《高中數(shù)學(xué) 章末綜合測評4 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 章末綜合測評4 新人教A版選修4-5（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

章末綜合測評(四) (時間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＋)能被31整除”，當(dāng)n＝1時原式為(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3＋4 D.1＋2＋22＋23＋24 【解析】　左邊＝1＋2＋22＋…＋25n－1，所以n＝1時，應(yīng)為1＋2＋…＋251－1＝1＋2＋22＋23＋24.故選D. 【答案】　D 2．下列說法中正確的是(　　) A．若一個命題當(dāng)n＝1,2時為真，則此命題為真命題 B．若一個命題當(dāng)n＝k時成立且推得n＝k＋1時也成立，則此命題為真命題 C．若一個命題當(dāng)n＝1,2時為真，則當(dāng)n＝3時此命題也為真 D．若一個命題當(dāng)n＝1時為真，n＝k時為真能推得n＝k＋1時亦為真，則此命題為真命題 【解析】　由數(shù)學(xué)歸納法定義可知，只有當(dāng)n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1時也成立時，才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可．A，B，C項均不全面． 【答案】　D 3．設(shè)S(n)＝＋＋＋…＋，則(　　) A．S(n)共有n項，當(dāng)n＝2時，S(2)＝＋ B．S(n)共有n＋1項，當(dāng)n＝2時，S(2)＝＋＋ C．S(n)共有n2－n項，當(dāng)n＝2時，S(2)＝＋＋ D．S(n)共有n2－n＋1項，當(dāng)n＝2時，S(2)＝＋＋ 【解析】　S(n)共有n2－n＋1項，當(dāng)n＝2時，S(2)＝＋＋. 【答案】　D 4．?dāng)?shù)列{an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時，an－an－1＝2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：32750073】 A．3n－2 B．n2 C．3n－1 D.4n－3 【解析】　計算知a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16， 所以可猜想an＝n2. 【答案】　B 5．平面內(nèi)原有k條直線，他們的交點個數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點個數(shù)最多為(　　) A．f(k)＋1 B．f(k)＋k C．f(k)＋k＋1 D.kf(k) 【解析】　第k＋1條直線與前k條直線都有不同的交點，此時應(yīng)比原先增加k個交點． 【答案】　B 6．下列代數(shù)式，n∈N＋，能被13整除的是(　　) A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1 C．62n－1＋1 D.42n＋1＋3n＋2 【解析】　當(dāng)n＝1時，n3＋5n＝6,34n＋1＋52n＋1＝368,62n－1＋1＝7,42n＋1＋3n＋2＝91， 只有91能被13整除． 【答案】　D 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”時，第二步正確的證明方法是(　　) A．假設(shè)n＝k(k∈N＋)時成立，證明n＝k＋1時命題也成立 B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))時成立，證明n＝k＋1時命題也成立 C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N＋)時成立，證明n＝2k＋3時命題也成立 D．假設(shè)n＝2k－1(k∈N＋)時成立，證明n＝2k＋1時命題也成立 【解析】　假設(shè)n的取值必須取到初始值1，且后面的n的值比前面的值大2.A，B，C錯．故選D. 【答案】　D 8．設(shè)0<θ<，已知a1＝2cos θ，an＋1＝，則猜想an為(　　) A．2cos B．2cos C．2cos D.2sin 【解析】　a1＝2cos θ，a2＝＝2cos ，a3＝＝2cos ， 猜想an＝2cos . 【答案】　B 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(　　) A．k2 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 【解析】　當(dāng)n＝k時，左端＝1＋1＋2＋3＋…＋k2， 當(dāng)n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 故當(dāng)n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 【答案】　D 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，當(dāng)n＝k＋1時為了使用歸納假設(shè)，對42k＋1＋3k＋2變形正確的是(　　) A．16(42k－1＋3k＋1)－133k＋1 B．442k＋93k C．(42k－1＋3k＋1)＋1542k－1＋23k＋1 D．