3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用1會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的不等式及綜合問題2了解貝努利不等式及其應(yīng)用的條件，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理貝努利不等式定理閱讀教材P38P39“練習(xí)”以上部分，完成下列問題定理對任何實(shí)數(shù)x1和任何正整數(shù)n，有(1x)n1nx.在貝努利不等式中當(dāng)x0時(shí)，n為大于1的自然數(shù)，不等式形式將有何變化？【解】當(dāng)x0時(shí)，不等式將變成等式，即(1x)n1nx. 質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型貝努利不等式的簡單應(yīng)用設(shè)b>a>0，nN，證明：(ba)1.【精彩點(diǎn)撥】由b>a>0，令1x(x>0)，利用貝努利不等式證明【自主解答】由b>a>0，知>1，令1x(x>0)，則x1，由貝努利不等式(1x)n1nx，(1x)n1nx1n，故(ba)1.利用1x代換，為利用貝努利不等式創(chuàng)造條件.再練一題1試證明>1與>(nN)【證明】由nN，n12.由貝努利不等式，得(1)>11.(2)由(1)得>1，故>.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式試證明：2n2>n2(nN)【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊2124，右邊1，左邊>右邊；當(dāng)n2時(shí)，左邊2226，右邊224，所以左邊>右邊；當(dāng)n3時(shí)，左邊23210，右邊329，所以左邊>右邊因此當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k3且kN)時(shí)，不等式成立當(dāng)nk1時(shí)，2k1222k22(2k2)2>2k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)(因k3，則k30，k1>0)k22k1(k1)2.所以2k12>(k1)2.故當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立根據(jù)(1)(2)知，原不等式對于任何nN都成立通過本例可知，在證明nk1時(shí)命題成立的過程中，針對目標(biāo)k22k1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍(k1)太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟(把驗(yàn)證n1擴(kuò)大到驗(yàn)證n1，2，3)的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k3，促使放縮成功，達(dá)到目標(biāo).再練一題2已知Sn1(n>1，nN)，求證：S2n>1(n2，nN). 【導(dǎo)學(xué)號：94910039】【證明】(1)當(dāng)n2時(shí)，S221>1，即n2時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即S2k1>1.當(dāng)nk1時(shí)，S2k11>111.故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立由(1)(2)知，對nN，n2，S2n>1都成立.探究性問題設(shè)f(n)1，由f(1)1>，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，.(1)你能得到怎樣的結(jié)論？并證明；(2)是否存在一個(gè)正數(shù)T，使對任意的正整數(shù)n，恒有f(n)<T成立？并說明理由【精彩點(diǎn)撥】找出數(shù)列1,3,7,15，的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)列，1，2，的通項(xiàng)公式，猜想一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明【自主解答】(1)數(shù)列1,3,7,15，的通項(xiàng)公式為an2n1；數(shù)列，1，2，的通項(xiàng)公式為an，猜想：f(2n1)>.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，f(211)f(1)1>，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)不等式成立，即f(2k1)>，則f(2k11)f(2k1)>f(2k1)>f(2k1)>.當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立據(jù)知，對任何nN原不等式均成立(2)對任意給定的正數(shù)T，設(shè)它的整數(shù)部分為T，記mT1，則m>T.由(1)知，f(22m1)>m，f(22m1)>T，這說明，對任意給定的正數(shù)T，總能找到正整數(shù)n(如可取假設(shè)中n為2m)，使得f(n)T，不存在正數(shù)T，使得對任意的正整數(shù)n，總有f(n)<T成立利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思想是先通過觀察、判斷，猜想出結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明，否定一個(gè)命題，只需找出一個(gè)反例即可.再練一題3若不等式>對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論【解】當(dāng)n1時(shí)，>，則>，a<26，又aN，取a25.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明>.(1)n1時(shí)，已證(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，>.當(dāng)nk1時(shí)，>.>，>0，>也成立由(1)，(2)可知，對一切nN，都有>，a的最大值為25.構(gòu)建體系1用數(shù)學(xué)歸納法證明2nn2(n5，nN)成立時(shí)第二步歸納假設(shè)的正確寫法是()A假設(shè)nk時(shí)命題成立B假設(shè)nk(kN)時(shí)命題成立C假設(shè)nk(k5)時(shí)命題成立D假設(shè)nk(k>5)時(shí)命題成立【解析】由題意知n5，nN，應(yīng)假設(shè)nk(k5)時(shí)命題成立【答案】C2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1<f(n)(n2，nN)的過程，由nk到nk1時(shí)，左邊增加了()A1項(xiàng)Bk項(xiàng)C2k1項(xiàng)D2k項(xiàng)【解析】1.共增加2k項(xiàng)【答案】D3用數(shù)學(xué)歸納法證不等式1成立，起始值至少取()A7B8C9D10【解析】左邊等比數(shù)列求和Sn2，即1，.n7，n取8，選B.【答案】B4用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n(nN，n>1)時(shí)，第一步即證明不等式_成立. 