)及保險(xiǎn)理論相結(jié)合的具有應(yīng)用性和交叉性的學(xué)科。 應(yīng)用領(lǐng)域 保險(xiǎn)領(lǐng)域 社會保障領(lǐng)域 投資領(lǐng)域 所有與風(fēng)險(xiǎn)評估，控制相關(guān)領(lǐng)域,精算學(xué)是評價(jià)風(fēng)險(xiǎn)和制定經(jīng)濟(jì)安全方案的方法體系。 風(fēng)險(xiǎn)：是一種不確定性，風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生可能造成損失，通常風(fēng)險(xiǎn)指不確定性不利的一面。（如：書中3面的例子） 保險(xiǎn)經(jīng)營的對象是風(fēng)險(xiǎn)，所以需要精算學(xué)。,保險(xiǎn)中精算的工作,確定保險(xiǎn)費(fèi)率 計(jì)算準(zhǔn)備金 再保險(xiǎn)中分出量和自留量的確定 保險(xiǎn)基金的投資運(yùn)營,壽險(xiǎn)精算學(xué)基本思想,損失補(bǔ)償思想 不能阻止風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生，但能將風(fēng)險(xiǎn)帶來的損失降低最小 事先防范風(fēng)險(xiǎn) 凈均衡思想 自助互助性 大數(shù)定律,保險(xiǎn)的基本運(yùn)作,以一年定期壽險(xiǎn)為例：自保單生效之日起，如果被保險(xiǎn)人在1年之內(nèi)去世，則保險(xiǎn)人向保單的受益人給付保單規(guī)定的保險(xiǎn)金，否則合同在一年后自動失效。 保單組（除保單當(dāng)事人以外，所有其他條件都一樣的保單構(gòu)成的一個(gè)整體）：保險(xiǎn)人簽發(fā)了10000份條件相同的保單（封閉型保單組）,保單組中條件： 保險(xiǎn)金額100,000 被保險(xiǎn)人投保年齡 50 保費(fèi)繳納方式 躉交保費(fèi) 死亡給付假設(shè) 保單年度末進(jìn)行,對保單組 0時(shí)刻：保險(xiǎn)人指定保費(fèi)（毛保費(fèi)，包括給 付成本，費(fèi)用和利潤） 投保人向保險(xiǎn)人繳費(fèi)保費(fèi) 1時(shí)刻：保險(xiǎn)人將所收到的保費(fèi)中很大一部 分返回給若干出險(xiǎn)保單 投保人中少數(shù)出險(xiǎn)的得到索賠，賠 付額就是保險(xiǎn)額，通常是保費(fèi)的數(shù) 倍，沒出險(xiǎn)的得不到任何賠付，推出利息 共同體。,保費(fèi)=？（保險(xiǎn)人的工作） 首先，統(tǒng)計(jì)調(diào)查，死亡概率0.0043 假設(shè)僅考慮純保費(fèi)，100,000*0.0043=430 保險(xiǎn)人：0時(shí)刻出售10,000張保單，收入 430*10000=4300，000,保險(xiǎn)人：1時(shí)刻若預(yù)期死亡率與實(shí)際死亡率 相等，死了10,000*0.0043=43，總 賠付=100,000*43=4300,000=純保 費(fèi)收入 保險(xiǎn)公司無利潤也無損失 但實(shí)際上在0時(shí)刻，未來1年內(nèi)死亡人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，實(shí)際死亡人數(shù)43，則保費(fèi)收入給付支出，對保險(xiǎn)人的不利偏差，在死亡率風(fēng)險(xiǎn)上產(chǎn)生了一個(gè)損失。,若實(shí)際死亡人數(shù)給付支 出，保險(xiǎn)人獲得承保利潤。 保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)：索賠數(shù)超過了保險(xiǎn)人的預(yù)期，即隨機(jī)變量的不利偏差。,投保人： 1時(shí)刻單個(gè)投保人中發(fā)生索賠和未 發(fā)生索賠的投保人之間發(fā)生了轉(zhuǎn) 移支付。 整個(gè)保單組由大數(shù)定律幾乎可以 確定收支平衡,保險(xiǎn)的基本特性（書6面）,自助互助 保費(fèi)的返還性 大數(shù)定律的保證 保險(xiǎn)產(chǎn)品的保障性功能,精算師,精算師 金融、保險(xiǎn)、投資和風(fēng)險(xiǎn)管理的工程師。 精算師的職責(zé) 保證風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營的財(cái)務(wù)穩(wěn)健性 對風(fēng)險(xiǎn)和損失的預(yù)先評價(jià) 對風(fēng)險(xiǎn)事件做出預(yù)先的財(cái)務(wù)安排,精算管理和控制系統(tǒng),精算師職業(yè)資格考試,精算師執(zhí)業(yè)資格認(rèn)證 考試體系 北美、英國、日本、中國 認(rèn)可標(biāo)準(zhǔn) 1998年，歐共體精算協(xié)會顧問團(tuán)公布了歐洲精算培訓(xùn)核心大綱，以此建立歐洲國家精算師互相資格認(rèn)可 1998年國際師精算協(xié)會通過了國際精算教育指南和培訓(xùn)大綱，要求至少到2005年以后正是會員的資格符合教學(xué)大綱的要求 2000年，北美精算學(xué)會，英國精算學(xué)會對各自的教育大綱進(jìn)行修改，向國際精算師協(xié)會推薦的教育體系靠攏 2000年底，開始中國精算師資格考試，2004年，中國精算師分壽險(xiǎn)和非壽險(xiǎn)兩個(gè)方向考試。,課程結(jié)構(gòu),利息理論基礎(chǔ) 生命表基礎(chǔ) 凈保費(fèi)計(jì)算 凈責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算 產(chǎn)品定價(jià) 責(zé)任準(zhǔn)備金評估 案例分析,第二部分 生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造,第二部分,生命表函數(shù)(3.2節(jié)),參數(shù)壽命分布,有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè),多重?fù)p失模型和多損因表,生命表 理論,3.2節(jié) 生存函數(shù),定義 意義：新生兒能活到 歲的概率。 與分布函數(shù)的關(guān)系： 與密度函數(shù)的關(guān)系： 新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率：,剩余壽命,定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡記(x)），還能繼續(xù)存活的時(shí)間，稱為剩余壽命，記作T(x)。 分布函數(shù) ：,基本函數(shù),剩余壽命的生存函數(shù) ： 特別：,基本函數(shù),：x歲的人至少能活到x+1歲的概率 ：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率 ：X歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率,整值剩余壽命,定義： 未來存活的完整年數(shù)，簡記 概率函數(shù),剩余壽命的期望與方差,期望剩余壽命： 剩余壽命的期望值(均值),簡記 剩余壽命的方差,整值剩余壽命的期望與方差,期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值(均值),簡記 整值剩余壽命的方差,死亡效力,定義： 的瞬時(shí)死亡率，簡記 死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系,死亡效力,死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系 死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù),有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型,De Moivre模型(1729) Gompertze模型(1825),有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型,Makeham模型(1860) Weibull模型(1939),參數(shù)模型的問題,至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個(gè)常用模型的擬合效果不令人滿意。 使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大的誤差 壽險(xiǎn)中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。 在非壽險(xiǎn)領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。