【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量章末分層突破學(xué)案 北師大版必修4自我校對(duì)單位向量坐標(biāo)表示數(shù)乘向量坐標(biāo)夾角公式_平面向量的線性運(yùn)算1.向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運(yùn)算通常叫作向量的線性運(yùn)算2向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量因此對(duì)它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意大小、方向兩個(gè)方面3向量共線定理和平面向量基本定理是進(jìn)行向量合成與分解的核心，是向量線性運(yùn)算的關(guān)鍵所在，常應(yīng)用它們解決平面幾何中的共線問(wèn)題、共點(diǎn)問(wèn)題4題型主要有證明三點(diǎn)共線、兩直線平行、線段相等、求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)等已知OAB中，延長(zhǎng)BA到C，使ABAC，D是將OB分成21的一個(gè)分點(diǎn)，DC和OA交于E，設(shè)a，b(如圖21)，圖21(1)用a，b表示向量，；(1)若，求實(shí)數(shù)的值【精彩點(diǎn)撥】(1)根據(jù)平行四邊形法則求解(2)結(jié)合三角形法則與平行四邊形法則及向量共線定理求解【規(guī)范解答】(1)A為BC的中點(diǎn)，()，22ab，2abb2ab.(2)若，則a(2ab)(2)ab.與共線，存在實(shí)數(shù)m，使得m，即(2)abm，(2m2)ab0.a，b不共線，解得.再練一題1(1)若a，b是不共線的兩個(gè)向量，且a與b的起點(diǎn)相同，則實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，a，tb，(ab)三個(gè)向量的終點(diǎn)在一條直線上？(2)已知A(1,1)，B(1,5)，C(x，5)，D(4,7)，與共線，求x的值【解】(1)由題易知，存在唯一實(shí)數(shù).使得atbab，t，即當(dāng)t時(shí)，三向量共線(2)(2,4)，(4x,12)，2124(4x)，x2.向量的夾角、垂直及長(zhǎng)度問(wèn)題1.求夾角問(wèn)題求向量a，b夾角的步驟：(1)求|a|，|b|，ab；(2)求cos (夾角公式)；(3)結(jié)合的范圍0，確定的大小因此求向量的夾角先轉(zhuǎn)化為求向量夾角的余弦值，再結(jié)合夾角的范圍確定夾角的大小若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos .2垂直問(wèn)題這類問(wèn)題主要考查向量垂直的條件：若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abab0x1x2y1y20.3向量的模(1)|a|2a2，|a|.(2)若a(x，y)，則a2x2y2，|a|.(1)已知向量a與b的夾角為120，|a|3，|ab|，則|b|_.(2)已知向量a，b滿足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，則a與b的夾角為_(kāi)(3)若|a|1，|b|，(2ab)b，求a與b的夾角【精彩點(diǎn)撥】(1)利用模與數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解(2)結(jié)合已知條件利用向量的夾角公式計(jì)算(3)利用垂直關(guān)系結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求解【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閨ab|，所以|ab|213，即(ab)213，|a|22ab|b|213.又因?yàn)閍與b的夾角為120，|a|3，所以923|b|cos 120|b|213，|b|23|b|40，解得|b|4或|b|1(舍)(2)設(shè)a與b的夾角為，依題意有(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6，所以cos ，因?yàn)?，所以.【答案】(1)4(2)(3)由(2ab)b，則(2ab)b0，即2abb20，所以2|a|b|cos |b|20，即2cos 20，所以cos .又0，.再練一題2已知cmanb，c(2，2)，ac，b與c的夾角為，bc4，|a|2，求實(shí)數(shù)m，n的值及a與b的夾角.【解】c(2，2)，|c|4.ac，ac0.bc|b|c|cos |b|44.|b|2.cmanb，c2macnbc，16n(4)，因此n4.在cmanb兩邊同乘以a，得08m4ab.在cmanb兩邊同乘以b，得mab12.由，得m，ab2，cos .0，或.向量的實(shí)際應(yīng)用1.向量在平面幾何中的應(yīng)用，向量的加減運(yùn)算遵循平行四邊形法則或三角形法則，數(shù)乘運(yùn)算和線段平行之間、數(shù)量積運(yùn)算和垂直、夾角、距離問(wèn)題之間聯(lián)系密切，因此用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問(wèn)題2向量在解析幾何中的應(yīng)用，主要利用向量平行與垂直的坐標(biāo)條件求直線的方程3在物理中的應(yīng)用，主要解決力向量、速度向量等問(wèn)題已知e1(1,0)，e2(0,1)，今有動(dòng)點(diǎn)P從P0(1,2)開(kāi)始，沿著與向量e1e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為|e1e2|；另一動(dòng)點(diǎn)Q從Q0(2，1)開(kāi)始，沿著與向量3e1e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為|3e12e2|，設(shè)P，Q在t0 s時(shí)分別在P0，Q0處，問(wèn)當(dāng)時(shí)，所需的時(shí)間為多少？