學業(yè)質量標準檢測(解三角形、數列部分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1在銳角三角形ABC中，已知A2C，則的范圍是(C)A(0,2)B(，2)C(，)D(，2)解析2cosC，又ABC，A2C，<C<，<<.2(2016安徽蚌埠市質檢)已知2a3bm，且a，ab，b成等差數列，則m(C)ABCD6解析2a3bm，alog2m，blog3m.又a，ab，b成等差數列，2abab2logm2logm3logm6，m.3在ABC中，若(aacosB)sinB(bccosC)sinA，則這個三角形是(D)A底角不等于45的等腰三角形B銳角不等于45的直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得asinBbsinA，asinBcosBcsinAcosC，sinAsinBcosBsinCsinAcosCsin2Bsin2CBC，或2B2C，即BC.4等差數列an中，a1a4a739，a3a6a927，則數列an前9項的和S9等于(B)A66B99C144D297解析設biaiai3ai6，則由條件知bn為等差數列，且b139，b327，公差d6，數列an前9項的和a1a2a9b1b2b33b23(b1d)3(396)99.5ABC的三邊分別為a，b，c，且a1，B45，SABC2，則ABC的外接圓的直徑為(C)A4B5C5D6解析SABCacsinB，c4.由余弦定理，得b2a2c22accosB25，b5.由正弦定理，得2R5(R為ABC外接圓的半徑)，故選C6(2015新課標文，7)已知an是公差為1的等差數列，Sn為an的前n項和若S84S4，則a10(B)ABC10D12解析由題可知：等差數列an的公差d1，因為等差數列Sna1n，且S84S4，代入計算可得a1；等差數列的通項公式為ana1(n1)d，則a10(101)1.故本題正確答案為B7在ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>b>c，a2<b2c2，則A的取值范圍為(C)A(，)B(，)C(，)D(0，)解析由題意，得cosA>0，A<.又a>b>c，A>B>C又ABC，A>，故選C8(2015唐山市一模)已知等比數列an的前n項和為Sn，且a1a3，a2a4，則(C)A4n1B4n1C2n1D2n1解析設公比為q，則a1(1q2)，a2(1q2)，q，a1a1，a12.ana1qn12()n1，Sn41()n，2(2n1)2n1.點評用一般解法解出a1、q，計算量大，若注意到等比數列的性質及求，可簡明解答如下：a2a4q(a1a3)，q，2n1.9根據下邊框圖，對大于2的整數N，輸出的數列的通項公式是(C)Aan2nBan2(n1)Can2nDan2n1解析由程序框圖可知a12，a222，a323，an2n.10已知等比數列an中，an>0，a5、a95為方程x210x160的兩根，則a20a50a80的值為(B)A32B64C256D64解析由條件知a5a9510，a5a9516，an是等比數列，a16，an>0，a504，a20a50a80a64.11ABC中，AB12，ACB的平分線CD把ABC的面積分成32兩部分，則cosA等于(C)ABCD0解析CD為ACB的平分線，點D到AC與點D到BC的距離相等，ACD與BCD的高相等AB12，AC>BCSACDSBCD32，.由正弦定理，得，又B2A，cosA.12若ABC的三邊為a，b，c，f(x)b2x2(b2c2a2)xc2，則函數f(x)的圖象(B)A與x軸相切B在x軸上方C在x軸下方D與x軸交于兩點解析函數f(x)相應方程的判別式(b2c2a2)24b2c2(2bccosA)24b2c24b2c2(cos2A1)0<A<，cos2A1<0，<0，函數圖象與x軸沒交點故選B二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分將正確答案填在題中橫線上)13(2015安徽文，13)已知數列an中，a11，anan1(n2)，則數列an的前9項和等于27.解析n2時，anan1，且a11，an是以1為首項，為公差的等差數列S99191827.14三角形一邊長14，它對的角為60，另兩邊之比為85，則此三角形面積為40.解析設另兩邊長為8x和5x，則cos60，x2，另兩邊長為16和10，此三角形面積S1610sin6040.15若數列an滿足a12，an1，則a20161.解析a12，an1，a21，a311，a412，a51，數列an的值呈周期出現，周期為3.a2016a31.16(2014新課標理，16)已知a，b，c分別為 ABC的三個內角A，B，C的對邊，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，則ABC面積的最大值為.解析由a2，(2b)(sinAsinB)(cb)sinC及正弦定理可得，(ab)(ab)(cb)cb2c2a2bc，cosA，A60.在ABC中，a2b2c22bccos60b2c2bc2bcbcbc，(等號在bc時成立)，bc4.SABCbcsinA4.