,生命表起源,生命表的定義 根據(jù)已往一定時(shí)期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計(jì)資料編制成的由每個(gè)年齡死亡率所組成的匯總表. 生命表的發(fā)展歷史 1662年,Jone Graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時(shí)期的洗禮和死亡名單,寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計(jì)表對人類死亡程度的估計(jì)，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。 生命表的特點(diǎn) 構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）,3.1節(jié) 生命表的構(gòu)造,原理 在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計(jì)算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計(jì)頻率） 常用符號 新生生命組個(gè)體數(shù)： 年齡： 極限年齡：,生命表的構(gòu)造(3.1節(jié)),個(gè)新生生命能生存到年齡X的期望個(gè)數(shù)： 個(gè)新生生命中在年齡x與x+n之間死亡的期望個(gè)數(shù)： 特別：n=1時(shí)，記作,生命表的構(gòu)造,個(gè)新生生命在年齡x至x+t區(qū)間共存活年數(shù)： 個(gè)新生生命中能活到年齡x的個(gè)體的剩余壽命總數(shù)：,例1：,已知 計(jì)算下面各值： （1） （2）20歲的人在5055歲死亡的概率。 （3）該人群平均壽命。,例1答案,生命表實(shí)例（美國全體人口生命表）,3.5節(jié) 生命表的編制,生命表編制的一般方法 實(shí)際同批人生命表 假設(shè)同批人生命表 選擇終極生命表 在人口分析中，可以按性別、地區(qū)、種族等對人口進(jìn)行分類，分別編制反映各類人口死亡規(guī)律的生命表。 保險(xiǎn)精算中反映死亡規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)生命表與人口生命表是不同的，因保險(xiǎn)只提供給符合健康標(biāo)準(zhǔn)的人。,選擇-終極生命表,選擇-終極生命表構(gòu)造的原因 需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。 需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會隨時(shí)間而逐漸消失 選擇-終極生命表的使用,選擇-終極表實(shí)例,3.3節(jié) 有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè),使用背景: 生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時(shí)我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個(gè)整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定， 估計(jì)分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況 基本原理:插值法 常用方法 均勻分布假定(線性插值) 常數(shù)死亡力假定(幾何插值) Balducci假定(調(diào)和插值),三種假定,均勻分布假定(線性插值) 常數(shù)死亡力假定(幾何插值) Balducci假定(調(diào)和插值),三種假定下的生命表函數(shù),例2,已知 分別在三種分?jǐn)?shù)年齡假定下，計(jì)算下面各值：,例2答案,例2答案,例2答案,第二部分,生命表函數(shù),參數(shù)壽命分布,有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè),多重?fù)p失模型和多減因表（第四章）,生命表 理論,使用背景,如果被保險(xiǎn)人投保壽險(xiǎn)且在繳費(fèi)期間死亡，那就意味著他將獲得保險(xiǎn)賠付而且不再繳納保險(xiǎn)費(fèi)了。就此人而言，保險(xiǎn)人遭受到了損失。在前面章節(jié)中我們都是討論在以死亡為唯一損失變量時(shí)，各種保險(xiǎn)要素的確定。 在實(shí)際中，除了死亡這個(gè)損失變量，我們可能還會遇到其它的提前終止繳費(fèi)的損失變量，比如，壽險(xiǎn)中，被保險(xiǎn)人退保；勞動力計(jì)劃中，雇員辭職、殘疾或者退休等，都會對單一考慮死亡因素時(shí)的繳納賠付之間的平衡構(gòu)成影響。多重?fù)p失模型就是在這種背景下產(chǎn)生的。,多損失模型的構(gòu)造,兩變量模型 多種損失模型的實(shí)質(zhì)就是一個(gè)兩變量模型。變量一是狀況終止的時(shí)間 ，在壽險(xiǎn)場合它可以表示為剩余壽命； 變量二是狀況終止的原因 ，這是一個(gè)離散隨機(jī)變量，比如在壽險(xiǎn)場合，我們可以令 表示死亡， ，表示退保。,相關(guān)函數(shù),聯(lián)合密度函數(shù) 邊際分布函數(shù),事件的概率,多重?fù)p失函數(shù)（一）,由原因j引起且損失發(fā)生在時(shí)間t之前的概率 由原因j引起的損失發(fā)生的概率,多重?fù)p失函數(shù)（二）,的密度函數(shù) 的分布函數(shù),多重?fù)p失函數(shù)（三）,由各種原因引起且損失發(fā)生在時(shí)間t之前的概率 損失不會發(fā)生在時(shí)間t之前的概率,多重?fù)p失函數(shù)（四）,x+t時(shí)刻由原因j造成的損失效力 x+t時(shí)刻由所有原因造成的總損失效力,多重?fù)p失函數(shù)（五）,給定損失時(shí)間t，J的條件概率函數(shù),例3,考慮2個(gè)損失原因的多重?fù)p失模型，其損失效力分別為： 計(jì)算該模型的聯(lián)合、邊際、條件概率密度函數(shù)。 計(jì)算,例3答案（一）,例3答案,例3答案,多減因隨機(jī)殘存組定義,考察一組a歲的 個(gè)生命，每一個(gè)生命的終止（損失）時(shí)間與原因的分布由下列聯(lián)合概率密度函數(shù)確定：,隨機(jī)殘存組函數(shù),：在年齡 x與x+n之間因原因j而離開的成員的期望個(gè)數(shù) ：在年齡 x與x+n之間因各種原因而總共離開的成員的期望個(gè)數(shù),隨機(jī)殘存組函數(shù),：原先 個(gè)a歲成員在x歲時(shí)的殘存數(shù)隨機(jī)變量的期望,確定性殘存組的定義,總的損失效力可以看作總的損失率，而不作為條件密度函數(shù)。則一組 個(gè)a歲成員隨著年齡的增加按決定性損失效力 演變 ，則原先 個(gè)a歲成員在x歲時(shí)的殘存數(shù)為,確定性殘存組函數(shù),：在年齡 x與x+1之間因各種原因而離開的成員數(shù) ：現(xiàn)在x歲，將來因?yàn)樵騤而終結(jié)的個(gè)體數(shù),確定性殘存組函數(shù),：因原因j而引起的損失效力 ：各種原因引起的總損失效力,絕對損失率,單重?fù)p失函數(shù)定義 稱為絕對損失率，是指原因j在 的決定過程中不與其它損失原因競爭。它也稱為凈損失率（net probabilities of decrement）或獨(dú)立損失率(independent rate of decrement)。,基本關(guān)系,常數(shù)損失效力假定,假定條件 等價(jià)推出,關(guān)系式,均勻分布假定,假定條件 等價(jià)推出,關(guān)系式,聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布 可得,利用上面的關(guān)系可以推導(dǎo)多減因表的減因概率與聯(lián)合單減因表的減因概率的關(guān)系。（見書79面） 如果具備直接計(jì)算多減因表每個(gè)減因概率的數(shù)據(jù)資料，可以直接編制多減因表，如果直接編制所需的資料缺乏時(shí)，可以通過聯(lián)合單減因表，用上面給出的關(guān)系式求出多減因概率。