【精彩點(diǎn)撥】求出t s后，P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)由數(shù)量積為0建立方程求解【規(guī)范解答】e1e2(1,1)，|e1e2|，其單位向量為；3e12e2(3,2)，|3e12e2|，其單位向量為，如圖依題意，|t，|t，|(t，t)，|(3t,2t)由P0(1,2)，Q0(2，1)，得P(t1，t2)，Q(3t2,2t1)，(1，3)，(2t1，t3)由于，0，即2t13t90，解得t2，即當(dāng)時(shí)，所需時(shí)間為2 s.再練一題3.已知ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC邊的中點(diǎn)，BEAD，垂足為E，延長(zhǎng)BE交AC于F，連接DF，求證：ADBFDC.圖22【證明】如圖，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,2)，C(2,0)，則D(1,0)，(2，2)設(shè)，則(0,2)(2，2)(2，22)又因?yàn)?1,2)，由題設(shè)，所以0，所以22(22)0，所以，所以，所以.又因?yàn)?1,0)，所以cosADB，cosFDC.又因?yàn)锳DB，F(xiàn)DC(0，)，所以ADBFDC.待定系數(shù)法在向量中的應(yīng)用1.待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中一種非常重要的方法，對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若已知所求結(jié)果具有的某種形式，則可引入一些尚待確定的系數(shù)(參數(shù))來(lái)表示該結(jié)果，通過(guò)變形比較，建立含有參數(shù)(待定字母)的方程(組)進(jìn)行求解2待定系數(shù)法在向量中有著廣泛的應(yīng)用，如兩向量平行，垂直或平面向量基本定理等就是這種形式的體現(xiàn)如圖23，在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，N在AC上且AN2NC，AM與BN交于點(diǎn)P，求APPM的值圖23【精彩點(diǎn)撥】本題主要考查三角形法則、平面向量共線基本定理，適當(dāng)選取基底表示出，因?yàn)辄c(diǎn)A，P，M共線，若有，則為APPM的值【規(guī)范解答】設(shè)e1，e2，3e2e1，2e1e2.A，P，M與B，P，N共線，(e13e2)，(2e1e2)，(2e1e2)(e13e2)2e13e2，APPM41.再練一題4設(shè)平面內(nèi)給定的三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n的值【解】ambnc，(3,2)m(1,2)n(4,1)(4nm,2mn)，解得1(2015陜西高考)對(duì)任意向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2【解析】根據(jù)ab|a|b|cos ，又cos 1，知|ab|a|b|，A恒成立當(dāng)向量a和b方向不相同時(shí)，|ab|>|a|b|，B不恒成立根據(jù)|ab|2a22abb2(ab)2，C恒成立根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)得(ab)(ab)a2b2，D恒成立【答案】B2(2015安徽高考)ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結(jié)論正確的是()A|b|1BabCab1 D(4ab)【解析】在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故選D.【答案】D3(2015福建高考)已知，|，|t.若點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最大值等于()A13 B15C19 D21【解析】，故可以A為原點(diǎn)，AB，AC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)B，C(t,0)，則(4,1)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,1).(t4，1)4t171721713.當(dāng)且僅當(dāng)4t，即t時(shí)(負(fù)值舍去)取得最大值13.【答案】A4(2015天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且，則的最小值為_(kāi)【解析】在等腰梯形ABCD中，由ABDC，AB2，BC1，ABC60可得ADDC1.建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0)，B(2,0)，C，D，(2,0)，(1,0)，E.，F(xiàn).2.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，符合題意的最小值為.【答案】