三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)(2016河北邯鄣市一模)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足acosBbcosA2ccosC(1)求C；(2)若ABC的面積為2，ab6，求ACB的角平分線CD的長度解析(1)已知acosBbcosA2ccosC，由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA2sinCcosC，所以sin(AB)2sinCcosC，即sinC2sinCcosC因為0<C<，所以cosC，故C.(2)方法一：由已知，得SabsinCab2，所以ab8.又ab6，解得，或當時，由余弦定理，得c241622412，所以c2.所以b2a2c2，ABC為直角三角形，B.因為CD平分ACB，所以BCD.在RtBCD中，CD.當時，同理可得CD.方法二：在ABC中，因為CD平分ACB，所以ACDBCD.因為SABCSACDSBCD，所以SABCb CDsinaCDsinCDsin(ab)(ab)CD因為SABC2，ab6，即26CD，解得CD.18(本題滿分12分)(2016甘肅省一診)在ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，若m(cos2，1)，n(cos2(BC)，1)，且mn.(1)求角A；(2)當a6，且ABC的面積S滿足時，求邊c的值和ABC的面積解析(1)因為mn，所以cos2(BC)cos2cos2Acos2cos2A0，即2cos2AcosA10，(2cosA1)(coaA1)0.所以cosA或cosA1(舍去)，即A120.(2)由及余弦定理，得tanC，所以C30.又由正弦定理，得c2.所以ABC的面積SacsinB3.19(本題滿分12分)(2016廣西自治區(qū)質檢)已知數列an的前n項和為Sn，且Snan1(nN*).(1)求數列an的通項公式；(2)設bn2log31，求.解析(1)當n1時，a1a11，a12.Snan1，Sn1an11(n2)，得an(an1)(an11)，即an3an1，數列an是首項為2，公比為3的等比數列，an23n1.(2)由(1)得bn2log312n1，(1)()().20(本題滿分12分)用分期付款的方式購買一批總價為2 300萬元的住房，購買當天首付300萬元，以后每月的這一天都交100萬元，并加付此前欠款的利息，設月利率為1%.若從首付300萬元之后的第一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第10個月應付多少萬元？全部貸款付清后，買這批住房實際支付多少萬元？解析購買時付款300萬元，則欠款2 000萬元，依題意分20次付清，則每次交付欠款的數額依次購成數列an，故a11002 0000.01120(萬元)，a2100(2 000100)0.01119(萬元)，a3100(2 0001002)0.01118(萬元)，a4100(2 0001003)0.01117(萬元)，an1002 000100(n1)0.01121n(萬元)(1n20，nN*)因此an是首項為120，公差為1的等差數列故a1012110111(萬元)，a2012120101(萬元)20次分期付款的總和為S202 210(萬元)實際要付3002 2102 510(萬元)即分期付款第10個月應付111萬元；全部貸款付清后，買這批住房實際支付2 510萬元21(本題滿分12分)在ABC中，若a2c2b2ac，log4sinAlog4sinC1，SABC，求三邊a，b，c的長及三個內角A，B，C的度數.解析由a2c2b2ac，得cosB.0<B<180，B60.SABCacsinBac，ac4.由log4sinAlog4sinC1，得sinAsinC.由正弦定理，得，R2(負值舍去)b2RsinB222.由已知，得a2c2(2)24.當a>c時，由，得a，c.三邊的長分別為a，b2，c.由正弦定理，得sinAsin105.A105，即C15.同理，當a<c時，a，b2，c，A15，B60，C105.22(本題滿分14分)(2015石家莊市一模)設數列an的前n項和為Sn，a11，an1Sn1(nN*，1)，且a1、2a2、a33為等差數列bn的前三項.(1)求數列an、bn的通項公式；(2)求數列anbn的前n項和解析(1)解法1：an1Sn1(nN*)，anSn11(n2)，an1anan，即an1(1)an(n2)，10，又a11，a2S111，數列an為以1為首項，公比為1的等比數列，a3(1)2，4(1)1(1)23，整理得2210，得1an2n1，bn13(n1)3n2，解法2：a11，an1Sn1(nN*)，a2S111，a3S21(11)221，4(1)12213，整理得2210，得1an1Sn1(nN*)，anSn11(n2)an1anan，即an12an(n2)，又a11，a22，數列an為以1為首項，公比為2的等比數列，an2n1，bn13(n1)3n2.(2)anbn(3n2)2n1，Tn11421722(3n2)2n12Tn121422723(3n5)2n1(3n2)2n得Tn1132132232n1(3n2)2n13(3n2)2n整理得：Tn(3n5)2n5.