,壽險(xiǎn)精算學(xué)（三） 壽險(xiǎn)產(chǎn)品介紹,內(nèi)容,傳統(tǒng)個(gè)人壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品,1,投資類保險(xiǎn)產(chǎn)品,2,附加保險(xiǎn),3,團(tuán)體保險(xiǎn),4,傳統(tǒng)壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品,人身險(xiǎn),定期壽險(xiǎn),意外險(xiǎn),終身壽險(xiǎn),兩全保險(xiǎn),健康保險(xiǎn),生存年金,投資類保險(xiǎn)產(chǎn)品,分紅產(chǎn)品,投連產(chǎn)品,萬能產(chǎn)品,常見附加險(xiǎn)產(chǎn)品,團(tuán)體保險(xiǎn)概念,團(tuán)體：5人以上,用一張保單 對一團(tuán)體的人提供保障,同一險(xiǎn)種,團(tuán)體保險(xiǎn),團(tuán)體保險(xiǎn)特點(diǎn),管理方式和費(fèi)用不同,團(tuán)險(xiǎn)種類,第六章 凈保費(fèi),人壽保險(xiǎn)的分類,受益金額是否恒定 定額受益保險(xiǎn) 變額受益保險(xiǎn) 保單簽約日和保障期期始日是否同時(shí)進(jìn)行 非延期保險(xiǎn) 延期保險(xiǎn),保障標(biāo)的不同 人壽保險(xiǎn)（狹義） 生存保險(xiǎn) 兩全保險(xiǎn) 保障期是否有限 定期壽險(xiǎn) 終身壽險(xiǎn),純保費(fèi)厘定的基本假定,三個(gè)基本假定條件: 同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。 被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合。 保險(xiǎn)公司可以預(yù)測將來的最低平穩(wěn)收益（即預(yù)定利率）。,凈保費(fèi)厘定原理,原則 保費(fèi)凈均衡原則 解釋 所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時(shí)值正好等于將來的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值,基本符號, 投保年齡。 人的極限年齡 保險(xiǎn)金給付函數(shù)。 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險(xiǎn)給付金在保單生效時(shí)的現(xiàn)時(shí)值,死亡即刻賠付,死亡即刻賠付的含義 死亡即刻賠付就是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險(xiǎn)賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。 由于死亡可能發(fā)生在被保險(xiǎn)人投保之后的任意時(shí)刻，所以死亡即刻賠付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的剩余壽命。,死亡年末賠付,死亡即刻賠付的含義 如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)公司將在死亡發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。,由于賠付時(shí)刻都發(fā)生在事件發(fā)生的當(dāng)年年末，死亡年末時(shí)刻是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它距離保單生效日的時(shí)期長度就等于被保險(xiǎn)人簽約的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險(xiǎn)精算師在厘定躉交保費(fèi)時(shí)通常先假定的理賠方式。,主要險(xiǎn)種的躉繳凈保費(fèi)的厘定,n年期定期壽險(xiǎn) 終身壽險(xiǎn) 延期m年的終身壽險(xiǎn) n年期生存保險(xiǎn) n年期兩全保險(xiǎn) 延期m年的n年期的兩全保險(xiǎn) 遞增終身壽險(xiǎn) 遞減n年定期壽險(xiǎn),基本函數(shù)關(guān)系 記k為被保險(xiǎn)人整值剩余壽命，則,n年期定期壽險(xiǎn) 死亡年末賠付,符號： 厘定：,現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差,公式 記 等價(jià)方差為,終身壽險(xiǎn) 死亡年末賠付,符號： a.定義：從投保開始到終身的死亡保險(xiǎn) b.假定：（x）的人x歲投保，一單位元死亡末賠付 c.基本函數(shù)關(guān)系：記k為被保險(xiǎn)人的整值剩余壽命,d. 精算現(xiàn)值（純保費(fèi)厘定） e.方差： VarZ=,f.關(guān)系式： 上式左邊：x歲的 個(gè)人投保終身壽險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi) 上式右邊：x歲到生命表最大年齡w-1歲上所有死亡年末1單位元賠付支出的,延期m年的n年定期壽險(xiǎn),a.假定：（x）的人x歲投保，從x+m年到x+m+n止，死亡賠付1單位元 b.基本函數(shù)關(guān)系：記k為被保險(xiǎn)人的整值剩余壽命 符號：,d. 精算現(xiàn)值（純保費(fèi)厘定） 證：,延期m年的終身壽險(xiǎn),a.假定：（x）的人x歲投保，從x+n年到被保險(xiǎn)人終身止，死亡賠付1單位元 b.基本函數(shù)關(guān)系：記k為被保險(xiǎn)人的整值剩余壽命,c.符號 d.精算現(xiàn)值（純保費(fèi)厘定） e.關(guān)系式：,n年期的兩全保險(xiǎn),a.定義：定期壽險(xiǎn)+純生存保險(xiǎn) 純生存保險(xiǎn)：n年滿期被保險(xiǎn)人仍然存活為給付條件的保險(xiǎn) 現(xiàn)值r.v. 則兩全保險(xiǎn)的現(xiàn)值r.v.,b.精算現(xiàn)值：,延期m年的n年期兩全保險(xiǎn),標(biāo)準(zhǔn)變額壽險(xiǎn),定義：保險(xiǎn)契約規(guī)定的賠付額隨死亡時(shí)間的變動而不同。 賠付額： or 符號： 標(biāo)準(zhǔn)遞增的終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值 標(biāo)準(zhǔn)遞增的n年定期壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值 標(biāo)準(zhǔn)遞增的n年兩全保險(xiǎn)精算現(xiàn)值 標(biāo)準(zhǔn)遞減的n年定期壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值,標(biāo)準(zhǔn)遞增的終身壽險(xiǎn) 相當(dāng)于每年買一個(gè)終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值,2.標(biāo)準(zhǔn)遞增的n年定期壽險(xiǎn) 相當(dāng)于每年買一個(gè)終身壽險(xiǎn),意義：0-n年每年買一個(gè)終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值-n個(gè)在第n年買的終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值,3 標(biāo)準(zhǔn)遞增的n年兩全保險(xiǎn) 4標(biāo)準(zhǔn)遞減的n年定期壽險(xiǎn),一般變額壽險(xiǎn)(終身壽險(xiǎn)) 現(xiàn)金隨機(jī)變量: 精算現(xiàn)值:,死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納,常用計(jì)算基數(shù),計(jì)算基數(shù)引進(jìn)的目的：簡化計(jì)算 常用基數(shù)：,用計(jì)算基數(shù)表示常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi),例: (x):35歲，保險(xiǎn)金額5000元，25年定期壽險(xiǎn)，求保單的躉繳純保費(fèi)，i=6%。,例：（x）:35歲，買離散型保額5000元的30年兩全保險(xiǎn)，求該保單的躉繳純保費(fèi)，i=6%。,例（x）：30歲，買離散型的遞增30年定期保險(xiǎn)，保險(xiǎn)利益為：第1年內(nèi)死亡，給付1000元，第二年內(nèi)死亡，給付1100元，第三年內(nèi)死亡，給付1200，.在第30個(gè)保單 年度內(nèi)死亡，給付3900元，求躉繳保費(fèi)。,例（x）：30歲，買離散型的遞減20年定期保險(xiǎn)，保險(xiǎn)利益為：第1年內(nèi)死亡，給付5000元，第二年內(nèi)死亡，給付4900元，第三年內(nèi)死亡，給付4800，.在第20個(gè)保單 年度內(nèi)死亡，給付3100元，求躉繳保費(fèi)。,例6.1 某人在40歲時(shí)投保了3年期10000元定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在死亡年末賠付，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)生命表（1990-1993）（男女混合）和利率5%計(jì)算躉繳凈保費(fèi)。