3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式3.1數(shù)學(xué)歸納法1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，掌握數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟(重點(diǎn))2能夠利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理數(shù)學(xué)歸納法閱讀教材P36P37“思考交流”以上部分，完成下列問(wèn)題1數(shù)學(xué)歸納法的原理數(shù)學(xué)歸納法原理是：設(shè)有一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題，若當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí)該命題成立，又在假設(shè)當(dāng)n取第k個(gè)值時(shí)該命題成立后可以推出n取第k1個(gè)值時(shí)該命題成立，則該命題對(duì)一切自然數(shù)nn0都成立2數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n01或2等)時(shí)命題正確(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)(kN，kn0)命題正確，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也正確在完成了上述兩個(gè)步驟之后，就可以斷定命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)都正確判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“多邊形的內(nèi)角和是(n2)180”時(shí)，驗(yàn)證的第一個(gè)值是3.()(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明只與自然數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)，第二步中在假設(shè)nk(kn)成立時(shí)，總是證明nk1時(shí)也成立()(3)使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，可以不使用歸納假設(shè)()【解析】(1)因?yàn)檫厰?shù)最少的多邊形是三角形(2)在證只與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，在假設(shè)nk成立的前提下，證明nk2時(shí)也成立(3)用數(shù)學(xué)歸納法證題中必須使用歸納假設(shè)【答案】(1)(2)(3)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型數(shù)學(xué)歸納法的概念用數(shù)學(xué)歸納法證明：1aa2an1(a1，nN)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)， 左邊計(jì)算的結(jié)果是()A1B1aC1aa2D1aa2a3【精彩點(diǎn)撥】只需把n1代入，觀察式子左邊規(guī)律即得答案【自主解答】實(shí)際是由1(即a0)起，每項(xiàng)指數(shù)增加1，到最后一項(xiàng)為an1，因此n1時(shí)，左邊的最后一項(xiàng)應(yīng)為a2，因此左邊計(jì)算的結(jié)果應(yīng)為1aa2.【答案】C驗(yàn)證n取第一個(gè)值n0時(shí)命題正確是運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)，一定要正確找出nn0時(shí)的命題.再練一題1若f(k)1，則f(k1)f(k)_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910035】【解析】f(k1)1，f(k1)f(k).【答案】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(nN)【精彩點(diǎn)撥】要證的等式左邊共2n項(xiàng)，右邊共n項(xiàng)，f(k)與f(k1)相比左邊增二項(xiàng)，右邊增一項(xiàng)，而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同因此，由“nk”到“nk1”時(shí)要注意項(xiàng)的合并【自主解答】當(dāng)n1時(shí)，左邊1右邊，所以等式成立假設(shè)nk時(shí)等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)， 左邊1右邊，所以，nk1時(shí)等式成立由知，對(duì)任意nN，等式成立用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān).由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng).再練一題2用數(shù)學(xué)歸納法證明：(其中nN)【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，等式左邊，等式右邊，所以等式成立(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)等式成立，即成立 .則nk1時(shí)，即nk1時(shí)等式成立由(1)，(2)可知，對(duì)任意nN等式均成立探究共研型數(shù)學(xué)歸納法證明猜想探究1數(shù)學(xué)歸納法有兩個(gè)步驟，那么它的兩個(gè)步驟的作用分別是什么？【提示】在數(shù)學(xué)歸納法中的第一步“驗(yàn)證nn0時(shí)命題成立”，是歸納的奠基、是推理證明的基礎(chǔ)，第二步是歸納遞推，保證了推理的連續(xù)性，證明了這一步，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)于n取第一個(gè)值n0后面的所有正整數(shù)也都成立探究2如何理解歸納假設(shè)在證明中的作用？【提示】歸納假設(shè)在證明中起一個(gè)橋梁的作用，聯(lián)結(jié)第一個(gè)值n0和后續(xù)的n值所對(duì)應(yīng)的情形在歸納遞推的證明中，必須以歸納假設(shè)為基礎(chǔ)進(jìn)行證明否則，就不是數(shù)學(xué)歸納法探究3若數(shù)列an中，a11，an2a2n11.那么a2，a3，a4分別是多少？你能猜想出an嗎？