1柯西不等式1.1簡單形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式1認識柯西不等式的幾種不同的形式，理解它們的幾何意義，能證明柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式(重點、易混點)2理解用參數(shù)配方法討論柯西不等式一般情況的過程(重點難點)3能利用柯西不等式求特定函數(shù)的最值和進行簡單的證明(難點)基礎(chǔ)初探教材整理1簡單形式的柯西不等式閱讀教材P27P28，完成下列問題1定理1對任意實數(shù)a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當向量(a，b)與向量(c，d)共線時，等號成立2柯西不等式的向量形式設(shè)，是兩個向量，則|，當且僅當是零向量，或存在實數(shù)k，使k時，等號成立判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)不等式(a2b2)(d2c2)(acbd)2是柯西不等式()(2)(ab)(cd)()2，是柯西不等式，其中a，b，c，d為正數(shù)()(3)在柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2中，a，b，c，d是任意實數(shù)()【解析】柯西不等式中，四個數(shù)的組合是有對應(yīng)順序的，故(1)不對，(2)中，a，b，c，d可分別寫成()2，()2，()2，()2，所以是正確的，(3)正確【答案】(1)(2)(3)教材整理2一般形式的柯西不等式閱讀教材P29P30“練習(xí)”以上部分，完成下列問題1定理2設(shè)a1，a2，an與b1，b2，bn是兩組實數(shù)，則有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，當向量(a1，a2，an)與向量(b1，b2，bn)共線時，等號成立2推論設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是兩組實數(shù)，則有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.當向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時“”成立在一般形式的柯西不等式中，等號成立的條件記為aikbi(i1,2,3，n)，可以嗎？【解】不可以若bi0而ai0，則k不存在質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型利用柯西不等式證明不等式(1)已知a2b21，x2y21，求證：|axby|1；(2)設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：(abc)【精彩點撥】本題考查柯西不等式及證明不等式的基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力及代數(shù)式的變式能力解答本題(1)可逆用柯西不等式，而解答題(2)需將，增補，使其滿足柯西不等式左邊結(jié)構(gòu)方可應(yīng)用【自主解答】(1)|axby|1.(2)由柯西不等式得：ab，即ab.同理：bc，ac.將上面三個同向不等式相加得：()2(abc)，所以(abc)利用二維柯西不等式的代數(shù)形式證題時，要抓住不等式的基本特征：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中a，b，c，dR或(ab)(cd)(r(ac)r(bd)2，其中a，b，c，d為正數(shù).找出待證不等式中相應(yīng)的兩組數(shù)，當這兩組數(shù)不太容易找時，需分析，增補(特別是對數(shù)字的增補：如a1a)變形等.再練一題1設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：abc.【證明】由柯西不等式()2()2()2.于是(abc)(abc)2，即abc.運用柯西不等式求參數(shù)范圍已知正數(shù)x，y，z滿足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：94910029】【精彩點撥】“恒成立”問題需求的最大值，設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值【自主解答】.故參數(shù)的取值范圍是.此題也是通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化應(yīng)用柯西不等式，由此可見，應(yīng)用柯西不等式，首先要對不等式形式、條件熟練掌握，然后根據(jù)題目的特點“創(chuàng)造性”應(yīng)用定理.再練一題2已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，試求a的取值范圍【解】由柯西不等式得，(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由條件可得，5a2(3a)2，解得1a2，所以實數(shù)a的取值范圍是1,2探究共研型利用柯西不等式求最值探究1柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2是如何證明的？