【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 學業(yè)分層測評13 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例 新人教A版選修4-5 (建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立那么下列命題總成立的是()A若f(3)9成立，則當k1時，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，則當k5時，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，則當k8時，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，則當k4時，均有f(k)k2成立【解析】根據(jù)題中條件可知：由f(k)k2，必能推得f(k1)(k1)2，但反之不成立，因為D中f(4)2542，故可推得k4時，f(k)k2，故只有D正確【答案】D2用數(shù)學歸納法證明“對于任意x0和正整數(shù)n，都有xnxn2xn4n1”時，需驗證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應為()An01Bn02Cn01,2D.以上答案均不正確【解析】需驗證：n01時，x11成立【答案】A3利用數(shù)學歸納法證明不等式1<f(n)(n2，nN)的過程，由nk到nk1時，左邊增加了() 【導學號：32750070】A1項Bk項C2k1項D2k項【解析】11，共增加2k項【答案】D4若不等式>對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為()A12B13C14D.不存在【解析】令f(n)，易知f(n)是單調(diào)遞增的，f(n)的最小值為f(2).依題意>，m<14.因此取m13.【答案】B5用數(shù)學歸納法證明不等式(n2，nN)的過程中，由nk遞推到nk1時不等式左邊()A增加了一項B增加了兩項，C增加了B中兩項但減少了一項D以上各種情況均不對【解析】nk時，左邊，nk1時，左邊，增加了兩項，少了一項.【答案】C二、填空題6用數(shù)學歸納法證明“2n1n2n2(nN)”時，第一步的驗證為_【解析】當n1時，2111212，即44成立【答案】21112127證明1n1(n1)，當n2時，要證明的式子為_【解析】當n2時，要證明的式子為213.【答案】2138在ABC中，不等式成立；在四邊形ABCD中，不等式成立；在五邊形ABCDE中，不等式成立猜想在n邊形A1A2An中，類似成立的不等式為_【解析】由題中已知不等式可猜想：(n3且nN)【答案】(n3且nN)三、解答題9已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1，an2SnSn10(n2)(1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(2)證明：SSS.【解】(1)S1a1，2.當n2時，anSnSn1，即SnSn12SnSn1，2.故是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列(2)證明：當n1時，S，不等式成立假設nk(k1，且kN)時，不等式成立，即SSS成立，則當nk1時，SSSS<.即當nk1時，不等式成立由可知對任意nN不等式成立10已知函數(shù)f(x)x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，且an1f(an1)，證明：an2n1(nN*)【證明】由f(x)x3x，得f(x)x21.因此an1f(an1)(an1)21an(an2)，(1)當n1時，a11211，不等式成立(2)假設當nk時，不等式成立，即ak2k1，當nk1時，ak1ak(ak2)(2k1)(2k12)22k1.又k1，22k2k1，nk1時，ak12k11，即不等式成立根據(jù)(1)和(2)知，對任意nN，an2n1成立能力提升1對于正整數(shù)n，下列不等式不正確的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n10.1nD.0.1n10.9n【解析】排除法，取n2，只有C不成立【答案】C2利用數(shù)學歸納法證明“”時，n的最小取值n0應為_. 【導學號：32750071】【解析】n01時不成立，n02時，再用數(shù)學歸納法證明，故n02.【答案】23設a，b均為正實數(shù)(nN)，已知M(ab)n，Nannan1b，則M，N的大小關(guān)系為_.【解析】當n1時，MabN，當n2時，M(ab)2，Na22abM，當n3時，M(ab)3，Na33a2bM，歸納得MN.【答案】MN4已知f(x)，對于nN，試比較f()與的大小并說明理由【解】據(jù)題意f(x)1，f()1.又1，要比較f()與的大小，只需比較2n與n2的大小即可，當n1時，212121，當n2時，22422，當n3時，238329，當n4時，241642，當n5時，25325225，當n6時，26646236.故猜測當n5(nN)時，2nn2，下面用數(shù)學歸納法加以證明(1)當n5時，不等式顯然成立(2)假設nk(k5且kN)時，不等式成立，即2kk2.則當nk1時，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2，即nk1時，不等式也成立由(1)(2)可知，對一切n5，nN，2nn2成立綜上所述，當n1或n5時，f()，當n2或n4時，f()，當n3時，f().