2排序不等式1了解排序不等式，理解排序不等式的實質(zhì)(重點)2能用排序不等式證明簡單的問題(難點)基礎(chǔ)初探教材整理1順序和、亂序和、逆序和的概念閱讀教材P32P34“練習”以上部分，完成下列問題設(shè)實數(shù)a1，a2，a3，b1，b2，b3滿足a1a2a3，b1b2b3，j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式通常稱a1b1a2b2a3b3為順序和，a1bj1a2bj2a3bj3為亂序和，a1b3a2b2a3b1為逆序和(倒序和)填空：若mnpq，abcd，則(1)ambncpdq是_和，(2)anbqcadp是_和，(3)aqbpcndm是_和，(4)aqbmcqdn是_和【答案】(1)順序(2)亂序(3)逆序(4)亂序教材整理2排序不等式閱讀教材P32P34“練習”以上部分，完成下列問題1定理1設(shè)a，b和c，d都是實數(shù)，如果ab，cd，那么acbdadbc，當且僅當ab(或cd)時取“”號2定理2(排序不等式)設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組a1a2an及b1b2bn，則(順序和)a1b1a2b2anbn(亂序和)a1bj1a2bj2anbjn(逆序和)a1bna2bn1anb1.其中j1，j2，jn是1,2，n的任一排列方式上式當且僅當a1a2an(或b1b2bn)時取“”號判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若a1a2a3，b1b2b3，則a1bj1a2bj2a3bj3中最大值是a1b1a2b2a3b3(其中j1，j2，j3是1,2,3的任一排列)()(2)若ab，cd，則acbdadbc.()【答案】(1)(2)質(zhì)疑手記預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型利用排序不等式證明不等式中所給字母的大小順序已確定的情況已知a，b，c為正數(shù)，abc，求證：(1)；(2).【精彩點撥】本題考查排序不等式及不等式的性質(zhì)、證明不等式等基本知識，考查推理論證能力解答此題只需根據(jù)abc，直接構(gòu)造兩個數(shù)組，利用排序不等式證明即可【自主解答】(1)ab>0，于是，又c>0，>0，從而.同理，bc>0，于是.a>0，>0，于是得.從而.(2)由(1)知，于是由“順序和亂序和”得，(a2b2c2，).利用排序不等式證明所證不等式中所給字母的大小順序已確定的情況，關(guān)鍵是根據(jù)所給字母的大小順序，構(gòu)造出不等式中所需要的帶大小順序的兩個數(shù)組.再練一題1已知0<a1a2an，求證：a1a2an. 【導學號：94910032】【證明】0<a1a2an，aaa，由排序不等式知，亂序和不小于逆序和，得aaa，a1a2an.需對所證不等式中所給的字母順序作出假設(shè)的情況已知a，b，c為正數(shù)求證：abc.【精彩點撥】解答此題需要假設(shè)abc推出a2b2c2，再利用排序不等式進行論證【自主解答】不妨設(shè)abc，則a2b2c2，.故由排序不等式，得a2b2c2a2b2c2，a2b2c2a2b2c2，()2可得abc.又a3b3c3且，由排序不等式，得a3b3c3a3b3c3，a3b3c3a3b3c3，()2可得.綜上可知，abc.在利用排序不等式證明所證不等式中所給字母沒有限定大小順序時，要使用排序不等式，先要根據(jù)所給字母在不等式中地位的對稱性，限定一種大小關(guān)系，方可應(yīng)用排序不等式求證.再練一題2設(shè)a1，a2，an是n個互不相同的正整數(shù)，求證：1a1.【證明】設(shè)b1，b2，bn是a1，a2，an的一個排列，且滿足b1<b2<<bn.由于b1，b2，bn是互不相同的正整數(shù)，b11，b22，b33，bnn.又1>>>>.由排序不等式得a1b111.探究共研型運用排序不等式求最值探究1設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組數(shù)，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，那么它們的順序和、亂序和、逆序和大小關(guān)系如何？【提示】a1bna2bn2anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.探究2已知兩組數(shù)a1a2a3a4a5，b1b2b3b4b5，其中a12，a27，a38，a49，a512，b13，b24，b36，b410，b511，將bi(i1,2,3,4,5)重新排列記為c1，c2，c3，c4，c5.那么a1c1a2c2a5c5的最大值和最小值分別是多少？【提示】由順序和最大，知最大值為a1b1a2b2a3b3a4b4a5b5304.由逆序和最小，知最小值為a1b5a2b4a3b3a4b2a5b1212.設(shè)a，b，c為任意正數(shù)，求的最小值【精彩點撥】由對稱性，不妨設(shè)abc>0，注意到1.設(shè)法構(gòu)造數(shù)組，利用排序不等式求解【自主解答】不妨設(shè)abc，則abacbc，.由排序不等式得，上兩式相加 ，則23，即.當且僅當abc時，取最小值.構(gòu)造兩個有序數(shù)組利用排序不等式驗證等號是否成立.再練一題3已知x，y，z是正數(shù)，且xyz1，求t的最小值【解】不妨設(shè)xyz>0，則x2y2z2，.由排序不等式，亂序和逆序和得，x2y2z2xyz，又xyz1，1.當且僅當xyz時，等號成立故t的最小值為1.構(gòu)建體系1已知xy，Mx4y4，Nx3yy3x，則M與N的大小關(guān)系是()AM>NBMNCM<NDMN【解析】由排序不等式，知MN.【答案】B2設(shè)a，b，c為正數(shù)，Pa3b3c3，Qa2bb2cc2a，則P與Q的大小關(guān)系是()AP>QBPQCP<QDPQ【解析】不妨設(shè)abc>0，a2b2c2>0， 由排序不等式得：a2ab2bc2ca2bb2cc2a.PQ.