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2016-2017學年高中數學 第一章 計數原理 課時作業(yè)7 二項式定理 新人教A版選修2-3 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(x－2y)11展開式中共有(　　) A．10項　　　　　 B．11項 C．12項 D．9項 解析：　根據二項式定理可知有11＋1＝12項． 答案：　C 2．在5的二項展開式中，x的系數為(　　) A．10 B．－10 C．40 D．－40 解析：　利用通項求解． 因為Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝C25－rx10－2r(－1)rx－r＝C25－r(－1)rx10－3r，所以10－3r＝1，所以r＝3，所以x的系數為C25－3(－1)3＝－40. 答案：　D 3．已知n的展開式中第三項與第五項的系數之比為，則展開式中常數項是(　　) A．－1 B．1 C．－45 D．45 解析：　由題知第三項的系數為C(－1)2＝C，第五項的系數為C(－1)4＝C，則有＝，解之得n＝10， 由Tr＋1＝Cx20－2rx－(－1)r， 當20－2r－＝0時，即當r＝8時， 常數項為C(－1)8＝C＝45，選D. 答案：　D 4.5(x∈R)展開式中x3的系數為10，則實數a等于(　　) A．－1 B. C．1 D．2 解析：　由二項式定理，得Tr＋1＝Cx5－rr＝Cx5－2rar，∴5－2r＝3，∴r＝1，∴Ca＝10，∴a＝2. 答案：　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．在6的二項展開式中，常數項等于________． 解析：　方法一：利用計數原理及排列組合知識求解． 常數項為Cx33＝20x3＝－160. 方法二：利用二項展開式的通項求解． Tr＋1＝Cx6－rr＝(－2)rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3. 所以常數項為T4＝(－2)3C＝－160. 答案：　－160 6．若n的展開式中第3項與第7項的二項式系數相等，則該展開式中的系數為________． 解析：　利用二項展開式的通項公式求解． 由題意知，C＝C，∴n＝8. ∴Tr＋1＝Cx8－rr＝Cx8－2r， 當8－2r＝－2時，r＝5， ∴的系數為C＝C＝56. 答案：　56 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．求(－)9展開式中的有理項． 解析：　∵Tk＋1＝C(x)9－k(－x)k＝(－1)kCx. 令∈Z，即4＋∈Z，且k＝0,1,2，…，9. ∴k＝3或k＝9. 當k＝3時，＝4，T4＝(－1)3Cx4＝－84x4； 當k＝9時，＝3，T10＝(－1)9Cx3＝－x3. ∴(－)9的展開式中的有理項是：第4項，－84x4；第10項，－x3. 8．已知在n的展開式中，第6項為常數項． (1)求n； (2)求x2的系數； (3)求展開式中所有的有理項． 解析：　(1)通項公式為 Tr＋1＝Cxrx－＝Crx， 因為第6項為常數項， 所以r＝5時，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，得 r＝(n－6)＝(10－6)＝2， ∴含x2的項的系數為C2＝. (3)由題意得，令＝k(k∈N*)，則10－2r＝3k，即r＝5－k. ∵r∈N*，∴k應為偶數．∴k＝2,0，－2.即r＝2,5,8. 所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為x2，，x－2. 9．(10分)求(1－x)6(1＋x)4的展開式中x3的系數． 解析：　方法一：∵(1－x)6的通項Tk＋1＝C(－x)k＝(－1)kCxk，k∈{0,1,2,3,4,5,6}，(1＋x)4的通項Tr＋1＝Cxr，r∈{0,1,2,3,4}， 又k＋r＝3， 則或或或 ∴x3的系數為C－CC＋CC－C＝8. 方法二：∵(1－x)6(1＋x)4 ＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2 ＝(1－x2)4(1－x)2 ＝(1－Cx2＋Cx4－Cx6＋Cx8)(1－x)2， ∴x3的系數為－C(－2)＝8.