3.4互斥事件學習目標重點難點1理解互斥事件、對立事件的含義，會判斷所給事件的類型2掌握互斥事件的概率加法公式并會應用3正確理解互斥事件、對立事件的關系并能正確區(qū)分、判斷.重點：正確區(qū)分互斥事件與對立事件的關系，并掌握互斥事件的加法公式并會應用難點：互斥事件概率加法公式的應用.1互斥事件在一次試驗中，不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件一般地，如果事件A1，A2，An中的任何兩個都是互斥事件，那么就說事件A1，A2，An彼此互斥設A，B為互斥事件，若事件A，B至少有1個發(fā)生，那么我們把這個事件記作AB.預習交流1如何從集合的角度理解互斥事件？提示：對互斥事件的理解，也可以從集合的角度去加以認識，如果A，B是兩個互斥事件，反映在集合上是表示A，B這兩個事件所含結果組成的集合彼此互不相交，即如果事件A與B是互斥事件，那么A與B兩事件同時發(fā)生的概率為0.2互斥事件的概率計算如果事件A，B互斥，那么事件AB發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)一般地，如果事件A1，A2，An兩兩互斥，那么P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)預習交流2某人射擊一次，擊中環(huán)數大于7的概率為0.6，擊中環(huán)數是6或7或8的概率為0.3，則該人擊中環(huán)數大于5的概率是0.60.30.9對嗎？為什么？提示：不對該人“擊中環(huán)數大于7”與“擊中環(huán)數是6或7或8”不是互斥事件，不能用互斥事件的概率加法公式求解3對立事件兩個互斥事件必有一個發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件事件A的對立事件記為.對立事件A與必有1個發(fā)生，故A是必然事件，從而P(A)P()P(A)1，故有P()1P(A)預習交流3對立事件一定是互斥事件嗎？反之是否成立？提示：對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件預習交流4(1)袋中裝有除顏色外其他均相同的紅球和黃球各3個，從中任取2個球，在下列事件中是對立事件的是_恰有1個紅球和恰有2個黃球至少有1個紅球和全是紅球至少有1個紅球和至少有1個黃球至少有1個紅球和全是黃球(2)小明、小欣兩人下棋，兩人下成和棋的概率是0.2，小欣獲勝的概率是0.5，則小欣不輸的概率是_提示：(1)(2)0.7一、互斥事件與對立事件的判斷判斷下列給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數從110各10張)中，任取1張(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”思路分析：解答本題可先看每組中兩個事件是否能同時發(fā)生，若能，則不是互斥事件，更不是對立事件；若不能同時發(fā)生，則為互斥事件，再進一步判斷二者是否必有一個發(fā)生，若是，則為對立事件；若不是，則只是互斥事件，而不是對立事件解：(1)是互斥事件，不是對立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件(2)既是互斥事件，又是對立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發(fā)生，且其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件(3)不是互斥事件，當然不可能是對立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得點數為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是_(填序號)至少有1個黑球與都是黑球至少有1個黑球與至少有1個紅球恰有1個黑球與恰有2個黑球至少有1個黑球與都是紅球答案：解析：設A“恰有1個黑球”，B“恰有2個黑球”事件A與B不可能同時發(fā)生，因此事件A與B互斥但是A與B也有可能都不發(fā)生，因此A與B不對立；“至少有1個黑球”與“都是黑球”既不互斥也不對立；“至少有1個黑球”與“至少有1個紅球”既不互斥也不對立；“至少有1個黑球”與“都是紅球”對立也互斥判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們能否同時發(fā)生若不同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件；若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件判斷兩個事件是否為對立事件，主要看是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生如果這兩個條件同時成立，那么這兩個事件就是對立事件只要有一個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件二、互斥事件的概率加法公式的應用冰箱里有5袋牛奶，其中有兩袋已經過期，小明隨機取出兩袋，求：(1)恰好兩袋都已過期的概率；(2)取到過期牛奶的概率思路分析：弄清各個事件之間的關系是解答本題的關鍵，本題可利用互斥事件的概率加法公式求解解：給每袋牛奶編號：沒過期的牛奶分別記作：1,2,3號，過期的兩袋牛奶分別記作：4,5號取兩袋牛奶的所有基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10種，每種基本事件發(fā)生的可能性相同(1)設“恰好兩袋都已過期”為事件A，則P(A)0.1；(2)設“恰有一袋牛奶過期”為事件B，則事件B包含：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)共6種基本事件，所以P(B)0.6.