2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1 數(shù)學(xué)歸納法課后練習(xí) 新人教A版選修4-5一、選擇題1下列命題中能用數(shù)學(xué)歸納法證明的是()A三角形的內(nèi)角和為180B(1n)(1nn2n100)1n101(nR)C.(n0)Dcoscos3cos(2n1)(sin0，nN)解析：因為數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，只有D符合要求答案：D2某個命題：(1)當(dāng)n1時，命題成立(2)假設(shè)nk(k1，kN)時成立，可以推出nk2時也成立，則命題對_成立()A正整數(shù)B正奇數(shù)C正偶數(shù) D都不是解析：由題意知，k1時，k23；k3時，k25，依此類推知，命題對所有正奇數(shù)成立答案：B3用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使n2k1時正確，再推n2k3正確B假使n2k1時正確，再推n2k1正確C假使nk時正確，再推nk1正確D假使nk(k1)時正確，再推nk2時正確(以上kN*)解析：因為是奇數(shù)，所以排除C、D，又當(dāng)kN*時，A中2k1取不到1，所以選B.答案：B4空間中有n個平面，它們中任何兩個不平行，任何三個不共線，設(shè)k個這樣的平面把空間分成f(k)個區(qū)域，則k1個平面把空間分成的區(qū)域數(shù)f(k1)f(k)_.()Ak1 BkCk1 D2k解析：空間中有個平面，它們中任何兩個不平行，任何三個不共線，則當(dāng)nk1時，即增加一個平面，所以與k個平面都相交有k條交線，一條交線把平面分成兩部分，所以k條交線把平面分成2k部分；一部分平面又把空間分為兩部分，故新增加的空間區(qū)域為2k部分答案：D二、填空題5用數(shù)學(xué)歸納法證明coscos3cos(2n1)sincos(n，nN)，在驗證n1等式成立時，左邊計算所得的項是_解析：由等式的特點知，當(dāng)n1時，左邊從第一項起，一直加到cos(2n1).答案：cos6用數(shù)學(xué)歸納法證明n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2，從nk到nk1一步時，等式左邊應(yīng)增添的式子是_解析：等式左邊從k到k1需增加的代數(shù)式可以先寫出nk時兩邊，再將式子中的n用k1來代入，得出nk1時的等式，然后比較兩式，得出需增添的式子是(3k1)3k(3k1)k.答案：(3k1)3k(3k1)k三、解答題7求證：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN)證明：(1)當(dāng)n1時，等式左邊2，等式右邊212，等式成立(2)假設(shè)nk(kN)時等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)成立那么nk1時，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)2k1135(2k1)2(k1)1即nk1時等式成立由(1)(2)可知對任何nN等式均成立8用數(shù)學(xué)歸納法證明：34n252n1能被14整除(nN*)證明：(1)當(dāng)n1時，3412521136538546114，能被14整除(2)假設(shè)當(dāng)nk時，命題成立，即34k252k1能被14整除，則當(dāng)nk1時，34(k1)252(k1)134k652k33434k23452k13452k15252k134(34k252k1)52k1(3452)34(34k252k1)5652k1，由此可知，34(k1)252(k1)1也能被14整除這就是說，當(dāng)nk1時，命題也成立由(1)(2)可知，對任何nN*,34n252n1能被14整除9有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f(n)n2n2個部分證明：(1)當(dāng)n1時，即一個圓把平面分成二個部分f(1)2，又n1時，n2n22，命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)k2k2個部分，那么設(shè)第k1個圓為O，由題意，它與k個圓中每個圓交于兩點，又無三圓交于同一點，于是它與其他k個圓相交于2k個點把O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊，因此這平面的總區(qū)域增加2k塊，即f(k1)k2k22k(k1)2(k1)2，即nk1時命題成立由(1)(2)可知對任何nN命題均成立