【答案】B3已知兩組數(shù)1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一個排列，則c12c23c3的最大值是_，最小值是_. 【導學號：94910033】【解析】由排序不等式，順序和最大，逆序和最小，最大值為14253632，最小值為16253428.【答案】32284設(shè)正數(shù)a1，a2，an的任一排列為a1，a2，an，則的最小值為_【解析】取兩組數(shù)a1，a2，an；，其反序和為n，則由亂序和不小于反序和知n，的最小值為n.【答案】n5已知a，b，c為正數(shù)，求證：abc.【證明】不妨設(shè)abc>0，則>0，abacbc>0.由排序不等式，得acbcababc.當且僅當abc時等號成立故abc.我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學業(yè)分層測評(十一)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，且a1，a2，a3的任一排列為a1，a2，a3，則的最小值為()A3B6C9D12【解析】由題意，不妨設(shè)a1a2a3>0，則>0，3，當且僅當a1a2a3時等號成立【答案】A2設(shè)a1，a2，an都是正數(shù)，b1，b2，bn是a1，a2，an的任一排列，Pababab，Qa1a2an，則P與Q的大小關(guān)系是()APQBP>QCP<QDPQ【解析】設(shè)a1a2an>0，可知aaa，aaa.由排序不等式，得abababaaaaaa，即abababa1a2an.PQ，當且僅當a1a2an>0時等號成立【答案】D3某班學生要開聯(lián)歡會，需要買價格不同的禮品4件，5件及2件，現(xiàn)在選擇商店中單價為3元，2元和1元的禮品，則至少要花_元，至多花_元()A20,23B19,25C21,23D19,24【解析】單價大小排列為3,2,1，待買禮品數(shù)量排列為5,4,2，任意交叉相乘再取和中最大值是順序和35241225，最小值是逆序和32241519.【答案】B4設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，則與a1a2a3大小關(guān)系為()A>BC<D【解析】不妨設(shè)a1a2a3>0，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：順序和亂序和，得a2a3a3a1a1a2a3a1a2，即a1a2a3.【答案】B5a1，a2，an都是正數(shù)，b1，b2，bn是a1，a2，an的任一排列，則a1ba2banb的最小值是()A1BnCn2D無法確定 【解析】設(shè)a1a2an>0.可知aaa，由排序原理，得a1ba2banba1aa2aanan.【答案】B二、填空題6設(shè)ab>0，則a3b3與a2bab2的大小關(guān)系是_【解析】ab>0，a2b2>0，因此a3b3a2bab2(排序不等式)【答案】a3b3a2bab27有4人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿每個人的水桶分別需要5 s,4 s,3 s,7 s，每個人接完水后就離開，則他們總的等候時間最短為_ s.【解析】等候的最短時間為：3443527141(s)【答案】418若a>0，b>0且ab1，則的最小值是_. 【導學號：94910034】【解析】不妨設(shè)ab>0，則有a2b2，且.由排序不等式得a2b2ab1，當且僅當ab時，等號成立的最小值為1.【答案】1三、解答題9設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：a10b10c10.【證明】由對稱性，不妨設(shè)abc>0，于是a12b12c12，故由排序不等式：順序和亂序和，得.又因為a11b11c11，.再次由排序不等式：逆序和亂序和，得.所以由，得a10b10c10.10已知0<<<<，求證：sin cos sin cos sin cos >(sin 2sin 2sin 2)【證明】0<<<<，且ysin x在為增函數(shù)，ycos x在為減函數(shù)，0<sin <sin <sin ，cos >cos >cos >0.根據(jù)排序不等式得：亂序和逆序和又本題中等號不可能取到，sin cos sin cos sin cos >(sin 2sin 2sin 2)能力提升1已知a，b，c為正數(shù)，則a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正負情況是()A大于零B大于等于零C小于零D小于等于零【解析】設(shè)abc>0，所以a3b3c3，根據(jù)排序原理，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab，所以a4b4c4a2bcb2cac2ab.即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.【答案】B2銳角三角形中，設(shè)P，Qacos Cbcos Bccos A，則P，Q的關(guān)系為()APQBPQCPQD不能確定【解析】不妨設(shè)ABC，則abc，cos Acos Bcos C，則由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.【答案】C3設(shè)a，b，c是正數(shù)，則aabbcc_(abc).【解析】不妨設(shè)abc>0，則lg alg blg c，據(jù)排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，以上兩式相加，再兩邊同加alg ablg bclg c，整理得3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即lg(aabbcc)lg(abc)，故aabbcc(abc) .【答案】4設(shè)a，b，c大于0，求證：(1)a3b3ab(ab)；(2).【證明】(1)不妨設(shè)abc>0，則a2b2c2>0，a3b3a2ab2ba2bb2a，a3b3ab(ab)(2)由(1)知，同理b3c3bc(bc)，c3a3ac(ca)所以.故原不等式得證