3平均值不等式第1課時平均值不等式1了解兩個(三個)正數(shù)的算術平均值與幾何平均值(易錯、易誤點)2掌握平均值不等式性質定理，能用性質定理證明簡單的不等式(重點、難點)基礎初探教材整理平均值不等式閱讀教材P10P12“思考交流”以上部分，完成下列問題1定理1：對任意實數(shù)a，b，有a2b22ab(當且僅當ab時取“”號)2定理2：對任意兩個正數(shù)a，b，有(當且僅當ab時取“”號)語言敘述為：兩個正數(shù)的算術平均值不小于它們的幾何平均值3定理3：對任意三個正數(shù)a，b，c，有a3b3c33abc(當且僅當abc時取“”號)4定理4：對任意三個正數(shù)a，b，c，有(當且僅當abc時取“”號)語言敘述為：三個正數(shù)的算術平均值不小于它們的幾何平均值判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)x2.()(2)ex2.()(3)當a，b，c不全為正數(shù)時，成立()(4)3.()【解析】(1)當x>0時，x2，當x<0時，x2.(2)因為ex>0，ex2，當且僅當x0時取等號(3)如a1，bc1時，但1.這時有<.(4)當a，b，c同號時，均為正數(shù)，有3，當且僅當abc時取等號【答案】(1)(2)(3)(4)質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型平均值不等式的條件判定命題：任意x0，lg x2；任意xR，ax2(a>0且a1)；任意x，tan x2；任意xR，sin x2.其中真命題有()ABCD【精彩點撥】關鍵看是否滿足平均值不等式【自主解答】在，中，lg xR，sin x1,1，不能確定lg x0與sin x0，因此，是假命題在中，ax0，ax2 2，當且僅當x0時取等號，故是真命題在中，當x時，tan x0，有tan x2，且x時取等號，故是真命題【答案】C本題主要涉及平均值不等式成立的條件及取等號的條件.在定理1和定理2中，“ab”是等號成立的充要條件.但兩個定理有區(qū)別又有聯(lián)系：(1)是a2b22ab的特例，但二者適用范圍不同，前者要求a，b均為正數(shù)，后者只要求a，bR；(2)a，b大于0是的充分不必要條件；a，b為實數(shù)是a2b22ab的充要條件.再練一題1設a，b為實數(shù)，且ab0，下列不等式中一定成立的個數(shù)是() 【導學號：94910010】2；ab2；ab.A1 B2C3D4【解析】ab0，22，成立；a，b0時，不成立；，成立；當a1，b2時，不成立因此，成立【答案】B證明簡單的不等式(1)已知a，b，cR.求證：a4b4c4a2b2b2c2c2a2；(2)設a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.【精彩點撥】本題考查平均值不等式及不等式的性質等基礎知識，同時考查推理論證能力解答此題需要先觀察所求式子的結構，然后拆成平均值不等式的和，再進行證明【自主解答】(1)a4b42a2b2，同理a4c42a2c2，b4c42b2c2，將以上三個不等式相加得：a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2，即a4b4c4a2b2a2c2b2c2.(2)當a>0，b>0時，ab2，22c.同理：22b，22a.將以上三個不等式相加得：22(abc)，abc.平均值不等式具有將“和式”和“積式”相互轉化的放縮功能，常常用于證明不等式，解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點，選擇好利用平均值不等式的切入點.但應注意連續(xù)多次使用平均值不等式定理的等號成立的條件是否保持一致.再練一題2設a，b，c為正數(shù)，求證：(abc)227.【證明】a0，b0，c0，abc30，從而(abc)290，又30，(abc)23927.當且僅當abc時，等號成立故原不等式成立探究共研型平均值不等式的變式及條件不等式的證明探究1不等式，成立的條件都是a，b，c為正數(shù)，在條件ba>0成立時，a，b之間有怎樣的大小關系？【提示】ab.探究2若問題中一端出現(xiàn)“和式”，另一端出現(xiàn)“積式”時，這便是應用不等式的“題眼”，那么若條件中有“和式為1”時，應如何思考？【提示】應用平均值不等式時，一定要注意條件a>0，b>0，c>0.若有“和式為1”時，常反過來應用“1”的代換，即把“1”化成“和”，再試著應用平均值不等式已知a0，b0，c0，求證：(1) ；(2)(abc)【精彩點撥】(1)式兩端均是“和”，不能直接利用平均值不等式，解決的關鍵是對 的處理，先考慮平方關系，化難為易；(2)注意兩邊都是“和”式，可利用(1)題的結論【自主解答】(1)a2b22ab，2(a2b2)(ab)2， .又a0，b0， .