能否通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明【提示】由題意可以求出a11，a23，a37，a415，可以猜想an2n1，然后可以用數(shù)學(xué)歸納法證明設(shè)f(n)>0(nN)，對(duì)任意正整數(shù)n1和n2總有f(n1n2)f(n1)f(n2)，又f(2)4.(1)求f(1)，f(3)的值；(2)猜想f(n)的表達(dá)式，并證明你的猜想【精彩點(diǎn)撥】先求f(1)，f(2)，f(3)歸納猜想f(n)用數(shù)學(xué)歸納法證明【自主解答】(1)由于對(duì)任意正整數(shù)n1和n2，總有f(n1n2)f(n1)f(n2)取n1n21，得f(2)f(1)f(1)，即f2(1)4.f(n)>0(nN)，f(1)2.取n11，n22，得f(3)23.(2)由f(1)21，f(2)422，f(3)23，初步歸納猜想f(n)2n.當(dāng)n1時(shí)，f(1)2成立；假設(shè)nk時(shí)，f(k)2k成立當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k)f(1)2k22k1，這就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，猜想也成立由，得，對(duì)一切nN，f(n)2n都成立1切實(shí)掌握“觀察、歸納、猜想、證明”這一特殊到一般的推理方法2證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是：第二步將式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相同的形式“湊假設(shè)”，然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過(guò)恒等變形，得到結(jié)論需要的形式“湊結(jié)論”再練一題3已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想【解】(1)a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，猜想顯然成立當(dāng)n2時(shí)，a252225，猜想成立假設(shè)nk時(shí)猜想成立，即ak52k2(k2，kN)，當(dāng)nk1時(shí)，由已知條件和假設(shè)有ak1Ska1a2a3ak551052k2552k152(k1)2.故nk1時(shí)猜想也成立根據(jù)可知，對(duì)任意n2，nN，有an52n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)an構(gòu)建體系1用數(shù)學(xué)歸納法證明123(2n1)(n1)(2n1)時(shí)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式為()A1B13C123D1234【解析】當(dāng)n1時(shí)左邊有2113項(xiàng)，所以左邊所得的代數(shù)式為123.【答案】C2在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于()A1B2C3D0【解析】邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形【答案】C3用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“135(2n1)n2”時(shí)，從k到k1左邊需增加的代數(shù)式為()A2k2B2k1C2kD2k1【解析】等式“135(2n1)n2”中， 當(dāng)nk時(shí)，等式的左邊135(2k1)，當(dāng)nk1時(shí)，等式的左邊135(2k1)2(k1)1135(2k1)(2k1)，從k到k1左邊需增加的代數(shù)式為2k1.【答案】D4用數(shù)學(xué)歸納法證明：“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”時(shí)，在歸納假設(shè)中，假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，那么下一步應(yīng)證明n_時(shí)命題也成立【解析】?jī)蓚€(gè)奇數(shù)之間相差2，所以nk2.【答案】k25用數(shù)學(xué)歸納法證明：1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910036】【證明】(1)n1時(shí)，左邊右邊，命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)，命題成立，即1.那么當(dāng)nk1時(shí)，1121，即nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)知，對(duì)nN命題成立我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十二)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)nk(kN，且k1)時(shí)命題成立，則一定可推得當(dāng)nk1時(shí)，該命題也成立現(xiàn)已知n5時(shí)，該命題不成立，那么應(yīng)有()A當(dāng)n4時(shí)該命題成立B當(dāng)n6時(shí)該命題成立C當(dāng)n4時(shí)該命題不成立D當(dāng)n6時(shí)該命題不成立【解析】當(dāng)n4時(shí)命題成立，由遞推關(guān)系知，n5時(shí)命題成立，與題中條件矛盾所以n4時(shí)，該命題不成立【答案】C2已知數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，an2an11，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的一個(gè)表達(dá)式是()An21B(n1)21C2n1D2n11【解析】由a11，當(dāng)n2時(shí)，an2an11得a22a112113，a32a212317，a42a3127115.猜想an2n1.【答案】C3用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”，要利用歸納法假設(shè)證nk1時(shí)的情況，只需展開()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3【解析】假設(shè)nk時(shí)，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè) ，只需將(k3)3展開，讓其出現(xiàn)k3，且展開式中除k3以外的各項(xiàng)和也能被3整除【答案】A4記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)()A.BC2D【解析】nk到nk1時(shí)，內(nèi)角和增加.