函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)考點(diǎn)：1二次函數(shù)掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會求二次函數(shù)的最值(值域)、單調(diào)區(qū)間2冪函數(shù)(1)了解冪函數(shù)的概念(2)結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，y，yx的圖象，了解它們的變化情況主干知識：知識點(diǎn)一五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(，0減，(0，)增增增(，0)和(0，)減公共點(diǎn)(1,1)易誤提醒形如yx(R)才是冪函數(shù)，如y3x不是冪函數(shù)自測練習(xí)1已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過點(diǎn)，則k()A. B1 C. D2解析：因為函數(shù)f(x)kx是冪函數(shù)，所以k1，又函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)，所以，解得，則k.答案：C知識點(diǎn)二二次函數(shù)1二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)(3)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>0a<0圖象定義域xR值域單調(diào)性在上遞減，在上遞增在上遞增，在上遞減奇偶性b0時為偶函數(shù)，b0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)圖象特點(diǎn)對稱軸：x；頂點(diǎn)：易誤提醒研究函數(shù)f(x)ax2bxc的性質(zhì)，易忽視a的取值情況而盲目認(rèn)為f(x)為二次函數(shù)必備方法1函數(shù)yf(x)對稱軸的判斷方法(1)對于二次函數(shù)yf(x)，如果定義域內(nèi)有不同兩點(diǎn)x1，x2且f(x1)f(x2)，那么函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x對稱(2)二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要條件是函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱(a為常數(shù))2與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立兩個條件(1)ax2bxc>0，a0恒成立的充要條件是(2)ax2bxc<0，a0恒成立的充要條件是自測練習(xí)2.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么此函數(shù)的解析式可能是()Ayx22x1Byx22x1Cyx22x1Dyx22x1解析：設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)ax2bxc(a0)，由題圖得：a<0，b<0，c>0.選C.答案：C3若二次函數(shù)f(x)ax24xc的值域為0，)，則a，c滿足的條件是_解析：由已知得答案：a>0，ac44已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解：因為函數(shù)f(x)4x2mx5的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以2，即m16.答案：(，16考點(diǎn)練習(xí)：考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)|1(2015濟(jì)南二模)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)3f(2)，則f的值為()A. B. C. D.解析：設(shè)f(x)xa，又f(4)3f(2)，4a32a，解得alog23，flog23.答案：A2.若四個冪函數(shù)yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()Ad>c>b>aBa>b>c>dCd>c>a>bDa>b>d>c解析：冪函數(shù)a2，b，c，d1的圖象，正好和題目所給的形式相符合，在第一象限內(nèi)，x1的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)增大，所以a>b>c>d.故選B.答案：B3(2015安慶三模)若(a1)<(32a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式(a1)<(32a)等價于a1>32a>0或32a<a1<0或a1<0<32a.解得a<1或<a<.答案：(，1)規(guī)律與方法冪函數(shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用的三個關(guān)注點(diǎn) (1)若冪函數(shù)yx(R)是偶函數(shù)，則必為偶數(shù)當(dāng)是分?jǐn)?shù)時，一般將其先化為根式，再判斷(2)若冪函數(shù)yx在(0，)上單調(diào)遞增，則>0，若在(0，)上單調(diào)遞減，則<0.(3)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)|(1)為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成二次函數(shù)圖象的形狀(如圖所示)若對應(yīng)的兩條曲線關(guān)于y軸對稱，AEx軸，AB4 cm，最低點(diǎn)C在x軸上，高CH1 cm，BD2 cm，則右輪廓線DFE所在的二次函數(shù)的解析式為()Ay(x3)2By(x3)2Cy(x3)2 Dy(x3)2解析由題圖可知，對應(yīng)的兩條曲線關(guān)于y軸對稱，AEx軸，AB4 cm，最低點(diǎn)C在x軸上，高CH1 cm，BD2 cm，所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)的絕對值為3，即C(3,0)，因為點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，所以F(3,0)，因為點(diǎn)F是右輪廓線DFE所在的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，所以設(shè)該二次函數(shù)為ya(x3)2(a>0)，將點(diǎn)D(1,1)代入得，a，即y(x3)2，故選D.