“取到過期牛奶”AB，又因為A，B互斥，所以取到過期牛奶的概率為0.7.1一個游戲轉盤上有四種顏色：紅、黃、藍、黑，并且它們所占面積的比為6214，則指針停在紅色或藍色區(qū)域的概率為_答案：解析：記事件“轉盤指針分別停在紅、黃、藍、黑區(qū)域”分別為A，B，C，D，則它們兩兩互斥P(A)，P(C)，P(AC)P(A)P(C).2從一副去掉大小王混合后的撲克牌(52張)中隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得為黑桃”，則概率P(AB)_.答案：解析：52張撲克牌中紅桃K只有1張，黑桃有13張，P(A)，P(B).又A，B為互斥事件，P(AB)P(A)P(B).(1)利用互斥事件的概率計算公式求概率的一般步驟是：要確定這些事件彼此互斥；這些事件中有一個發(fā)生；先求出這些事件分別發(fā)生的概率，再求和(2)概率的加法公式是解決兩個或幾個互斥事件至少有一個發(fā)生的事件的概率問題該公式必須在各個事件彼此互斥的前提下使用如果事件A，B不互斥，就不能應用公式P(AB)P(A)P(B)來求概率三、對立事件的概率甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙勝的概率為，求：(1)甲勝的概率；(2)甲不輸的概率思路分析：由題目可知甲、乙兩人下棋的結果共有三種：和棋、甲勝、乙勝三個事件彼此互斥解答本題時可考慮將事件分解成幾個互斥事件的和事件或對立事件解：(1)“甲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件，所以“甲勝”的概率為1.(2)設“甲不輸”為事件A，可看作是“乙勝”的對立事件，所以P(A)1，即“甲不輸”的概率是.1(1)小芳參加考試，她考試及格的概率是0.85，則她考試不及格的概率是_(2)某射手在一次射擊中，擊中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別是0.24,0.28,0.19，則該射手在一次射擊中擊中不足9環(huán)的概率是_答案：(1)0.15(2)0.48解析：(1)小芳考試及格與否是對立事件，考試及格的概率為0.85，所以她考試不及格的概率為10.850.15.(2)記該射手擊中10環(huán)、9環(huán)的事件分別為A，B.則該射手在一次射擊中擊中不足9環(huán)的概率P1P(A)P(B)0.48.2從一籃雞蛋中取1個，如果其質量小于30克的概率為0.1，質量在3040克的概率為0.6，則質量大于40克的概率是_答案：0.3解析：記“質量小于30克”的概率為P(A)，“質量在3040克”的概率為P(B)，“質量大于40克”的概率為P(C)，則P(A)P(B)P(C)1，P(C)10.10.60.3.32012年5月1日某購物中心舉行“慶五一回報顧客”的超低價購物有禮活動，某人對購物中心交款處排隊等候付款的人數及其概率統計如下：排隊人數02030405050人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多30人排隊的概率；(2)至少30人排隊的概率解：(1)記“沒有人排隊”為事件A，“20人排隊”為事件B，“30人排隊”為事件C，A，B，C三個事件彼此互斥，所以至多30人排隊的概率為P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)記“至少30人排隊”為事件D，結合(1)，因為事件D與事件AB是對立事件，所以至少30人排隊的概率為P(D)1P(AB)1P(A)P(B)10.10.160.74.(1)利用對立事件求概率的方法：首先確定對立事件，求出對立事件的概率，再利用公式P(A)1P()通過求事件的概率P()來求P(A)(2)利用對立事件求概率時應注意的問題：當直接求某一事件的概率較為復雜或根本無法求時，可先轉化為求其對立事件的概率；在計算事件的概率時，有時采用“正難則反”的逆向思維方法，直接計算事件的概率比較復雜，而計算其對立事件的概率比較容易時可采用這種方法1一箱機器零件中有合格品4件，次品3件，從中任取2件，其中事件：恰有1件次品和恰有2件次品；至少有1件次品和全是次品；至少有1件合格品和至少有1件次品；至少有1件次品和全是合格品四組中是互斥事件的組數是_答案：2解析：互斥；不互斥；不互斥；互斥且對立所以互斥2把紅、黑、白、藍4張牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是_事件答案：互斥但不對立解析：只有一張紅牌，甲、乙不能同時分得，兩事件互斥但有可能甲、乙都沒分得紅牌，而丙、丁中一人分得，兩事件不對立3口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球、黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是_答案：0.3解析：事件“摸出黑球”的對立事件為：“從中摸出1個球是紅球”或“從中摸出1個球是白球”，根據對立事件的公式，摸出黑球的概率為：10.420.280.3.4從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是_答案：解析：由題意可知從5個球中任取3個球的所有情況有10種，所取的3個球全是紅球的情況有1種，所以所取的3個球中至少有1個白球的概率是1.5在某一時期內，一條河流某處的年最高水位在各個范圍內的概率如下表：年最高水位(單位：m)8,10)10,12)12,14)14,16)16,18)概率0.100.280.380.160.08計算在同一時期內，河流此處的年最高水位在下列范圍內的概率：(1)10,16)(m)；(2)8,12)(m)；(3)14,18)(m)解：記此河流某處的年最高水位在8,10)，10,12)，12,14)，14,16)，16,18)(m)分別為事件A，B，C，D，E.則事件A，B，C，D，E兩兩互斥，由互斥事件的概率公式可得：(1)P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.280.380.160.82.(2)P(AB)P(A)P(B)0.100.280.38.(3)P(DE)P(D)P(E)0.160.080.24.所以年最高水位在10,16)，8,12)，14,18)(m)的概率分別為0.82,0.38,0.24.