,例6.2 某人在40歲時(shí)買了保險(xiǎn)額為20000元的終身壽險(xiǎn)，假設(shè)他的生存函數(shù)可以表示為 死亡賠付在死亡年末，i=10%，求這一保單的精算現(xiàn)值。,1、n年定期壽險(xiǎn),定義 保險(xiǎn)人只對被保險(xiǎn)人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種，又稱為n年死亡保險(xiǎn)。 假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險(xiǎn) 基本函數(shù)關(guān)系,6.1.2節(jié) 死亡時(shí)刻賠付,符號： 厘定：,方差公式 記 （相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險(xiǎn)的躉繳保費(fèi)） 所以方差等價(jià)為,終身壽險(xiǎn),符號：,兩全保險(xiǎn),符號： 精算現(xiàn)值：,如何利用生命表計(jì)算死亡時(shí)刻的壽險(xiǎn)現(xiàn)值？以終身壽險(xiǎn)為例,死亡時(shí)刻賠付躉繳凈保費(fèi)的厘定,死亡均勻分布假設(shè)下,分析： 有何解釋？,假設(shè)死亡發(fā)生在每個(gè)年齡的中間 平均來說這種賠付比在年末賠付早半年，,則在復(fù)利假設(shè)下,復(fù)利： 類似的在單利假設(shè)下,對定期壽險(xiǎn)和兩全保險(xiǎn)也有類似的近似計(jì)算：,例6.3:某人在30歲時(shí)投保了50000元30年兩全保險(xiǎn),預(yù)定利率為6%,根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(1990-1993)求躉繳凈保費(fèi).,例6.4:在例6.3中,如果契約規(guī)定在投保前10年死亡賠付50000元,后20年死亡賠付30000元,滿期存活給付20000元,求躉繳凈保費(fèi),4變額年金 （1）死亡時(shí)賠付的標(biāo)準(zhǔn)遞增變額年金 ：t時(shí)刻的賠付額 ：死亡時(shí)賠付的終身遞增壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值,（2）賠付額連續(xù)遞增死亡時(shí)賠付,5 賠付發(fā)生在單位時(shí)間的等分點(diǎn)處（以終身壽險(xiǎn)為例） ：把死亡發(fā)生年劃分成m個(gè)相等的部分，死亡給付在死亡發(fā)生的那部分期末進(jìn)行的終身壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值。 現(xiàn)值隨機(jī)變量： ，其中 為（x）在死亡年所活過的分?jǐn)?shù)年部分，K為整值余壽,另外,例：（死亡時(shí)賠付的延遲終身壽險(xiǎn)）保險(xiǎn)金額為1單位的延期5年的終身壽險(xiǎn)，(x)歲的人的死亡力 ，利息力 ，Z為現(xiàn)值隨機(jī)變量，求,練習(xí)：1 （x）:40歲的人，投保標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)型的遞減的10年定期保險(xiǎn)；i=6%，保險(xiǎn)利益如下圖，求死力均勻分布下的躉交純保費(fèi)。,例：(x)的未來壽命T=T(x)的密度函數(shù) 利息力為 ，給付1個(gè)單位保額的終身壽險(xiǎn)的現(xiàn)值變量為Z，計(jì)算（1）躉交純保費(fèi) （2）Z的方差 （3）求 的分位數(shù),躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式一： 證明：,理解(x)的單位金額終身壽險(xiǎn)在第一年末的價(jià)值等于(x)在第一年死亡的情況下1單位的賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費(fèi) 。,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式二： 解釋： 直觀意義： 可以分解為在x+1歲上為x歲上投保的人準(zhǔn)備 的現(xiàn)值和為在xx+1歲上死亡的被保險(xiǎn)人準(zhǔn)備另外的 現(xiàn)值之和。,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式三： 解釋： 個(gè)x歲的被保險(xiǎn)人所繳的躉繳保費(fèi)之和經(jīng)過一年的積累，當(dāng)年年末可為所有的被保險(xiǎn)人提供次年的凈躉繳保費(fèi) ，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險(xiǎn)人提供額外的 。,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式四： 解釋 (y)的躉繳純保費(fèi)等于其未來所有年份的保險(xiǎn)成本的現(xiàn)時(shí)值之和。,躉繳純保費(fèi)遞推公式,公式五：連續(xù)型終身壽險(xiǎn)躉交純保費(fèi)的微分方程,證明： 其中 ， 而 隨機(jī)變量T(x)在 條件下的條件密度函數(shù)為：,則 故,上式中令 綜上,第6.2節(jié) 生存年金的精算現(xiàn)值,生存年金的定義： 以被保險(xiǎn)人存活為條件，間隔相等的時(shí)期（年、半年、季、月）支付一次保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)類型 分類 初付年金/延付年金 連續(xù)年金/離散年金 定期年金/終身年金 非延期年金/延期年金,生存年金與確定性年金的關(guān)系,確定性年金 支付期數(shù)確定的年金（利息理論中所講的年金） 生存年金與確定性年金的聯(lián)系 都是間隔一段時(shí)間支付一次的系列付款 生存年金與確定性年金的區(qū)別 確定性年金的支付期數(shù)確定 生存年金的支付期數(shù)不確定（以被保險(xiǎn)人生存為條件）,生存年金的用途,被保險(xiǎn)人保費(fèi)交付常使用生存年金的方式 某些場合保險(xiǎn)人保險(xiǎn)理賠的保險(xiǎn)金采用生存年金的方式，特別在： 養(yǎng)老保險(xiǎn) 傷殘保險(xiǎn) 撫恤保險(xiǎn) 失業(yè)保險(xiǎn),6.2.1節(jié) 純粹的生存保險(xiǎn),定義：現(xiàn)齡x歲的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險(xiǎn)。 也就是我們在第三章講到的n年期純生存保險(xiǎn)。單位元數(shù)的n年期生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為 在生存年金研究中習(xí)慣用 表示該保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值,1 經(jīng)濟(jì)解釋： 該式說明為了保證n年末每個(gè)存活的人能得到1元，在x歲投保時(shí)必須每人繳費(fèi) 。,例如：（x）:20歲，存活到60歲將得到1000元，i=6% 可理解為 ,每人繳 ，年后形成資金 ，在歲之間死的106321人在滿期時(shí)沒有支付，死者的繳付費(fèi)用由生存者分享，這種情況稱為生存者利益，或生者利。,：利率和生存者利益下n年的積累系數(shù) 其中 是利息積累因子， 是生存積累因子。,3 證明： 表明(x)的n年折現(xiàn)系數(shù)可以分為先折現(xiàn)到x+t歲再折現(xiàn)到x歲兩步完成。,4 證明：從上式直接得到 表明：在利率和生存者利下，先從x+t折現(xiàn)到x歲再累積到x+n歲，等于x+t歲直接累積到x+n歲。,6.2.2節(jié) 生存年金的精算現(xiàn)值,現(xiàn)時(shí)值支付法計(jì)算步驟 Step1:求出時(shí)刻t時(shí)給付年金的數(shù)額 Step2:確定時(shí)刻t 給付數(shù)額的精算現(xiàn)值 Step3：對給付年金的精算現(xiàn)值按所有可能的給付時(shí)間進(jìn)行相加或積分,總額支付法計(jì)算步驟 Step1:求出從開始支付至死亡或停止支付這段時(shí)間t內(nèi)所有年金給付額的現(xiàn)值，這一現(xiàn)值只與利率有關(guān) Step2:將求出的現(xiàn)值乘以相應(yīng)的死亡概率或概率密度 Step3：對第二部得到的結(jié)果按所有可能的死亡時(shí)間t進(jìn)行相加或積分,終身生存年金,a.定義：支付期沒有限制，只要被保險(xiǎn)人存活，每隔一定時(shí)期發(fā)生一次支付。 b.符號： -(x)的每年1單位元首付終身生存年金 -(x)的每年1單位元末付終身生存年金,c.