答案D(2)函數(shù)f(x)4x2mx5在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則f(1)的取值范圍是()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)>25解析函數(shù)f(x)4x2mx5的增區(qū)間為，由已知可得2m16，所以f(1)412m159m25.答案A解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時兩個注意點(diǎn)(1)拋物線的開口、對稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論；(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍1已知函數(shù)f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在區(qū)間2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)f(x)mx在2,4上單調(diào)，求m的取值范圍解：(1)f(x)ax22ax2ba(x1)22ba，若a>0，則f(x)在區(qū)間2,3上是增函數(shù)則有解得若a<0，則f(x)在區(qū)間2,3上是減函數(shù)，則有解得綜上可知，a1，b0或a1，b3.(2)由b<1知，a1，b0，則f(x)x22x2，所以g(x)x2(m2)x2.因為g(x)在區(qū)間2,4上是單調(diào)函數(shù)，所以4或2，解得m6或m2.考點(diǎn)三二次函數(shù)的綜合應(yīng)用|設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bx(a0)滿足條件：f(1x)f(1x)；函數(shù)f(x)的圖象與直線yx只有一個公共點(diǎn)(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式f(x)>2tx在t2,2時恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍解(1)由知f(x)ax2bx(a0)的對稱軸是直線x1，b2a.函數(shù)f(x)的圖象與直線yx只有一個公共點(diǎn)，方程組有且只有一個解，即ax2(b1)x0有兩個相同的實(shí)根，(b1)20，即b1，a.f(x)x2x.(2)>1，f(x)>2tx等價于f(x)>tx2，即x2x>tx2在t2,2時恒成立函數(shù)g(t)xt<0在t2,2時恒成立，即解得x<3或x>3，故實(shí)數(shù)x的取值范圍是(，3)(3，)不等式恒成立的求解方法由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其依據(jù)是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.2設(shè)函數(shù)f(x)ax22x2，對于滿足1<x<4的一切x值，都有f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：由f(x)>0，即ax22x2>0，x(1,4)，得a>在(1,4)上恒成立令g(x)22，g(x)maxg(2)，所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要a>即可.3.分類討論思想在二次函數(shù)最值中的應(yīng)用【典例】已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值思路分析參數(shù)a的值確定f(x)圖象的形狀；a0時，函數(shù)f(x)的圖象為拋物線，還要考慮開口方向和對稱軸位置解(1)當(dāng)a0時，f(x)2x在0,1上遞減，f(x)minf(1)2.(2)當(dāng)a>0時，f(x)ax22x圖象的開口方向向上，且對稱軸為x.當(dāng)1，即a1時，f(x)ax22x圖象的對稱軸在0,1內(nèi)，f(x)在上遞減，在上遞增f(x)minf.當(dāng)>1，即0<a<1時，f(x)ax22x圖象的對稱軸在0,1的右側(cè)，f(x)在0,1上遞減f(x)minf(1)a2.(3)當(dāng)a<0時，f(x)ax22x的圖象的開口方向向下，且對稱軸x<0，在y軸的左側(cè)，f(x)ax22x在0,1上遞減f(x)minf(1)a2.綜上所述，f(x)min思想點(diǎn)評(1)本題在求二次函數(shù)最值時，用到了分類討論思想，求解中既對系數(shù)a的符號進(jìn)行了討論，又對對稱軸進(jìn)行討論在分類討論時要遵循分類的原則：一是分類的標(biāo)準(zhǔn)要一致，二是分類時要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無原則的分類討論(2)在有關(guān)二次函數(shù)最值的求解中，若軸定區(qū)間動，仍應(yīng)對區(qū)間進(jìn)行分類討論跟蹤練習(xí)設(shè)函數(shù)yx22x，x2，a，若函數(shù)的最小值為g(x)，求g(x)解：函數(shù)yx22x(x1)21，對稱軸為直線x1，x1不一定在區(qū)間2，a內(nèi)，應(yīng)進(jìn)行討論當(dāng)2<a1時，函數(shù)在2，a上單調(diào)遞減，則當(dāng)xa時，y取得最小值，即ymina22a；當(dāng)a>1時，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增，則當(dāng)x1時，y取得最小值，即ymin1.綜上，g(x)練習(xí)A組考點(diǎn)能力演練1當(dāng)ab>0時，函數(shù)yax2與f(x)axb在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是下列圖象中的()解析：因為ab>0，所以，當(dāng)a<0，b<0時，函數(shù)yax2的圖象開口向下，函數(shù)f(x)axb的圖象在x，y軸上的截距均為負(fù)值，顯然D項滿足條件；而當(dāng)a>0，b>0時，函數(shù)yax2的圖象開口向上，函數(shù)f(x)axb的圖象在x軸上的截距為負(fù)值，在y軸上的截距為正值，沒有符合條件的選項，故選D.答案：D2已知函數(shù)f(x)x2xc.