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學業(yè)分層測評(四) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、填空題 1．經(jīng)過空間任意三點可以作________個平面． 【解析】　若三點不共線，只可以作一個平面；若三點共線，則可以作出無數(shù)個平面． 【答案】　一個或無數(shù) 2．下面是四個命題的敘述(其中A，B表示點，a表示直線，α表示平面)： ①∵A?α，B?α，∴AB?α； ②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α； ③∵A?α，a?α，∴A?a. 其中，命題敘述方式和推理都正確的命題是________． 【解析】?、馘e，應(yīng)寫為A∈α，B∈α；②錯，應(yīng)寫為AB?α；③正確． 【答案】　③ 3．空間四點A，B，C，D共面而不共線，那么這四點中________． ①必有三點共線；②必有三點不共線；③至少有三點共線；④不可能有三點共線． 【解析】　如圖(1)(2)所示，①③④均不正確，只有②正確，如圖(1)中A，B，D不共線． (1)　　　　　(2) 【答案】?、? 4．設(shè)平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l. 【解析】　因為a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因為α∩β＝l，所以M∈l. 【答案】　∈ 5．如圖1210所示，ABCDA1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論錯誤的是________． 圖1210 ①A，M，O三點共線； ②A，M，O，A1四點共面； ③A，O，C，M四點共面； ④B，B1，O，M四點共面． 【解析】　因為A，M，O三點既在平面AB1D1內(nèi)，又在平面AA1C內(nèi)，故A，M，O三點共線，從而易知①②③均正確． 【答案】　④ 6．若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關(guān)系是________． 【解析】　 ∵AC∥BD， ∴AC與BD確定一個平面，記作平面β， 則α∩β＝直線CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB?β，∴O∈直線CD，∴O，C，D三點共線． 【答案】　共線 7．如圖1211所示的正方體中，P，Q，M，N分別是所在棱的中點，則這四個點共面的圖形是________．(把正確圖形的序號都填上) 圖1211 【解析】　圖形①中，連結(jié)MN，PQ，則由正方體的性質(zhì)得MN∥PQ.根據(jù)推論3可知兩條平行直線可以確定一個平面，故圖形①正確．分析可知圖形②④中這四點均不共面．③中四點恰是正六邊形的四點，故③正確． 【答案】?、佗? 8．如圖1212所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，平面A1C與平面BDPQ的交線是__________. 【導學號：60420015】 圖1212 【解析】　因為N∈平面A1C，且N∈平面BDPQ；同理M∈平面A1C，且M∈平面BDPQ，所以平面A1C與平面BDPQ的交線是MN. 【答案】　MN 二、解答題 9.如圖1213，點A?平面BCD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，EH與FG交于點K，求證：點K在直線BD上． 圖1213 【證明】　∵EH∩FG＝K， ∴K∈EH，K∈FG. ∵E∈AB，H∈AD， ∴EH?平面ABD，∴K∈平面ABD. 同理，K∈平面BCD. 又∵平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴K在直線BD上． 10．如圖1214，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點，求證：D1，E，F(xiàn)，B共面． 圖1214 【證明】　因為D1，E，F(xiàn)三點不共線，所以D1，E，F(xiàn)三點確定一個平面α.由題意得，D1E與DA共面于平面A1D且不平行，如圖． 分別延長D1E與DA相交于G，所以G∈直線D1E，所以G∈平面α.同理設(shè)直線D1F與DC的延長線交于H，則H∈平面α. 又點G，B，H均在平面AC內(nèi)，且點E是AA1的中點，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB為等腰三角形，所以∠ABG＝45.同理∠CBH＝45.又∠ABC＝90，所以G，B，H共線于GH，又GH?平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F(xiàn)，B共面． [能力提升] 1．(2016聊城高一檢測)如圖1215，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經(jīng)過D，E兩點，若直線AB與平面α的交點是P，則點P與直線DE的位置關(guān)系是________． 圖1215 【解析】　因D，E兩點都在α內(nèi)，也都在平面ABC內(nèi)， 故DE是△ABC與平面α的交線． 又∵P在α內(nèi)，也在平面ABC內(nèi)， 故P點在△ABC與平面α的交線DE上． 【答案】　P∈DE 2．平面α∩平面β＝l，點M∈α，N∈α，點P∈β且P?l，又MN∩l＝R，過M，N，R三點所確定的平面記為γ，則β∩γ＝________. 【解析】　如圖，MN?γ，R∈MN，∴R∈γ. 又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR. 【答案】　直線PR 3．正方體ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點，那么過P，Q，R的截面圖形是__________． 【解析】　如圖所示，取C1D1的中點E，連結(jié)RE，REPQ，∴P，Q，E，R共面． 再取BB1，DD1的中點F，G. ∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，GE∥PF，綜上E，G，F(xiàn)，P，Q，R共面， ∴截面圖形為正六邊形． 【答案】　正六邊形 4．在棱長是a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點，過D，M，N三點的平面與正方體的下底面相交于直線l. (1)畫出交線l； (2)設(shè)l∩A1B1＝P，求PB1的長； (3)求點D1到l的距離． 【解】　(1)如圖，延長DM交D1A1的延長線于點Q，則點Q是平面DMN與平面A1B1C1D1的一個公共點．連結(jié)QN，則直線QN就是兩平面的交線l. (2)∵M是AA1的中點，MA1∥DD1， ∴A1是QD1的中點． 又∵A1P∥D1N，∴A1P＝D1N. ∵N是D1C1的中點，∴A1P＝D1C1＝， ∴PB1＝A1B1－A1P＝a. (3)過點D1作D1H⊥PN于點H，則D1H的長就是點D1到l的距離． ∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝， ∴QN＝＝a， ∴D1H＝＝＝a， 即點D1到l的距離是a.