精算現(xiàn)值： 可證明,d.類似地期末付終身生存年金的精算現(xiàn)值,定期生存年金,e 與 的關(guān)系： 證明： 表明：年齡為(x)的生存者在利率為i下只要繳納1元即可享受期初付d元的終身生存年金，一旦死亡還可在死亡的年度末獲得1元的死亡收益金。,定期生存年金,符號 -(x)的每年1單位元n年定期期首付生存年金的精算現(xiàn)值。 符號 -(x)的每年1單位元n年定期期末付生存年金的精算現(xiàn)值。,期首付現(xiàn)值隨機(jī)變量 期首付精算現(xiàn)值 類似地,與 的關(guān)系：,延期生存年金 定義：n年延期生存年金是從計(jì)算時(shí)點(diǎn)起延遲n年開始收付的生存年金。 -(x)的n年延期每年1單位元首付終身生存年金的精算現(xiàn)值 -(x)的n年延期每年1單位元末付終身生存年金,精算現(xiàn)值 關(guān)系式,類似的有,延期定期生存年金,-(x)的n年延期m年定期每年1單位元首付生存年金的精算現(xiàn)值，是從x+n到x+n+m的生存年金。 -(x)的n年延期m年定期每年1單位元末付生存年金,現(xiàn)值隨機(jī)變量 精算現(xiàn)值,常見險(xiǎn)種的生存年金現(xiàn)值總結(jié),常見險(xiǎn)種的生存年金現(xiàn)值總結(jié),等額年金計(jì)算基數(shù)公式,例6.6（116面）對于(30)的從60歲起每年6000元的生存年金，預(yù)定利率為6%，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費(fèi),例6.7（116面）假設(shè)30歲開始購買從60歲起的生存年金保險(xiǎn)，契約規(guī)定，在被保險(xiǎn)人6069歲時(shí)每年的給付額為6000元，7079歲時(shí)每年的給付額為7000元，80歲以后每年給付額為8000元，在預(yù)定利率為6%下，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費(fèi),例6.8（117面）某30歲的人投保養(yǎng)老年金保險(xiǎn)，保險(xiǎn)契約規(guī)定，如果被保險(xiǎn)人存活到60歲，則確定給付10年年金；若被保險(xiǎn)人在6069歲間死亡，有其知指定的收益人繼續(xù)領(lǐng)取，直到領(lǐng)滿10年為止；如果被保險(xiǎn)人在70歲仍然存活，則從70歲起一生存為條件得到年金。如果年金每年支付一次，一次支付6000元，預(yù)定利率為6%，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費(fèi),例6.9（117面）某人在30歲時(shí)購買了從60歲起每年給付10000元的生存年金，以后每年給付額以4%的比例增長，在利率4%時(shí)，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）求保單的躉交凈保費(fèi),練習(xí),已知 假定91歲存活給付5，92歲存活給付10，求：該生存年金在90歲的凈保費(fèi),解：,連續(xù)生存年金,定義：以生存為條件的連續(xù)支付年金。 實(shí)際中得年金都是離散年金，當(dāng)支付間隔足夠短時(shí)，可以用連續(xù)年金近似。,終身生存年金,符號： 現(xiàn)值隨機(jī)變量,c.精算現(xiàn)值,d.關(guān)系式 (i) (ii) 證明：,（iii）,定期生存年金,a.符號： b現(xiàn)值隨機(jī)變量 c.精算現(xiàn)值,延期生存年金,a.符號： b現(xiàn)值隨機(jī)變量,c.精算現(xiàn)值 d.關(guān)系式,延期定期生存年金,a.符號： b現(xiàn)值隨機(jī)變量,c.精算現(xiàn)值 d.關(guān)系式,例：設(shè)死亡力 ，利息力 ，求（1）終身生存年金的精算現(xiàn)值 ，（2）終身生存年金現(xiàn)值 的標(biāo)準(zhǔn)差，（3）,年付次生存年金的精算現(xiàn)值,1符號 ：（x）的每年給付1元，一年給付m此的期首付終身生存年金 2.現(xiàn)值,3.計(jì)算 無法從生命表直接獲得，只能做近似計(jì)算。,在死亡均勻分布假設(shè)下 則 令 則,很小時(shí),同理可推導(dǎo)如下關(guān)系式 (x)的n年延期每年單位元，1年m次收付的期首期末付終身生存年金 (x)的n年定期1年m次收付的期首期末付生存年金,例6.10.(30)買得從60歲起每年6000元的生存年金，每月支付一次，求躉交凈保費(fèi)的近似值。（在死亡力均勻分布假設(shè)）,例：（x）：30歲，60歲起每月支付500元的生存年金，在60前死亡，在死亡末給付1000元，求躉交 凈保費(fèi)。,練習(xí)：(x):45歲，每月領(lǐng)取800元的期初付25年定期生存年金的精算現(xiàn)值（i=6%）在死亡均勻分布條件下的近似值。 練習(xí)：i=6%,在死亡均勻分布假設(shè)條件下，計(jì)算60歲起退休者每月領(lǐng)取1000元的期初終身生存年金的精算現(xiàn)值。,變額生存年金,一般變額生存年金 ：(x)的n年定期生存年金。 若一年給付m次，期首付 若一年給付m次，期末付,等差遞增生存年金 終身首付標(biāo)準(zhǔn)遞增年金 終身末付標(biāo)準(zhǔn)遞增年金 期首付n年定期標(biāo)準(zhǔn)遞增年金 期末付n年定期標(biāo)準(zhǔn)遞增年金,等差遞減生存年金,期首付n年定期標(biāo)準(zhǔn)遞減年金 期末付n年定期標(biāo)準(zhǔn)遞減年金,比例變額生存年金,定義：首付額等比例遞增，如某些給付確定型養(yǎng)老金計(jì)劃和社會養(yǎng)老保險(xiǎn)，期給付額在一個(gè)基礎(chǔ)水平上按一個(gè)規(guī)定的比例增長，這個(gè)規(guī)定的比例有時(shí)是價(jià)格指數(shù)或社會平均工資增長指數(shù)。,(x)的n年定期期首付生存年金,生存年金的遞推公式,上式簡單變形可得到：,6.3 均衡凈保費(fèi),純保費(fèi)計(jì)算的歷史發(fā)展 自然保費(fèi)：根據(jù)被保險(xiǎn)人的出險(xiǎn)概率和保險(xiǎn)金額計(jì)算保費(fèi) 均衡純保費(fèi)：把自然保費(fèi)在長期內(nèi)均衡，平均化，在保費(fèi)繳付期內(nèi)每隔一定時(shí)期繳付相等 數(shù)額的保險(xiǎn)費(fèi),凈均衡計(jì)算原理 平衡原理：以預(yù)定年利率和預(yù)定死亡率為基礎(chǔ)，根據(jù)未來給付保險(xiǎn)金額，使得未來給付保險(xiǎn)金額現(xiàn)值的期望值等于繳納保費(fèi)的精算現(xiàn)值。 由該原理，均衡保費(fèi)的交付以被保險(xiǎn)人存活為條件，實(shí)際上是個(gè)生存年金，設(shè)保險(xiǎn)金的現(xiàn)值為A，每次凈保費(fèi)為P，每次一單位元的純生存年金為 ，則,幾類壽險(xiǎn)的年繳保費(fèi),終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi) (x)的死亡年末賠付1單位元的終身壽險(xiǎn)，保費(fèi)每年1次終身繳付，年繳付額記為,(x)的死亡時(shí)刻賠付1單位元的終身壽險(xiǎn)，保費(fèi)每年1次終身繳付，年繳付額記為,(x)的死亡年末賠付1單位元的終身壽險(xiǎn)，保費(fèi)每年1次n年繳清，年繳付額記為,(x)的死亡時(shí)刻賠付1單位元的終身壽險(xiǎn)，保費(fèi)每年1次n年繳清，年繳付額記為,定期壽險(xiǎn)年繳凈保費(fèi) (x)的死亡年末賠付1單位元的n年定期壽險(xiǎn)，保費(fèi)每年1次t年繳清,年繳付額記為,(x)的死亡時(shí)刻賠付1單位元的n年定期壽險(xiǎn)，保費(fèi)每年1次t年繳清,年繳付額記為,兩全保險(xiǎn)年繳凈保費(fèi) (x)的死亡年末賠付1單位元的n年兩全保險(xiǎn)，保費(fèi)每年1次t年繳清,年繳付額記為,(x)的死亡時(shí)刻賠付1單位元的n年兩全保險(xiǎn)，保費(fèi)每年1次t年繳清,年繳付額記為,延期年金年繳凈保費(fèi) （x）的n年延期期首付生存年金，保費(fèi)每年1次t年繳清,年繳付額記為,例1：設(shè) ，其中 ，求,例：（x）:30歲簽發(fā)了一份死亡年末賠付終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為20000元，求： （1）普通終身壽險(xiǎn)的年繳純保費(fèi) （2）20年限期繳費(fèi)終身壽險(xiǎn)的年繳純保費(fèi) （3）65歲繳清終身壽險(xiǎn)的年繳純保費(fèi),練習(xí)：設(shè)年齡為25歲的人，買15年定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1000元，求年繳純保費(fèi)。 