若f(0)>0，f(p)<0，則必有()Af(p1)>0Bf(p1)<0Cf(p1)0Df(p1)的符號不能確定解析：函數(shù)f(x)x2xc的圖象的對稱軸為直線x，又f(0)>0，f(p)<0，1<p<0，p1>0，f(p1)>0.答案：A3若冪函數(shù)y(m23m3)xm2m2的圖象不過原點(diǎn)，則m的取值是()A1m2 Bm1或m2Cm2 Dm1解析：由冪函數(shù)性質(zhì)可知m23m31，m2或m1.又冪函數(shù)圖象不過原點(diǎn)，m2m20，即1m2，m2或m1.答案：B4若函數(shù)yx23x4的定義域為0，m，值域為，則m的取值范圍是()A0,4 B.C. D.解析：二次函數(shù)圖象的對稱軸為x，且f，f(3)f(0)4，由圖得m.答案：D5(2015滄州質(zhì)檢)如果函數(shù)f(x)x2bxc對任意的x都有f(x1)f(x)，那么()Af(2)<f(0)<f(2)Bf(0)<f(2)<f(2)Cf(2)<f(0)<f(2)Df(0)<f(2)<f(2)解析：由f(1x)f(x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，又拋物線f(x)開口向上，f(0)<f(2)<f(2)答案：D6二次函數(shù)f(x)x2(2log2m)xm是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)m_.解析：利用偶函數(shù)性質(zhì)求解因為偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以0，解得m4.答案：47已知冪函數(shù)f(x)x，若f(a1)<f(102a)，則a的取值范圍是_解析：f(x)x(x>0)，易知x(0，)時為減函數(shù)，又f(a1)<f(102a)，解得3<a<5.答案：(3,5)8已知函數(shù)f(x)x22x，xa，b的值域為1,3，則ba的取值范圍是_解析：由題意知，f(x)x22x(x1)21，因為函數(shù)f(x)在a，b上的值域為1,3，所以當(dāng)a1時，1b3；當(dāng)b3時，1a1，所以ba2,4答案：2,49已知函數(shù)f(x)ax2bx1(a，b為實(shí)數(shù)，a0，xR)(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(2,1)，且方程f(x)0有且只有一個根，求f(x)的表達(dá)式；(2)在(1)的條件下，當(dāng)x1,2時，g(x)f(x)kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)因為f(2)1，即4a2b11，所以b2a.因為方程f(x)0有且只有一個根，所以b24a0.所以4a24a0，所以a1，所以b2.所以f(x)(x1)2.(2)g(x)f(x)kxx22x1kxx2(k2)x121.由g(x)的圖象知：要滿足題意，則2或1，即k6或k0，所求實(shí)數(shù)k的取值范圍為(，06，)10已知函數(shù)f(x)x22ax5(a>1)(1)若f(x)的定義域和值域均是1，a，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若f(x)在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，且對任意的x1，x21，a1，總有|f(x1)f(x2)|4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)(xa)25a2(a>1)，f(x)在1，a上是減函數(shù)又定義域和值域均為1，a即解得a2.(2)f(x)在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，a2.又xa1，a1，且(a1)aa1，f(x)maxf(1)62a，f(x)minf(a)5a2.對任意的x1，x21，a1，總有|f(x1)f(x2)|4，f(x)maxf(x)min4，得1a3.又a2，2a3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,3B組高考題型專練1(2014高考浙江卷)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)xa(x>0)，g(x)logax的圖象可能是()解析：函數(shù)yxa(x0)與ylogax(x>0)，選項A中沒有冪函數(shù)圖象，不符合；對于選項B，yxa(x0)中a>1，ylogax(x>0)中0<a<1，不符合；對于選項C，yxa(x0)中，0<a<1，ylogax(x>0)中a>1，不符合，對于選項D，yxa(x0)中0<a<1，ylogax(x>0)中，0<a<1，符合，故選D.答案：D2(2014高考北京卷)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A3.50分鐘B3.75分鐘C4.00分鐘D4.25分鐘解析：由已知得解得p0.2t21.5t22，當(dāng)t3.75時p最大，即最佳加工時間為3.75分鐘故選B.3(2013高考遼寧卷)已知函數(shù)f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.設(shè)H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的較大值，minp，q表示p，q中的較小值)記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則AB()Aa22a16 Ba22a16C16 D16解析：f(x)g(x)，即x22(a2)xa2x2(a2)xa28，即x22axa240，解得xa2或xa2.f(x)與g(x)的圖象如圖. 由圖及H1(x)的定義知H1(x)的最小值是f(a2)，H2(x)的最大值為g(a2)，ABf(a2)g(a2)(a2)22(a2)2a2(a2)22(a2)2a2816.答案：C4(2015高考福建卷)若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p>0，q>0)的兩個不同的零點(diǎn)，且a，b，2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq的值等于_解析：依題意有a，b是方程x2pxq0的兩根，則abp，abq，由p>0，q>0可知a>0，b>0.由題意可知ab(2)24q，a22b或b22a，將a22b代入ab4可解得a4，b1，此時ab5，將b22a代入ab4可解得a1，b4，此時ab5，則p5，故pq9.答案：9