【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 學業(yè)分層測評6 橢圓及其標準方程 新人教A版選修1-1 (建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1橢圓1的焦點坐標是()A(4,0)B(0，4)C(3,0)D(0，3)【解析】根據(jù)橢圓的標準方程可知，橢圓的焦點在y軸上，所以對應的焦點坐標為(0，3)，故選D.【答案】D2如果方程1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa>3Ba<2Ca>3或a<2Da>3或6<a<2【解析】由a2>a6>0，得所以所以a>3或6<a<2.【答案】D3已知a，c2，則該橢圓的標準方程為()A.1B.1或1C.y21D.y21或x21【解析】a，c2，b2()2(2)21，a213，而由于焦點不確定，D正確【答案】D4已知圓x2y21，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線，垂足為P，則PP的中點M的軌跡方程是()A4x2y21Bx21C.y21Dx21【解析】設點M的坐標為(x，y)，點P的坐標為(x0，y0)，則x，yy0.P(x0，y0)在圓x2y21上，xy1.將x02x，y0y代入方程，得4x2y21.故選A.【答案】A5橢圓1上的一點M到左焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，則|ON|等于()A2B4C8 D.【解析】如圖，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，連接MF2，則ON是F1MF2的中位線，|ON|MF2|，又|MF1|2，|MF1|MF2|2a10，|MF2|8，|ON|4.【答案】B二、填空題6橢圓1的焦距是2，則m的值是_【解析】當橢圓的焦點在x軸上時，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1.m41，m5.當橢圓的焦點在y軸上時，a24，b2m，c24m1，m3.【答案】3或57已知橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點，則橢圓C的標準方程為_. 【導學號：26160032】【解析】法一：依題意，可設橢圓C的方程為1(a>b>0)，且可知左焦點為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的標準方程為1.法二：依題意，可設橢圓C的方程為1(a>b>0)，則解得b212或b23(舍去)，從而a216，所以橢圓C的標準方程為1.【答案】18橢圓1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上若|PF1|4，則|PF2|_，F(xiàn)1PF2的大小為_【解析】由|PF1|PF2|6，且|PF1|4，知|PF2|2.在PF1F2中，cos F1PF2.F1PF2120.【答案】2120三、解答題9求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)橢圓上一點P(3,2)到兩焦點的距離之和為8；(2)橢圓兩焦點間的距離為16，且橢圓上某一點到兩焦點的距離分別等于9或15.【解】(1)若焦點在x軸上，可設橢圓的標準方程為1(a>b>0)由題意知2a8，a4，又點P(3,2)在橢圓上，1，得b2.橢圓的標準方程為1.若焦點在y軸上，設橢圓標準方程為1(a>b>0)2a8，a4，又點P(3,2)在橢圓上，1，得b212.橢圓的標準方程為1.由知橢圓的標準方程為1或1.(2)由題意知，2c16,2a91524，a12，c8，b280.又焦點可能在x軸上，也可能在y軸上，所求方程為1或1.10已知B，C是兩個定點，|BC|8，且ABC的周長為18，求這個三角形頂點A的軌跡方程【解】以過B，C兩點的直線為x軸，線段BC的中點為原點，建立平面直角坐標系由|BC|8，可知點B(4,0)，C(4,0)由|AB|BC|AC|18，得|AB|AC|10|BC|8.因此，點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，這個橢圓上的點與兩個焦點的距離之和為2a10，即a5，且點A不能在x軸上由a5，c4，得b29.所以點A的軌跡方程為1(y0)能力提升1已知P為橢圓C上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，且|F1F2|2，若|PF1|與|PF2|的等差中項為|F1F2|，則橢圓C的標準方程為()A.1B.1或1C.1D.1或1【解析】由已知2c|F1F2|2，c.2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2，b2a2c29.故橢圓C的標準方程是1或1.故選B.【答案】B2(2016銀川高二檢測)已知ABC的頂點B，C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是()A2B4C8D16【解析】設A為橢圓的左焦點，而BC邊過右焦點F，如圖可知|BA|BF|2a，|CA|CF|2a，兩式相加得|AB|BF|CA|CF|AB|AC|BC|4a.而橢圓標準方程為y21，因此a2，故4a8，故選C.【答案】C3(2016蘇州高二檢測)P為橢圓1上一點，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若F1PF260，則PF1F2的面積為_【解析】設|PF1|r1，|PF2|r2，由橢圓定義，得r1r220.由余弦定理，得(2c)2rr2r1r2cos 60，即rrr1r2144，由2，得3r1r2256，SPF1F2r1r2sin 60.【答案】4(2016南京高二檢測)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的兩焦點，B為橢圓上的點且坐標為(0，1)(1)若P是該橢圓上的一個動點，求|的最大值；(2)若C為橢圓上異于B的一點，且，求的值；(3)設P是該橢圓上的一個動點，求PBF1的周長的最大值. 【導學號：26160033】【解】(1)因為橢圓的方程為y21，所以a2，b1，c，即|F1F2|2，又因為|PF1|PF2|2a4，所以|PF1|PF2|224，當且僅當|PF1|PF2|2時取“”，所以|PF1|PF2|的最大值為4，即|的最大值為4.(2)設C(x0，y0)，B(0，1)，F(xiàn)1(，0)，由得x0，y0.又y1，所以有2670，解得7或1，又與方向相反，故1舍去，即7.(3)因為|PF1|PB|4|PF2|PB|4|BF2|，所以PBF1的周長4|BF2|BF1|8，所以當P點位于直線BF2與橢圓的交點處時，PBF1的周長最大，最大值為8.