練習(xí)：（x）:25歲，購買保險(xiǎn)金額為1000元的半連續(xù)式壽險(xiǎn)保單，i=6%，計(jì)算（1）普通終身壽險(xiǎn)，（2）35歲定期壽險(xiǎn)，（3）35年兩全保險(xiǎn)，（4）35年限期繳費(fèi)終身壽險(xiǎn)。,例6.13 證明 證： 經(jīng)濟(jì)含義：(x)歲時(shí)的1元等于從x歲開始每年初的終身生存年金，也等于(x)存活年每年初1元預(yù)付利息d和(x)死亡年年末的1元給付現(xiàn)值之和。（x）死亡年末的1元給付又等于每年初 的生存年金，這樣，在每年初的 等于每年初的 。,（2） 代入(1)即得。 經(jīng)濟(jì)含義：假設(shè)一個(gè)x歲的人借了躉交凈保費(fèi) 購買1元終身壽險(xiǎn)，若在他的有生之年每年初還 ，在死亡年末從1元保險(xiǎn)金中歸還 ，則正好還清 。這相當(dāng)于對(x)每年繳 的保費(fèi)獲得在死亡年末的 的保險(xiǎn)金，因此1元保險(xiǎn)金的每年保費(fèi)為 即,常見險(xiǎn)種的完全離散凈均衡保費(fèi)總結(jié),完全連續(xù)年繳凈均衡保費(fèi)的厘定 （以終身人壽保險(xiǎn)為例）,條件：（x）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)。（給付連續(xù)，繳費(fèi)也連續(xù)） 厘定過程：,常見險(xiǎn)種的完全連續(xù)凈均衡保費(fèi)總結(jié),6.3.5節(jié) 一年多次繳費(fèi)的凈保費(fèi),符號 一年m次繳費(fèi)各類壽險(xiǎn)年繳凈保費(fèi) 見表6-1（130面），將前面各種一年1次繳費(fèi)壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)公式中的 改為,延期生存年金的均衡保費(fèi) 年金支付在期首的終身生存年金，延期n年，年金現(xiàn)值 支付方式：n年繳清，每年m次（繳費(fèi)不延期） 則,年金支付在期末的終身生存年金，延期n年，年金現(xiàn)值 支付方式：n年繳清，每年m次（繳費(fèi)不延期） 則,的分析 一年分m次繳費(fèi)，平均繳費(fèi)時(shí)間晚于年初繳費(fèi)，使保險(xiǎn)人得到保費(fèi)利息減少；一年分m次繳費(fèi)，被保險(xiǎn)人死后一年內(nèi)其他時(shí)間不再繳費(fèi)，平均來說少于年初繳付方式下的保費(fèi)，綜上為得到相同的保險(xiǎn)金額，應(yīng)有,例：(50)買了一份保險(xiǎn)金額為10000元的20年普通兩全壽險(xiǎn)的保單，每年真是繳付保費(fèi)兩次，i=6%, 在死亡均勻分布假設(shè)下計(jì)算全離散和半連續(xù)方式下的年繳純保費(fèi)。,例2.（40）簽發(fā)一張保險(xiǎn)金額為5000元的全離散式25年的定期壽險(xiǎn)，在死亡均勻分布假設(shè)下計(jì)算（1）普通年繳純保費(fèi)；（2）季繳純保費(fèi); (3)月繳純保費(fèi),例3. (20)歲的人，購買保險(xiǎn)金額為50000元的保單，i=6%，在死亡均勻分布假設(shè)下計(jì)算（1）全離散式普通終身壽險(xiǎn)，（2）半連續(xù)式65歲繳清的終身壽險(xiǎn)，（3）全離散式65歲滿清的普通兩全保險(xiǎn)的月繳純保費(fèi),6.3.6節(jié) 比例凈保費(fèi),定義：對一定時(shí)期繳付一次保費(fèi)的期繳保費(fèi)保單，投保人會認(rèn)為期初的繳費(fèi)應(yīng)該為接下來的一期提供擔(dān)保，如果在期初繳費(fèi)后不久被保險(xiǎn)人出險(xiǎn)，保險(xiǎn)人不僅應(yīng)按保險(xiǎn)合同實(shí)施賠付，還應(yīng)該按比例退還從出險(xiǎn)到下次預(yù)計(jì)繳費(fèi)期間的保費(fèi)部分。實(shí)踐中有的保單規(guī)定在保險(xiǎn)賠付時(shí)退還從死亡到下次預(yù)計(jì)繳費(fèi)期間的凈保費(fèi)。,如一年 兩次保費(fèi)的比例凈保費(fèi),符號：（以終身壽險(xiǎn)為例） （x）的比例保費(fèi)方式的終身繳付的1元死亡年末賠付終身壽險(xiǎn)的保費(fèi) ：年繳保費(fèi)，每次繳付,比例保費(fèi)的估計(jì) 保費(fèi)的退還是在死亡年末，一年分為了m個(gè)等份，在1個(gè)小等份內(nèi)，用X表示某個(gè)等分區(qū)間內(nèi)的死亡時(shí)間，它在 上均勻分布，在一個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)交了保費(fèi) ，則在死亡年末應(yīng)退還 的保費(fèi)。則死亡年末退還的平均保費(fèi)為：,則死亡賠付同時(shí)退還 的現(xiàn)值為 退還發(fā)生在年末，同死亡賠付一起進(jìn)行，就相當(dāng)于賠付額為 的終身壽險(xiǎn)。,比例期初年金：是在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)退還從死亡到下次預(yù)計(jì)年金收付期間的部分收付的年金 上式左邊是每年支付m次，一年支付總額為1單位元期首付n年定期年金現(xiàn)值，右邊是n年連續(xù)支付年支付額為,記 ：（x）的每年1單位元，1年支付m次的期首付m次的期首付比例年金現(xiàn)值,例：求,比例保費(fèi)的計(jì)算 ：死亡時(shí)賠付的n年定期兩全保險(xiǎn)，保費(fèi)在h年內(nèi)定期比例繳費(fèi),6.3.7節(jié) 退還保費(fèi)保單的凈保費(fèi),在保險(xiǎn)實(shí)踐中，有些保單規(guī)定在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)退還過去已繳凈保費(fèi)的累積，這種退還還通常有兩種不同的規(guī)定，一種是不計(jì)利息退還過去已繳凈保費(fèi)的累積，一種是以規(guī)定的利息累積退還過去已繳凈保費(fèi)部分。,例6.15（135面）對(x)的n年定期壽險(xiǎn)，如果被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡，除了賠付10000元外，還退還過去已繳凈保費(fèi)的累積。假設(shè)保險(xiǎn)賠付發(fā)生在死亡年年末，保費(fèi)每年繳費(fèi)一次，n年付清，計(jì)算下面情況下的年繳均衡凈保費(fèi)。 （1）退還的保費(fèi)部分不計(jì)利息 （2）退還的保費(fèi)部分以不同于保單預(yù)定利率i的利率j復(fù)利累積 （3）退還的保費(fèi)部分以保單定價(jià)預(yù)定利率復(fù)利累積。,例6.16 對(x)的從x+n歲起每年1單位元生存年金，保險(xiǎn)費(fèi)在n年內(nèi)每年繳付一次，如果被保險(xiǎn)人在n年內(nèi)死亡，則退還過去已繳凈保費(fèi)的累積，計(jì)算年繳凈保費(fèi)。,毛保費(fèi)構(gòu)成,凈保費(fèi),保險(xiǎn)費(fèi)用,保險(xiǎn)費(fèi)用簡介,保險(xiǎn)費(fèi)用的定義 保險(xiǎn)公司支出的除了保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的保險(xiǎn)金給付外，其它的維持保險(xiǎn)公司正常運(yùn)作的所有費(fèi)用支出統(tǒng)稱為經(jīng)營費(fèi)用。這些費(fèi)用必須由保費(fèi)和投資收益來彌補(bǔ)。 保險(xiǎn)費(fèi)用的范圍： 稅金、許可證、保險(xiǎn)產(chǎn)品生產(chǎn)費(fèi)用、保單銷售服務(wù)費(fèi)用、合同成立后的維持費(fèi)、投資費(fèi)用等,保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)費(fèi)用開支的一種分類方案,毛保費(fèi),毛保費(fèi)的定義 保險(xiǎn)公司實(shí)際收取的保費(fèi)為用于保險(xiǎn)金給付的純保費(fèi)和用語各種經(jīng)營費(fèi)用開支的附加費(fèi)用之和，即毛保費(fèi)，簡記為G。 毛保費(fèi)的厘定原則 基本原則：精算等價(jià)原則 毛保費(fèi)精算現(xiàn)值=純保費(fèi)精算現(xiàn)值+附加費(fèi)用精算現(xiàn)值 =各種給付的精算現(xiàn)值+各種費(fèi)用支出的 精算現(xiàn)值,注意事項(xiàng),在確定附加費(fèi)用時(shí)，一般只考慮保險(xiǎn)費(fèi)用，而以投資費(fèi)用沖銷投資收益，體現(xiàn)在保費(fèi)計(jì)算中則適當(dāng)降低預(yù)定收益率，即預(yù)定利率。 附加費(fèi)用中要考慮通貨膨脹或通貨緊縮的趨勢。