【導(dǎo)學(xué)號：94910040】【解析】因?yàn)閚>1，所以第一步n2，即證明1<2成立【答案】1<25證明：1<2(nN)【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，不等式成立(2)假設(shè)nk時(shí)，不等式成立，即1<2.那么nk1時(shí)，<2<2.這就是說，nk1時(shí)，不等式也成立根據(jù)(1)(2)可知不等式對任意nN成立我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測評(十三)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>(n2)的過程中，由nk遞推到nk1時(shí)不等式左邊()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)和C增加了B中的兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)D以上均不正確【解析】由.故選C.【答案】C2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“n2<2n對于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，n0應(yīng)取值為()A1B3C5D7【解析】12<21,2222,32>23,4224，利用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證n5，故n0的值為5.【答案】C3對于不等式<n1(nN)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，<11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，不等式成立，即<k1，則當(dāng)nk1時(shí)，<(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確【解析】在nk1時(shí)，沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法【答案】D4對于正整數(shù)n，下列說法不正確的是()A3n12nB0.9n10.1nC0.9n<10.1nD0.1n10.9n【解析】由貝努利不等式(1x)n1nx(x1，nN)，當(dāng)x2時(shí)，(12)n12n，A正確當(dāng)x0.1時(shí)，(10.1)n10.1n，B正確，C不正確當(dāng)x0.9時(shí)，(10.9)n10.9n，因此D正確【答案】C5若不等式>對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為()A12B13C14D不存在【解析】令f(n)，易知f(n)是單調(diào)遞增的f(n)的最小值為f(2).依題意>，m<14.因此取m13.【答案】B二、填空題6用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN)”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為_. 【導(dǎo)學(xué)號：94910041】【解析】當(dāng)n1時(shí)，2111212，即44成立【答案】21112127觀察式子：1<，1<，1<，則可歸納出_【答案】1<(n2，nN)8用數(shù)學(xué)歸納法證明 (a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，nN)時(shí)，假設(shè)nk時(shí)不等式 (*)成立，再推證nk1時(shí)不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式同乘_【解析】要想辦法出現(xiàn)，兩邊同乘以，右邊也出現(xiàn)了要求證的.【答案】三、解答題9設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，證明：對任意nN，有(ab)nannan1b.【證明】由(1x)n1nx(x1，nN)，n1，即1，(ab)nann，故(ab)nannban1.10設(shè)0<a<1，定義a11a，an1a.求證：對一切正整數(shù)nN，有1<an<.【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，a1>1，又a11a<，當(dāng)n1時(shí)，命題成立(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，命題1<ak<成立當(dāng)nk1時(shí)，由遞推公式，知ak1a>(1a)a1，同時(shí)，ak1a<1a<，當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立，即1<ak1<.綜合(1)、(2)可知，對一切正整數(shù)n，有1<an<.能力提升1用數(shù)學(xué)歸納法證明>，假設(shè)nk時(shí)，不等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)是()A.>B.>C.>D.>【解析】注意不等式兩邊含變量“n”的式子，因此當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)該是含“n”的式子發(fā)生變化，所以nk1時(shí)，應(yīng)為>.【答案】A2若k棱柱有f(k)個(gè)對角面，則(k1)棱柱對角面的個(gè)數(shù)為()A2f(k)Bk1f(k)Cf(k)kDf(k)2【解析】由nk到nk1時(shí)增加的對角面的個(gè)數(shù)與底面上由nk到nk1時(shí)增加的對角線一樣，設(shè)nk時(shí)，底面為A1A2Ak，nk1時(shí)底面為A1A2A3AkAk1，增加的對角線為A2Ak1，A3Ak1，A4Ak1，Ak1Ak1，A1Ak，共有(k1)條，因此對角面也增加了(k1)個(gè)【答案】B3設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)，若用f(n)表示這n條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n>4時(shí)，f(n)_(用n表示). 【導(dǎo)學(xué)號：94910042】【解析】f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來直線的條數(shù)f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(3)34(n1)(n3)，f(n)(n1)(n2)【答案】5(n1)(n2)4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1，an2SnSn10(n2，nN)(1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(2)證明：SSS.【解】(1)S1a1，2.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.2，故是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，S，成立假設(shè)nk(k1，且kN)時(shí)，不等式成立，即SSS成立，則當(dāng)nk1時(shí)，SSSS<.即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由可知對任意nN不等式成立