【答案】B5用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假設(shè)n2k1時(shí)正確，再推n2k3時(shí)正確(其中kN)B假設(shè)n2k1時(shí)正確，再推n2k1時(shí)正確(其中kN)C假設(shè)nk時(shí)正確，再推nk1時(shí)正確(其中kN)D假設(shè)nk(k1)時(shí)正確，再推nk2時(shí)正確(其中kN)【解析】n為正奇數(shù)，n2k1(kN)即假設(shè)n2k1時(shí)正確，再推n2k1時(shí)正確【答案】B二、填空題6探索表達(dá)式A(n1)(n1)！(n2)(n2)！22！11！(n>1且nN)的結(jié)果時(shí)，第一步n_時(shí)，A_.【解析】第一步n2時(shí)， A(21)(21)！1.【答案】217用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1(nN)”的過(guò)程中，第二步假設(shè)nk時(shí)等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)應(yīng)得到_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910037】【解析】nk時(shí)， 命題為“12222k12k1”，nk1時(shí)為使用歸納假設(shè)，應(yīng)寫成12222k12k2k12k，又考慮到目的，最終應(yīng)為2k11.【答案】12222k12k2k118在數(shù)列an中，a1，且Snn(2n1)an.通過(guò)求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式是_【解析】a2S2S12(221)a2，a2，同理a3，a4.歸納知an.【答案】an三、解答題9證明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN)【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊12223，右邊1(211)3，等式成立(2)假設(shè)nk時(shí)，等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)當(dāng)nk1時(shí)，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1時(shí)等式也成立綜合(1)(2)可知，等式對(duì)任何nN都成立10已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an的等差中項(xiàng)為1.(1)寫出a1，a2，a3；(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明【解】(1)由題意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，a11，1，等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即ak，則當(dāng)nk1時(shí)，由Sk1ak12，Skak2，得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，所以ak1ak，即當(dāng)nk1時(shí)，等式成立由可知，對(duì)nN，an.能力提升(1)(2)(3)圖2311如圖231所示的是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，圖中的“小黑點(diǎn)”表示原子，兩黑點(diǎn)間的“短線”表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第n個(gè)圖的化學(xué)鍵個(gè)數(shù)為()A6n個(gè)B(4n2)個(gè)C(5n1)個(gè)D(5n1)個(gè)【解析】圖(1)有6個(gè)化學(xué)鍵，圖(2)有11個(gè)化學(xué)鍵，圖(3)有16個(gè)化學(xué)鍵，可猜想第n個(gè)圖有5n1個(gè)化學(xué)鍵【答案】D2若不等式<對(duì)于一切nN恒成立，則自然數(shù)m的最小值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910038】A8B9C10D12【解析】令bn，則bk1bk<0，bk1<bk，數(shù)列bn為遞減數(shù)列要bn<恒成立，只需b1<，<，得m>7，m的最小值為8.【答案】A3用數(shù)學(xué)歸納法證明“nN，n(n1)(2n1)能被6整除”時(shí)，某同學(xué)證法如下：(1)n1時(shí)，1236能被6整除，n1時(shí)，命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)成立，即k(k1)(2k1)能被6整除，那么nk1時(shí)，(k1)(k2)(2k3)(k1)(k2)k(k3)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)k，k1，k2和k1，k2，k3分別是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其積能被6整除故nk1時(shí)命題成立綜合(1)，(2)，對(duì)一切nN，n(n1)(2n1)能被6整除這種證明不是數(shù)學(xué)歸納法，主要原因是_【答案】沒用上歸納假設(shè)4已知點(diǎn)的序列An(xn,0)，nN，其中x10，x2a(a>0)，A3是線段A1A2的中點(diǎn)，A4是線段A2A3的中點(diǎn)， ，An是線段An2An1的中點(diǎn)，.(1)寫出xn與xn1，xn2之間的關(guān)系式(n3)；(2)設(shè)anxn1xn，計(jì)算a1，a2，a3，由此推測(cè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并加以證明【解】(1)當(dāng)n3時(shí)，xn.(2)a1x2x1a，a2x3x2x2(x2x1)a，a3x4x3x3(x3x2)a，由此推測(cè)ana(nN)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，a1x2x1aa，公式成立，假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)， 公式成立，即aka成立那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1xk2xk1xk1(xk1xk)akaa，當(dāng)nk1時(shí)，公式仍成立根據(jù)可知對(duì)任意nN，公式ana成立