,例2,（30）購買了保險(xiǎn)金額為2萬元的半連續(xù)型終身壽險(xiǎn)保單，按下表所列各項(xiàng)費(fèi)用，根據(jù)精算等價(jià)原理計(jì)算年繳純保費(fèi)和年繳毛保費(fèi)。（i=6%） 已知,未來保險(xiǎn)費(fèi)用的分配,答案,保單費(fèi)用,定義：有一部分附加費(fèi)用只與保單數(shù)目有關(guān)，與保險(xiǎn)金額或保險(xiǎn)費(fèi)無關(guān)，這部分費(fèi)用稱為保單費(fèi)用，如準(zhǔn)備新保單、建立會計(jì)記錄、郵寄保費(fèi)通知的費(fèi)用等。 保險(xiǎn)實(shí)務(wù)一般規(guī)定： 壽險(xiǎn)費(fèi)率一般是指每千元保額的保費(fèi)。,毛保費(fèi)分析,毛保費(fèi)可分為三部分： 第一部分：跟保險(xiǎn)金額有關(guān)的費(fèi)用，如承保費(fèi)用等 第二部分：跟保費(fèi)數(shù)額有關(guān)的費(fèi)用。如代理人傭金、保險(xiǎn)費(fèi)稅金等 第三部分：只與保單數(shù)目有關(guān)的費(fèi)用（保單費(fèi)用）。如準(zhǔn)備新保單、建立會計(jì)記錄、郵寄保費(fèi)通知單等。,毛保費(fèi)構(gòu)成公式,解釋,G(b)：保險(xiǎn)金額為b元的毛保費(fèi) a：保險(xiǎn)成本中與保險(xiǎn)金額相關(guān)的部分，其中純保費(fèi)是它的主要部分 c：每份保單分?jǐn)偟馁M(fèi)用，即單位保單費(fèi)用。 f：與毛保費(fèi)數(shù)額相關(guān)的費(fèi)用在毛保費(fèi)中所占比例。,費(fèi)率函數(shù),費(fèi)率函數(shù)的定義 ：,第七章 責(zé)任準(zhǔn)備金,責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因,0,t,未來 責(zé)任,未來 收入,w,未來 責(zé)任,未來 收入,差值,責(zé)任準(zhǔn)備金,責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生原因,凈保費(fèi)厘定原則：凈均衡原則，保證了以保單發(fā)行日為參照點(diǎn)保險(xiǎn)公司的未來保費(fèi)收入現(xiàn)時(shí)值和未來保險(xiǎn)賠付的現(xiàn)時(shí)值相等。 但除了保單發(fā)行日以外，以保障期內(nèi)任意某個(gè)時(shí)刻為參照點(diǎn)，未來收支的現(xiàn)時(shí)值都有可能不平衡。,壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的長期性和不確定性要求保險(xiǎn)公司為未來的給付責(zé)任積累起足夠的資產(chǎn)，所以壽險(xiǎn)負(fù)債評估是精算部最重要的工作之一。其中責(zé)任準(zhǔn)備金的評估是該項(xiàng)工作的核心 責(zé)任準(zhǔn)備金的作用包括 保障保單所有人的合理利益 保證壽險(xiǎn)公司的償付能力 保證合理的釋放壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的利潤,責(zé)任準(zhǔn)備金的作用（1）,責(zé)任準(zhǔn)備金是壽險(xiǎn)公司最為重要的負(fù)債，一般占所有負(fù)債的80到90，和總資產(chǎn)的比例也可能超過80。 債權(quán)給出了債權(quán)人對債務(wù)人的資產(chǎn)的索取權(quán)，具體到壽險(xiǎn)公司，可以這么說：壽險(xiǎn)公司管理和積累起來的資產(chǎn)是一塊蛋糕，而某個(gè)時(shí)刻的責(zé)任準(zhǔn)備金說明的是在這個(gè)時(shí)刻有效保單應(yīng)該分到的蛋糕大小。 對個(gè)別保單來說，就是評估的責(zé)任準(zhǔn)備金，如果用保單組的概念來描述，就是保單組的責(zé)任準(zhǔn)備金總和。,責(zé)任準(zhǔn)備金的作用（2）,評估責(zé)任準(zhǔn)備金的主要目的是保證保單所有人的利益，監(jiān)管機(jī)構(gòu)原則上應(yīng)該代表保單所有人的利益，所以會要求保險(xiǎn)公司持有和責(zé)任準(zhǔn)備金相當(dāng)?shù)馁Y產(chǎn)以保證償付能力。 責(zé)任準(zhǔn)備金是在清算假設(shè)下進(jìn)行的評估，要理解這句話，可以考慮下述問題：如果在這個(gè)時(shí)刻保險(xiǎn)公司破產(chǎn)，那么有效保單應(yīng)該得到多少利益？這個(gè)問題沒有唯一正確的答案，責(zé)任準(zhǔn)備金給出的是比較合理的答案。,對責(zé)任準(zhǔn)備金評估工作的監(jiān)管,責(zé)任準(zhǔn)備金的過去法計(jì)算公式可以對此作出合理解釋，從公式可以看到，責(zé)任準(zhǔn)備金的評估結(jié)果依賴于所使用的評估方法和評估假設(shè) 監(jiān)管最嚴(yán)格的國家，監(jiān)管機(jī)構(gòu)會規(guī)定適用的準(zhǔn)備金評估方法和評估假設(shè)并要求保險(xiǎn)公司遵照執(zhí)行 在監(jiān)管較松的國家，會規(guī)定確定評估假設(shè)的程序和方法，允許精算師在一定范圍內(nèi)選擇他自己認(rèn)為合適的評估假設(shè)。,凈責(zé)任準(zhǔn)備金的定義,定義： 保險(xiǎn)公司在任意時(shí)刻對每個(gè)仍在保障范圍內(nèi)的被保險(xiǎn)人的未盡責(zé)任現(xiàn)時(shí)值，就稱為凈責(zé)任準(zhǔn)備金。 或者說是每個(gè)現(xiàn)存被保險(xiǎn)人將來的受益現(xiàn)值，所以也稱為受益責(zé)任準(zhǔn)備金。 實(shí)質(zhì) 責(zé)任準(zhǔn)備金是現(xiàn)存被保險(xiǎn)人未來受益與未來繳費(fèi)現(xiàn)時(shí)值之差,例1,設(shè)保險(xiǎn)公司發(fā)行某保單，被保險(xiǎn)人的整值剩余壽命K的概率函數(shù)為 該保單在被保險(xiǎn)人死亡年末給付1，年利率6%。根據(jù)凈均衡保費(fèi)原則確定： （1）在躉繳保費(fèi)場合，確定在各年期末責(zé)任準(zhǔn)備金。 （2）在凈均衡保費(fèi)場合，確定在各年期末責(zé)任準(zhǔn)備金。,例1答案,躉繳保費(fèi)場合 期繳保費(fèi)場合,凈責(zé)任準(zhǔn)備金的確定,1 未來法：從未來看，責(zé)任準(zhǔn)備金是未來的凈責(zé)任=未來給付現(xiàn)金未來凈保費(fèi)現(xiàn)值 2 過去法：從過去看，過去凈保費(fèi)收入大于賠付支出的部分=過去的凈保費(fèi)收入-過去給付的保險(xiǎn)金終值,責(zé)任準(zhǔn)備金的其它確定方法： 保費(fèi)差公式（premium-difference formula），責(zé)任準(zhǔn)備金等于剩余繳費(fèi)期內(nèi)保費(fèi)差的精算現(xiàn)值。 繳清保險(xiǎn)公式（paid-up insurance formula）：責(zé)任準(zhǔn)備金等于部分受益的精算現(xiàn)值。,7.2.1將來法,前瞻虧損的期望即該時(shí)刻的凈責(zé)任準(zhǔn)備金 現(xiàn)值隨機(jī)變量： =時(shí)刻t未來給付現(xiàn)值變量未來凈保費(fèi)現(xiàn)值變量,終身壽險(xiǎn)給付準(zhǔn)備金：,設(shè)(x+k)的整值余壽為J，J的概率密度為， 若保費(fèi)是每年一次終身繳付，則,責(zé)任準(zhǔn)備金 將 代入得,將 代入得 將 代入得,終身壽險(xiǎn)，死亡年末給付1單位元，保險(xiǎn)費(fèi)在h年內(nèi)繳付,終身壽險(xiǎn)，死亡年末給付1單位元，保險(xiǎn)費(fèi)一年繳付m次，終身繳付,終身壽險(xiǎn)，死亡年末給付1單位元，保險(xiǎn)費(fèi)一年繳付m次, h年限期繳費(fèi),終身壽險(xiǎn)，死亡時(shí)賠付，每年一次的終身繳費(fèi),終身壽險(xiǎn)，死亡時(shí)賠付，保費(fèi)每年一次，h年限期繳清,定期壽險(xiǎn),兩全保險(xiǎn),延期年金給付準(zhǔn)備金,保費(fèi)在延期的時(shí)間內(nèi)交完，如養(yǎng)老保險(xiǎn)。,例7.1（146面）某人在20歲時(shí)投保了50000元40年兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)在40年內(nèi)均衡繳付，預(yù)定利率為6%，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）的資料，求投保第10年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。,7.2.2 過去法,過去凈保費(fèi)終值-過去賠付金終值。以終身壽險(xiǎn)為例 1 對(x)的1單位元死亡年末賠付終身壽險(xiǎn)，賠付方式為每年一次，終身繳付。 