【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)3 合情推理 新人教A版選修1-2 (建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1(2016鄭州高二檢測(cè))下列說(shuō)法正確的是()A由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B合情推理必須有前提有結(jié)論C合情推理不能猜想D合情推理得出的結(jié)論無(wú)法判定正誤【解析】合情推理得出的結(jié)論不一定正確，故A錯(cuò)；合情推理必須有前提有結(jié)論，故B對(duì)；合情推理中類(lèi)比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類(lèi)對(duì)象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，可進(jìn)行猜想，故C錯(cuò)；合情推理得出的結(jié)論可以進(jìn)行判定正誤，故D錯(cuò)【答案】B2下面使用類(lèi)比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A“若a3b3，則ab”類(lèi)比推出“若a0b0，則ab”B“(ab)cacbc”類(lèi)比推出“(ab)cacbc”C“(ab)cacbc”類(lèi)比推出“(c0)”D“(ab)nanbn”類(lèi)比推出“(ab)nanbn”【解析】由實(shí)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)易得C項(xiàng)正確【答案】C3(2016大連高二檢測(cè))用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖217所示，圖217按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A6n2B8n2C6n2D8n2【解析】從可以看出，從第個(gè)圖開(kāi)始每個(gè)圖中的火柴棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個(gè)“金魚(yú)”圖需火柴棒的根數(shù)為6n2.【答案】C4對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類(lèi)比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A一條中線上的點(diǎn)，但不是中心B一條垂線上的點(diǎn)，但不是垂心C一條角平分線上的點(diǎn)，但不是內(nèi)心D中心【解析】由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個(gè)面的中心【答案】D5(2016南昌調(diào)研)已知整數(shù)對(duì)的序列為(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，則第57個(gè)數(shù)對(duì)是()A(2,10)B(10,2)C(3,5)D(5,3)【解析】由題意，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)對(duì)有如下規(guī)律：(1,1)的和為2，共1個(gè)；(1,2)，(2,1)的和為3，共2個(gè)；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和為4，共3個(gè)；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和為5，共4個(gè)；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和為6，共5個(gè)由此可知，當(dāng)數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)字之和為n時(shí)，有n1個(gè)數(shù)對(duì)易知第57個(gè)數(shù)對(duì)中兩數(shù)之和為12，且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對(duì)中的第2個(gè)數(shù)對(duì)，故為(2,10)【答案】A二、填空題6把正數(shù)排列成如圖218甲的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖218乙的三角形數(shù)陣，現(xiàn)把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個(gè)數(shù)列an，若an2 017，則n_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：19220014】12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16甲12 45 7 910 12 14 16乙圖218【解析】圖乙中第k行有k個(gè)數(shù)，第k行最后的一個(gè)數(shù)為k2，前k行共有個(gè)數(shù)，由44441 936,45452 025知an2 017出現(xiàn)在第45行，第45行第一個(gè)數(shù)為1 937，第141個(gè)數(shù)為2 017，所以n411 031.【答案】1 0317(2016日照高二檢測(cè))二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l2r，二維測(cè)度(面積)Sr2，觀察發(fā)現(xiàn)Sl；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S4r2，三維測(cè)度(體積)Vr3，觀察發(fā)現(xiàn)VS.已知四維空間中“超球”的三維測(cè)度V8r3，猜想其四維測(cè)度W_.【解析】因?yàn)閂8r3，所以W2r4，滿足WV.【答案】2r48已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列，a52，則an的類(lèi)似結(jié)論為_(kāi)【解析】結(jié)合等差數(shù)列的特點(diǎn)，類(lèi)比等比數(shù)列中b1b2b3b929可得，在an中，若a52，則有a1a2a3a929.【答案】a1a2a3a929三、解答題9已知數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，計(jì)算S1，S2，S3，S4，觀察計(jì)算結(jié)果，并歸納出Sn的公式【解】S1，S2，S3，S4，由此歸納猜想Sn.10(2016咸陽(yáng)高二檢測(cè))在平面幾何中，研究正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)與三邊的關(guān)系時(shí)，我們有真命題：邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值a.類(lèi)比上述命題，請(qǐng)你寫(xiě)出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)面的關(guān)系的一個(gè)真命題，并給出簡(jiǎn)要的證明【解】類(lèi)比所得的真命題是：棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和是定值a.證明：設(shè)M是正四面體PABC內(nèi)任一點(diǎn)，M到平面ABC，平面PAB，平面PAC，平面PBC的距離分別為d1，d2，d3，d4.由于正四面體四個(gè)面的面積相等，故有：VPABCVMABCVMPABVMPACVMPBCSABC(d1d2d3d4)，而SABCa2，VPABCa3，故d1d2d3d4a(定值)能力提升1根據(jù)給出的數(shù)塔，猜測(cè)123 45697等于()19211；1293111；123941 111；1 2349511 111；12 34596111 111；A1 111 110B1 111 111C1 111 112D1 111 113【解析】由前5個(gè)等式知，右邊各位數(shù)字均為1，位數(shù)比前一個(gè)等式依次多1位，所以123 456971 111 111，故選B.【答案】B2已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則2”若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等”，則()A1B2C3D4【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，即易知其高AM，此時(shí)易知點(diǎn)O即為正四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等體積法有4rr，故AOAMMO，故AOOM31.【答案】C3(2016溫州高二檢測(cè))如圖219所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其離心率為，此類(lèi)橢圓被稱為“黃金橢圓”類(lèi)比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于_【導(dǎo)學(xué)號(hào)：19220015】圖219【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則F(c,0)，B(0，b)，A(a,0)，所以(c，b)，(a，b)又因?yàn)?，所以b2ac0，所以c2a2ac0，所以e2e10，所以e或e(舍去)【答案】4某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論【解】(1)選擇式，計(jì)算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.