學業(yè)分層測評(十九) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、填空題 1．以A(1,2)，B(3,0)的中點為圓心，以為半徑的圓的方程為________． 【解析】　AB中點為(2,1)，所以圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 【答案】　(x－2)2＋(y－1)2＝5 2．點P(－2，－2)和圓x2＋y2＝4的位置關(guān)系是________． 【解析】　∵(－2)2＋(－2)2＝8>4， ∴P點在圓外． 【答案】　P在圓外 3．若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關(guān)于直線y＝x對稱，則圓C的標準方程為________． 【解析】　由題意知圓C的圓心為(0,1)，半徑為1，所以圓C的標準方程為x2＋(y－1)2＝1. 【答案】　x2＋(y－1)2＝1 4．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點P(0,0)對稱的圓的方程為________． 【解析】　已知圓的圓心為(－2,0)，它關(guān)于P(0,0)的對稱點為(2,0)，所以關(guān)于P對稱的圓的方程為(x－2)2＋y2＝5. 【答案】　(x－2)2＋y2＝5 5．直線y＝ax＋1與圓x2＋y2－2x－3＝0的位置關(guān)系是__________. 【導學號：60420079】 【解析】　∵直線y＝ax＋1恒過定點(0,1)，又點(0,1)在圓(x－1)2＋y2＝4的內(nèi)部，故直線與圓相交． 【答案】　相交 6．若過點A(a，a)可作圓x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍為__________． 【解析】　圓的方程化為(x－a)2＋y2＝3－2a， ∵過點A(a，a)可作圓的兩條切線， ∴點A(a，a)在圓外， 可得解得a<－3或1<a<. 【答案】　(－∞，－3)∪ 7．已知一圓的圓心為點A(2，－3)，一條直徑的端點分別在x軸和y軸上，則圓的方程是________________． 【解析】　設直線端點為B(x0,0)，C(0，y0)， 則＝2，∴x0＝4，＝－3，∴y0＝－6， r＝＝， ∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 【答案】　(x－2)2＋(y＋3)2＝13 8．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為________． 【解析】　設P(x,0)，設C1(2,3)關(guān)于x軸的對稱點為C1′(2，－3)， 那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C′1C2|＝＝5. 而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3， ∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4. 【答案】　5－4 二、解答題 9．已知平面直角坐標系中有四個點A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，這四個點能否在同一個圓上？為什么？ 【解】　設經(jīng)過A，B，C三點的圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 代入三點的坐標得 解方程組，得 所以經(jīng)過A，B，C三點的圓的標準方程為(x－1)2＋(y－3)2＝5. 將D點坐標代入圓的標準方程的左邊， 得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以點D在圓上，所以A，B，C，D四點在同一個圓上． 10．如圖222所示，一隧道內(nèi)設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構(gòu)成．已知隧道總寬度AD為6 m，行車道總寬度BC為2 m，側(cè)墻EA，F(xiàn)D高為2 m，弧頂高MN為5 m. 圖222 (1)建立直角坐標系，求圓弧所在的圓的方程； (2)為保證安全，要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5 m．請計算車輛通過隧道的限制高度是多少． 【解】　(1)法一　以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1 m為單位長度建立直角坐標系． 則有E(－3，0)，F(xiàn)(3，0)，M(0,3)． 由于所求圓的圓心在y軸上，所以設圓的方程為(x－0)2＋(y－b)2＝r2， ∵F(3，0)，M(0,3)都在圓上， ∴ 解得b＝－3，r2＝36. 所以圓的方程是x2＋(y＋3)2＝36. 法二　以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1 m為單位長度建立直角坐標系．設所求圓的圓心為G，半徑為r，則點G在y軸上， 在Rt△GOE中，|OE|＝3，|GE|＝r，|OG|＝r－3， 由勾股定理，r2＝(3)2＋(r－3)2，解得r＝6， 則圓心G的坐標為(0，－3)， 圓的方程是x2＋(y＋3)2＝36. (2)設限高為h，作CP⊥AD，交圓弧于點P， 則|CP|＝h＋0.5. 將點P的橫坐標x＝代入圓的方程，得2＋(y＋3)2＝36，解得y＝2，或y＝－8(舍)． 所以h＝|CP|－0.5＝(y＋|DF|)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)． 即車輛的限制高度為3.5 m. [能力提升] 1．(2015全國卷Ⅱ改編)已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為________． 【解析】　 在坐標系中畫出△ABC(如圖)，利用兩點間的距離公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助圖形直接觀察得出)，所以△ABC為等邊三角形．設BC的中點為D，點E為外心，同時也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，從而|OE|＝＝＝. 【答案】　 2．(2016徐州高一檢測)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點， 且與y軸相切，則圓C的方程為__________________. 【導學號：60420080】 【解析】　設圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由題意得解得∴圓C的方程為(x－2)2＋(y)2＝4. 【答案】　(x－2)2＋(y)2＝4 3．已知實數(shù)x，y滿足y＝，則t＝的取值范圍是______________． 【解析】　 y＝表示上半圓，t可以看作動點(x，y)與定點(－1，－3)連線的斜率． 如圖，A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，則kAB＝，kAC＝－， ∴t≤－或t≥. 【答案】　t≤－或t≥ 4．已知實數(shù)x，y滿足方程(x－2)2＋y2＝3. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 【解】　(1)原方程表示以點(2,0)為圓心，以為半徑的圓，設＝k，即y＝kx， 當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時＝，解得k＝.故的最大值為，最小值為－. (2)設y－x＝b，即y＝x＋b， 當y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取最大值和最小值， 此時＝，即b＝－2. 故y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (3)x2＋y2表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，它在原點與圓心所在直線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值，又圓心到原點的距離為2， 故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4， (x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.