第k年末的過去凈保費(fèi)終值為 第k年末的過去的賠付金在投保時(shí)的終值為 則第k年末的給付準(zhǔn)備金為,2. (x)的死亡年末賠付1單位的終身壽險(xiǎn)，繳費(fèi)改為h年內(nèi)定期繳付 當(dāng) 時(shí)，在這些時(shí)間點(diǎn)上不再有保費(fèi)收入，則保費(fèi)累積值為,當(dāng) 時(shí)有保費(fèi)收入，又有保險(xiǎn)金支出，計(jì)算公式同終身繳付的相同 類似可得其他情形下過去法給付準(zhǔn)備金的計(jì)算公式,n年繳付的n年兩全保險(xiǎn),k=n時(shí)沒有保費(fèi)收入，而在k=n時(shí)總有1元的保險(xiǎn)賠付 注：,(x)的1單位元n年延期生存年金,保險(xiǎn)費(fèi)在n年內(nèi)定期繳付，繳費(fèi)時(shí)期與年金生效時(shí)期不一致,實(shí)際中根據(jù)具體問題進(jìn)行選擇，已交清保費(fèi)最好用將來法，還未開始繳付的時(shí)期用過去法。,例7.2 某人30歲投保了從60歲起每月1000元的生存年金，保費(fèi)從投保起在30年內(nèi)每月繳付一次，預(yù)定利率6%，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)也經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993），按過去法計(jì)算在投保第10年末和第40年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。,7.4節(jié) 會計(jì)年度末給付準(zhǔn)備金,一相關(guān)定義 保險(xiǎn)年度：是從保險(xiǎn)契約成立日為起點(diǎn)的年度，即從契約成立日到下年同一日為一年。 會計(jì)年度：又稱業(yè)務(wù)年度，等同于日歷年度，會計(jì)年度末的給付準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司在年度決算日的累積給付準(zhǔn)備金，它可以由保險(xiǎn)年度末給付準(zhǔn)備金推算出來。 保單在某保單年度的期末責(zé)任準(zhǔn)備金：該保單年度終了時(shí)，次年度保費(fèi)尚未交付時(shí)的準(zhǔn)備金。 保單在某保單年度的期初責(zé)任準(zhǔn)備金：該保單年度開始時(shí)，本保單年度的保險(xiǎn)費(fèi)已繳付的責(zé)任準(zhǔn)備金。,二會計(jì)年度準(zhǔn)本金的計(jì)算,經(jīng)過一系列公式變形可得到會計(jì)年度末給付準(zhǔn)本金的計(jì)算公式,7.5節(jié) 修正的凈保費(fèi)給付準(zhǔn)備金的一般方法,均衡保費(fèi)每次繳付的保費(fèi)相同，但保險(xiǎn)公司的利潤，費(fèi)用支出，補(bǔ)償保險(xiǎn)給付的資金數(shù)量上與金額到達(dá)率在時(shí)間上不一致。均衡凈保費(fèi)給付準(zhǔn)備金是在不考慮費(fèi)用支出和費(fèi)用結(jié)果的情況下對準(zhǔn)備金的估計(jì)，所以保險(xiǎn)公司會從每一期保費(fèi)中提取一部分作為準(zhǔn)備金留下的保費(fèi)用于費(fèi)用支出以及利潤。,問題：費(fèi)用支出不是均均勻的，保單第一年需要大量的費(fèi)用，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了均衡凈保費(fèi)的基礎(chǔ)上附加保費(fèi)部分,解決方案：費(fèi)用支出占用一部分凈保費(fèi)，少提給付準(zhǔn)備金，再從以后各年收取的營業(yè)費(fèi)用中逐年歸還，以補(bǔ)足第一年應(yīng)提取的準(zhǔn)備金數(shù)額，見圖,修正責(zé)任準(zhǔn)備金原理階梯保費(fèi)值,原始等額凈保費(fèi),修正后階梯保費(fèi),修正前等額保費(fèi)：P,P,，P,修正后階梯保費(fèi)：， P,由均衡凈保費(fèi)的價(jià)值等于調(diào)整后的實(shí)際凈保費(fèi)的價(jià)值（收支平衡原理）：,由調(diào)整后的凈保費(fèi)，采用與均衡凈保費(fèi)給付準(zhǔn)備金相同的計(jì)算方法，計(jì)算修正的給付準(zhǔn)備。 由將來法，對m年兩全保險(xiǎn)，繳費(fèi)期為n年，凈保費(fèi)調(diào)整期為k年，t年末的修正給付準(zhǔn)備金如下：,tk時(shí)進(jìn)入了費(fèi)調(diào)整期，t年末的給付準(zhǔn)備金就是均衡凈保費(fèi)的給付準(zhǔn)備金。,完全初年修正責(zé)任準(zhǔn)備金,Full preliminary term(FTP) 條件：第一年的修正凈保費(fèi)為第一年的死亡受益現(xiàn)值 則有,美國保險(xiǎn)監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn),產(chǎn)生背景：FPT適用于低費(fèi)率保單，如果是高費(fèi)率保單，第一年沖銷的費(fèi)用就過多了。 美國保險(xiǎn)監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)： 如果是低保費(fèi)保單： 采用FPT調(diào)節(jié) 如果是高保費(fèi)保單： ，則,加拿大修正制,條件： ，其中 為第一年費(fèi)用按均衡保費(fèi)衡量的額外補(bǔ)貼，有 其中： a150凈均衡保費(fèi) b新契約費(fèi) c仍然提供的管理費(fèi)用及保單持有人分紅時(shí)在第二年及以后年中可收回費(fèi)用的精算現(xiàn)值。,現(xiàn)金價(jià)值,現(xiàn)金價(jià)值（Cash Value）的概念 現(xiàn)金價(jià)值的作用 退保 分紅 貸款,資產(chǎn)負(fù)債理論,什么是資產(chǎn)負(fù)債匹配 資產(chǎn)主導(dǎo)資產(chǎn)負(fù)債管理 負(fù)債主導(dǎo)資產(chǎn)負(fù)債管理,資產(chǎn)份額的原理,期交保費(fèi)和躉交保費(fèi)產(chǎn)品在各個(gè)保單年度中的保險(xiǎn)基金的變化過程 年初 交納保費(fèi)、扣除費(fèi)用 年中 保險(xiǎn)人投資保險(xiǎn)基金以獲利 年末 退保保單支付退保金、死亡保單支付保險(xiǎn)金、滿期則支付滿期給付 如此周而復(fù)始，直至所有保單失效,資產(chǎn)份額原理（圖示）,保費(fèi),資產(chǎn)份額假設(shè),影響資產(chǎn)份額的因素包括 死亡率 退保率 費(fèi)用 投資收益率,資產(chǎn)份額的數(shù)據(jù)來源,死亡率生命表 退保率行業(yè)數(shù)據(jù)或公司經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù) 費(fèi)用公司的營業(yè)預(yù)算或經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù) 投資收益率投資部門的研究結(jié)果,資產(chǎn)份額公式（團(tuán)體型）,團(tuán)體型公式更易于理解,，,，,利源分析的公式,通過比較差異和合并同類項(xiàng)，得到利差分解公式,利源分析的四差,死差損益 因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)死亡率不同于假設(shè)死亡率而造成的利潤差異；增加利潤稱為死差益，否則稱為死差損 費(fèi)差損益 因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)費(fèi)用率不同于假設(shè)費(fèi)用率造成的利潤差異；增加利潤稱為費(fèi)差益，否則稱為費(fèi)差損 利差損益 因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)投資收益率不同于假設(shè)收益率造成的利潤差異；增加利潤稱為利差益，否則稱為利差損 退保差損失,利源分析的公式（6）,(1)中計(jì)算的是因?yàn)橥顿Y收益率的差異產(chǎn)生的利潤差異，簡稱利差損益；如果這項(xiàng)小于0，則認(rèn)為出現(xiàn)利差損，反之出現(xiàn)利差益； (2)中計(jì)算的是因?yàn)橘M(fèi)用的差異，同樣有費(fèi)差損和費(fèi)差益； (3)中計(jì)算的是因?yàn)橥吮Ｂ什町愒斐傻睦麧櫜町?，一般稱為退保損益； (4)中計(jì)算的是因?yàn)樗劳雎什町愒斐傻睦麧櫜町?，同樣會出現(xiàn)死差損和死差益。,多重生命函數(shù)的定義及作用,多元生命函數(shù)的定義：涉及多個(gè)生命剩余壽命的函數(shù)。 作用 養(yǎng)老金給付場合 合伙人聯(lián)保場合 遺產(chǎn)稅計(jì)算場合,連生狀