第27課時(shí)　直線與圓的位置關(guān)系 　　　　　　課時(shí)目標(biāo) 1.會(huì)用代數(shù)方法和幾何方法討論直線與圓的三種位置關(guān)系． 2．掌握求圓的切線的方法． 3．初步學(xué)習(xí)、體會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度． 　　識(shí)記強(qiáng)化 　直線與圓位置關(guān)系的判定有兩種方法： ①代數(shù)法：通過(guò)直線方程與圓的方程所組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來(lái)研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即Δ＞0，則相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即Δ＝0，則相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即Δ＜0，則相離． ②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來(lái)判斷：當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d＝r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離． 　　課時(shí)作業(yè) 一、選擇題(每個(gè)5分，共30分) 1．直線3x＋4y＋12＝0與⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系是(　　) A．相交并且直線過(guò)圓心 B．相交但直線不過(guò)圓心 C．相切 D．相離 答案：D 解析：圓心C(1,1)到直線的距離d＝＝，⊙C的半徑r＝3，則d＞r，所以直線與圓相離． 2．設(shè)直線過(guò)點(diǎn)(0，a)，其斜率為1，且與圓x2＋y2＝2相切，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．4　　B．2 C．2 D． 答案：C 解析：由題意，知直線方程為y－a＝x，即x－y＋a＝0.又直線與圓相切，所以＝，所以a＝2. 3．圓x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直線x－y－5＝0所得的弦長(zhǎng)等于(　　) A. B. C．1 D．5 答案：A 解析：圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋2)2＝2，則圓的半徑r＝，圓心到直線的距離d＝＝，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2＝2＝. 4．與⊙C：x2＋(y＋4)2＝8相切并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有(　　) A．4條 B．3條 C．2條 D．1條 答案：B 5．若過(guò)點(diǎn)A(0，－1)的直線l與圓x2＋(y－3)2＝4的圓心的距離為d，則d的取值范圍為(　　) A．0,4] B．0,3] C．0,2] D．0,1] 答案：A 解析：圓x2＋(y－3)2＝4的圓心坐標(biāo)為(0,3)，半徑為2，點(diǎn)A(0，－1)在圓外，則當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，d最小，當(dāng)直線l垂直于點(diǎn)A與圓心的連線時(shí)，d最大，即d的最小值為0，最大值為＝4，所以d∈0,4]． 6．直線l過(guò)點(diǎn)(－4,0)且與圓(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B兩點(diǎn)，如果|AB|＝8，那么直線l的方程為(　　) A．5x＋12y＋20＝0 B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0 C．5x－12y＋20＝0 D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0 答案：D 解析：∵圓的半徑為5，|AB|＝8，∴圓心(－1,2)到直線l的距離為3. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(－4,0)，所以直線l的方程為x＝－4.此時(shí)圓心(－1,2)到直線l的距離為3，滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，則圓心(－1,2)到直線l的距離為＝3，解之得k＝－，∴直線l的方程為－x－y－＝0，整理得5x＋12y＋20＝0.綜上所述，滿足題意的直線l為5x＋12y＋20＝0或x＝－4，故選D. 二、填空題(每個(gè)5分，共15分) 7．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為_(kāi)_______． 答案：x－y＋2＝0 解析：由題意，知圓心為(2,0)，圓心與點(diǎn)P連線的斜率為－，所以所求切線的斜率為，則在點(diǎn)(1，)處的切線方程為x－y＋2＝0. 8．垂直于直線2x－y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程為_(kāi)_________． 答案：x＋2y＋5＝0或x＋2y－5＝0 解析：設(shè)所求直線方程為x＋2y＋m＝0， 依題意＝， ∴m＝5. 9．以C(2，－1)為圓心，截直線x＋y＋1＝0所得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程是__________． 答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝4 解析：已知弦長(zhǎng)求圓的半徑，利用r2＝d2＋2，r為圓的半徑，為弦長(zhǎng)的一半，d為圓心到直線的距離． ∵d＝＝，＝，∴r＝＝2， ∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4. 三、解答題 10．(12分)設(shè)圓上的點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x＋2y＝0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，且直線x－y＋1＝0被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求圓的方程． 解：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由題意，知直線x＋2y＝0過(guò)圓心， ∴a＋2b＝0.① 又點(diǎn)A在圓上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2.② ∵直線x－y＋1＝0被圓截得的弦長(zhǎng)為2， ∴()2＋2＝r2.③ 由①②③可得或 故所求方程為(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244. 11．(13分)已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0. (1)求證：對(duì)任意的m∈R，直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)； (2)設(shè)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程． 解：(1)方法一：由已知可得直線l：(x－1)m－y＋1＝0， ∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)P(1,1)． 又12＋(1－1)2＝1＜5， ∴點(diǎn)P在圓內(nèi)， ∴對(duì)任意的m∈R，直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)． 方法二：圓心C(0,1)到直線l的距離為d＝＝＜＝1＜， ∴直線l與圓C相交， ∴對(duì)任意的m∈R，直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)． (2)如圖所示，由(1)，知直線l恒過(guò)定點(diǎn)P(1,1)，且直線l的斜率存在． 又M是AB的中點(diǎn)，∴CM⊥MP， ∴點(diǎn)M在以CP為直徑的圓上． 又以CP為直徑的圓的方程為(x－)2＋(y－1)2＝， ∴點(diǎn)M的軌跡方程為(x－)2＋(y－1)2＝(x≠1)． 　　能力提升 12．(5分)過(guò)點(diǎn)A(11,2)作圓x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有________條． 答案：32 解析：圓方程化為(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圓心為(－1,2)，到點(diǎn)A(11,2)的距離為12，最短弦長(zhǎng)為10，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為26，所以所求直線條數(shù)為2＋2(25－10)＝32(條)． 13．(15分)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)； (2)求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程． 解：(1)證明：直線方程可變形為(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0. ∵m∈R， ∴，? ∴直線l必過(guò)定點(diǎn)A(3,1)． 又圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25的半徑為5， 而(3－1)2＋(1－2)2＝5<25. ∴點(diǎn)A(3,1)在圓C內(nèi)． 故l必與圓C恒交于兩點(diǎn)． (2)要使弦長(zhǎng)最小，必須l⊥AC. 又圓心C(1,2)和定點(diǎn)A(3,1)所在直線l1的斜率k1＝－，所以kl＝2. ∴直線l的方程為2x－y－5＝0.