【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)業(yè)分層測評12 數(shù)學(xué)歸納法 新人教A版選修4-5 (建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1設(shè)f(n)1(nN)，則f(n1)f(n)等于()A.B.C. D.【解析】因?yàn)閒(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).故選D.【答案】D2在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時，第一步檢驗(yàn)第一個值n0等于()A1 B2C3D.0【解析】邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形【答案】C3已知a1，an1，猜想an等于() 【導(dǎo)學(xué)號：32750066】A. B.C. D.【解析】a2，a3，a4，猜想an.【答案】D4用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)時，從“k到k1”左邊需增乘的代數(shù)式是()A2k1 B.C2(2k1) D.【解析】當(dāng)nk1時，左邊(k11)(k12)(k1k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(k1)(k2)(k3)(kk)2(2k1)【答案】C5記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)等于f(k)加上()A. BC2 D.【解析】從nk到nk1時，內(nèi)角和增加.【答案】B二、填空題6觀察式子11,14(12)，149123，猜想第n個式子應(yīng)為_【答案】14916(1)n1n2(1)n17用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1(nN)”的過程中，第二步假設(shè)nk時等式成立，則當(dāng)nk1時應(yīng)得到_【解析】nk時，命題為“12222k12k1”，nk1時為使用歸納假設(shè)，應(yīng)寫成12222k12k2k12k2k11.【答案】12222k12k2k118用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被14整除，當(dāng)nk1時，對于34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_【解析】34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.【答案】81(34k152k1)5652k1三、解答題9用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n2，nN)【證明】(1)當(dāng)n2時，左邊1，右邊.等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時，等式成立，即(k2，kN)當(dāng)nk1時，當(dāng)nk1時，等式成立根據(jù)(1)和(2)知，對n2，nN時，等式成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意正整數(shù)n，整式anbn都能被ab整除【證明】(1)當(dāng)n1時，anbnab能被ab整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時，akbk能被ab整除，那么當(dāng)nk1時，ak1bk1ak1akbakbbk1ak(ab)b(akbk)因?yàn)?ab)和akbk都能被ab整除，所以上面的和ak(ab)b(akbk)也能被ab整除這也就是說當(dāng)nk1時，ak1bk1能被ab整除根據(jù)(1)(2)可知對一切正整數(shù)n，anbn都能被ab整除能力提升1設(shè)f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于() 【導(dǎo)學(xué)號：32750067】A. B.C. D.【解析】因?yàn)閒(n)，所以f(n1)，所以f(n1)f(n).【答案】D2某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明n1(nN)的過程如下：證明：(1)當(dāng)n1時，顯然命題是正確的：(2)假設(shè)nk時有k1，那么當(dāng)nk1時，(k1)1，所以當(dāng)nk1時命題是正確的由(1)(2)可知對于nN，命題都是正確的以上證法是錯誤的，錯誤在于()A從k到k1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B歸納假設(shè)的寫法不正確C從k到k1的推理不嚴(yán)密D當(dāng)n1時，驗(yàn)證過程不具體【解析】證明(k1)1時進(jìn)行了一般意義的放大而沒有使用歸納假設(shè)k1.【答案】A3用數(shù)學(xué)歸納法證明2232n21(nN，且n1)時，第一步應(yīng)驗(yàn)證n_，當(dāng)nk1時，左邊的式子為_【解析】所證明的等式為2232n21(nN，n1)又第一步驗(yàn)證的值應(yīng)為第一個值(初始值)，n應(yīng)為2.又當(dāng)nk1時，等式左邊的式子實(shí)際上是將左邊式子中所有的n換成k1，即2232k2(k1)2.【答案】22232k2(k1)24是否存在常數(shù)a，b，c使等式(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c對一切正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論【解】存在分別用n1,2,3代入，解方程組得故原等式右邊.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n1時，由上式可知等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時等式成立，即(k212)2(k222)k(k2k2)k4k2.則當(dāng)nk1時，左邊(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k212)2(k222)k(k2k2)(2k1)2(2k1)k(2k1)k4k2(2k1)(k1)4(k1)2，故nk1時，等式成立由(1)(2)得等式對一切nN均成立