【提示】要證(a2b2)(c2d2)(acbd)2，只要證a2c2b2c2a2d2b2d2a2c22abcdb2d2，即證b2c2a2d22abcd，只要證(bcad)20.因為上式顯然成立，故(a2b2)(c2d2)(acbd)2.探究2根據(jù)柯西不等式，下列結(jié)論成立嗎？(1)(ab)(cd)()2(a，b，c，d為非負實數(shù))；(2)|acbd|(a，b，c，dR)；(3)|ac|bd|(a，b，c，dR)【提示】成立已知x22y23z2，求3x2yz的最小值【精彩點撥】利用x22y23z2為定值，構(gòu)造柯西不等式形式，再利用公式得出范圍，求解最小值【自主解答】(x22y23z2)(3x2yz)2，(3x2yz)2(x22y23z2)12.23x2yz2，3x2yz的最小值為2.利用柯西不等式求最值時，關(guān)鍵是對原目標函數(shù)進行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.同時，要保證取到等號成立的條件.再練一題3若3x4y2，試求x2y2的最小值及最小值點【解】由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.當且僅當時“”成立，為求最小值點，需解方程組因此，當x，y時，x2y2取得最小值，最小值為，最小值點為.構(gòu)建體系1設(shè)x，yR，且2x3y13，則x2y2的最小值為()A. B169C13D0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.【答案】C2已知a，b，c大于0，且abc1，則a2b2c2的最小值為()A1B4C.D【解析】根據(jù)柯西不等式，有(a2b2c2)(121212)(abc)21，a2b2c2.【答案】C3已知a2b2c21，x2y2z21，taxbycz，則t的取值范圍是()A(0,1)B(1,1)C(1,0)D1,1【解析】設(shè)(a，b，c)，(x，y，z)|1，|1，由|，得|t|1.t的取值范圍是1,1【答案】D4已知x，y0，的最小值為4，則xy_. 【導(dǎo)學(xué)號：94910030】【解析】，24，又0，1，xy1.【答案】15已知3x22y26，求證：2xy.【證明】由柯西不等式得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611.于是2xy.我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測評(十)(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標一、選擇題1已知a，b為正數(shù)，且ab1，則P(axby)2與Qax2by2的關(guān)系是()APQBPQCPQDPQ【解析】 設(shè)m(x，y)，n(，)，則|axby|mn|m|n| ，所以(axby)2ax2by2.即PQ.【答案】A2已知xy1，那么2x23y2的最小值是()A.BC.D【解析】2x23y2(2x23y2)(xy)2.【答案】B3已知x，y，z均大于0，且xyz1，則的最小值為()A24B30C36D48【解析】(xyz)36，36.【答案】C4設(shè)x，y，m，n>0，且1，則uxy的最小值是()A()2BC.D(mn)2【解析】根據(jù)柯西不等式，得xy(xy)()2，當且僅當時，等號成立，這時u取最小值為()2.【答案】A5函數(shù)y2的最大值是()A.BC3D5【解析】根據(jù)柯西不等式，知y12.【答案】B二、填空題6函數(shù)y的最大值為_【解析】由，非負且()2()23，所以 .【答案】7設(shè)x，y為正數(shù)，且x2y8，則的最小值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：94910031】【解析】(x2y)()2()225，又x2y8，.【答案】8設(shè)a，b，c，x，y，z都是正數(shù)，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，則_.【解析】由柯西不等式，得2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2302.當且僅當k時取“”，由k2(x2y2z2)22536，解得k，所以k.【答案】三、解答題9已知實數(shù)x，y，z滿足x2yz1，求tx24y2z2的最小值【解】由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1，3(x24y2z2)1，即x24y2z2.當且僅當x2yz，即x，y，z時等號成立故x24y2z2的最小值為.10已知為銳角，a，b均為正數(shù)求證：(ab)2.【證明】設(shè)m，n(cos ，sin )，則|ab|mn|m|n| ，(ab)2.能力提升1已知x，y為正數(shù)，且xy1，則的最小值為()A4B2C1D【解析】224.【答案】A2設(shè)a1，a2，an為正數(shù)，P，Q，則P，Q間的大小關(guān)系為()AP>QBPQCP<QDPQ【解析】(a1a2an)n2，.即PQ.【答案】B3已知函數(shù)y34，則函數(shù)的定義域為_，最大值為_【解析】函數(shù)的定義域為5,6，且y0，y345，當且僅當34，即x時取等號ymax5.【答案】5,654ABC的三邊長為a，b，c，其外接圓半徑為R.求證：(a2b2c2)36R2.【證明】由三角形中的正弦定理得：sin A，所以，同理，于是由柯西不等式可得左邊(a2b2c2)236R2，所以原不等式得證