(2)由(1)得 (ab)同理：(bc)，(ac)三式相加得：(abc)當且僅當abc時，取“”號1第(2)問利用了第(1)問的結論 ，記住這一結論可幫我們找到解題思路，但此不等式要給予證明2一般地，數(shù)學中的定理、公式揭示了若干量之間的本質聯(lián)系，但不能定格于某種特殊形式，因此平均值不等式a2b22ab的形式可以是a22abb2，也可以是ab，還可以是a2b(a0)，2ba等解題時不僅要會利用原來的形式，而且要掌握它的幾種變形形式以及公式的逆用再練一題3已知a，b(0，)，且ab1，求證：.【證明】因為a，b(0，)，且ab1，所以，當且僅當ab時，等號成立，所以ab4，a2b2(ab)22ab12ab12，8.a2b2448，所以.構建體系1“a0且b0”是“ab2”成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A2設x，y，z為正數(shù)，且xyz6，則lg xlg ylg z的取值范圍是()A(，lg 6B(，3lg 2Clg 6，)D3lg 2，)【解析】6xyz3，xyz8，lg xlg ylg zlg (xyz)lg 83lg 2.【答案】B3設ab0，把，a，b按從大到小的順序排列是_. 【導學號：94910011】【解析】ab0，ab.【答案】ab4不等式2成立的充要條件是_【解析】由2，知0，即ab0.又由題意知，ab.因此，2的充要條件是ab0且ab.【答案】ab0且ab5設a，b，c均為正數(shù)，且abc1，求證：9.【證明】332229.當且僅當abc時取等號所以9.我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學業(yè)分層測評(四)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1下列不等式恒成立的是()Ax2Bsin x2C.2Dex2【解析】根據(jù)知，條件需a>0，b>0.A，B，C均不成立，D中，ex>0，成立【答案】D2a，b為非零實數(shù)，那么不等式恒成立的是()A|ab|ab|BC.abD2【解析】a，b為非零實數(shù)時，A，B，D均不一定成立而ab0恒成立【答案】C3設a0，b0，且ab4，則有()A.B1C.2D【解析】4ab2，2.，21.【答案】B4設0<a<b，ab1，則下列不等式正確的是()A2<2ab<<a2b2B2ab<b<a2b2<C2ab<a2b2<b<D2ab<a2b2<<b【解析】0<a<b，且ab1，0<a<b<1，a2b2>2ab，b>a2b2，且>b.故2ab<a2b2<b<.【答案】C5小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab)，其全程的平均時速為v，則()AavBvC.vDv【解析】設甲、乙兩地之間的距離為s.ab，v.又vaa0，va.【答案】A二、填空題6已知a，b都是正數(shù)，則_.【解析】a，b都是正數(shù)，3，且3.9.【答案】97設A，B(a0，b0且ab)，則A，B的大小關系是_. 【導學號：94910012】【解析】法一(比較法)：AB0(a0，b0且ab)，則A>B.法二：A，B，故AB.【答案】AB8已知不相等的三個正數(shù)a，b，c且abc1，則a3b3c3與3的大小關系是_【解析】a，b，c是不相等的三個正數(shù)，且abc1，a3b3c333.【答案】a3b3c33三、解答題9設a0，b0，ab1，求證：8.【證明】a0，b0，ab1，2ab.因此，4.則(ab)2248.10已知a，b，c大于0，求證：(abc).【證明】a，b，c大于0，(ab)(bc)(ca)30，30，(abc).當且僅當abc時，等號成立能力提升1設a，b，c為正數(shù)，則“abc1”是“abc”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要的條件【解析】當abc2時，有abc，但abc1，所以必要性不成立；當abc1時，abc，所以充分性成立，故“abc1”是“abc”的充分不必要條件【答案】A2當a，b為兩個不相等的正實數(shù)時，下列各式中最小的是()A.BC. D【解析】由及a2b22ab，且ab，A，B，C中，最小而.ab時，ab20，(ab)2ab0，.綜上可知，最小，應選D.【答案】D3若a0，b0，ab2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是_(寫出所有正確命題的編號)ab1；a2b22；a3b33；2.【解析】利用特殊值ab1排除.由平均值不等式ab1，正確由a2b2a2(2a)22a24a42(a1)212，正確由(ab)(22)2，正確【答案】4設正數(shù)a，b，c滿足abc1，求的最小值【解】因為a，b，c均為正數(shù)，且abc1，所以(3a2)(3b2)(3c2)9.于是(3a2)(3b2)(3c2)339，當且僅當abc時，等號成立，即1，故的最小值為1.