3(42k－1＋3k＋1)－1342k－1 【解析】　42k＋1＋3k＋2＝1642k－1＋3k＋2＝16(42k－1＋3k＋1)＋3k＋2－163k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－133k＋1. 【答案】　A 11．如果命題P(n)對于n＝k成立，則它對n＝k＋2亦成立，又若P(n)對n＝2成立，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．P(n)對所有自然數(shù)n成立 B．P(n)對所有偶自然數(shù)n成立 C．P(n)對所有正自然數(shù)n成立 D．P(n)對所有比1大的自然數(shù)n成立 【解析】　因為n＝2時，由n＝k＋2的“遞推”關(guān)系，可得到n＝4成立，再得到n＝6成立，依次類推，因此，命題P(n)對所有偶自然數(shù)n成立． 【答案】　B 12．在數(shù)列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達式為(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵a1＝， 由Sn＝n(2n－1)an，得a1＋a2＝2(22－1)a2， 解得a2＝＝， a1＋a2＋a3＝3(23－1)a3， 解得a3＝＝， a1＋a2＋a3＋a4＝4(24－1)a4， 解得a4＝＝， 所以猜想an＝. 【答案】　C 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在題中橫線上) 13．探索表達式A＝(n－1)(n－1)?。?n－2)(n－2)?。??。?1！(n>1且n∈N＋)的結(jié)果時，第一步n＝________時，A＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：32750074】 【解析】　 第一步n＝2時， A＝(2－1)(2－1)?。?. 【答案】　2　1 14．已知1＋23＋332＋433＋…＋n3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N＋都成立，那么a＝________，b＝________，c＝________. 【解析】　先分別取n＝1,2,3并聯(lián)立方程組得 解得a＝，b＝，c＝. 然后可用數(shù)學(xué)歸納法證明． 【答案】　　　 15．證明1＋＋＋＋…＋>(n∈N＋)，假設(shè)n＝k時成立，當(dāng)n＝k＋1時，左邊增加的項數(shù)是________. 【解析】　左邊增加的項數(shù)為2k＋1－1－2k＋1＝2k. 【答案】　2k 16．假設(shè)凸k邊形的對角線有f(k)條，則凸k＋1邊形的對角線的條數(shù)f(k＋1)為________． 【解析】　凸k＋1邊形的對角線的條數(shù)等于凸k邊形的對角線的條線，加上多的那個點向其他點引的對角線的條數(shù)(k－2)條，再加上原來有一邊成為對角線，共有f(k)＋k－1條對角線． 【答案】　f(k)＋k－1 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋＋…＋＝(n∈N＋)． 【證明】　(1)當(dāng)n＝1時， 左邊＝＝， 右邊＝＝， 左邊＝右邊． 所以當(dāng)n＝1時，等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)時等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時，＋＋＋＋＝＋ ＝＝ ＝＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立． 由(1)(2)可知，對于一切n∈N＋等式都成立． 18．(本小題滿分12分)求證：對于整數(shù)n≥0時，11n＋2＋122n＋1能被133整除． 【證明】　(1)n＝0時，原式＝112＋12＝133能被133整除． (2)假設(shè)n＝k(k≥0，k∈N)時，11k＋2＋122k＋1能被133整除， n＝k＋1時，原式＝11k＋3＋122k＋3 ＝11(11k＋2＋122k＋1)－11122k＋1＋122k＋3 ＝11(11k＋2＋122k＋1)＋122k＋1133也能被133整除． 由(1)(2)可知，對于整數(shù)n≥0,11n＋2＋122n＋1能被133整除． 19．(本小題滿分12分)平面內(nèi)有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任意三個圓不相交于同一點，求證：這n個圓將平面分成f(n)＝n2－n＋2個部分(n∈N＋)． 【證明】　(1)當(dāng)n＝1時，一個圓將平面分成兩個部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1時命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥1)時命題成立，即k個圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個部分． 則n＝k＋1時，在k＋1個圓中任取一個圓O，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓O與k個圓有2k個交點，這2k個交點將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2. 所以當(dāng)n＝k＋1時，命題成立． 由(1)(2)可知，對一切n∈N＋，命題成立，即這幾個圓將平面分成f(n)＝n2－n＋2個部分(n∈N＋)． 20．(本小題滿分12分)求證：＋＋＋…＋>(n≥2). 【導(dǎo)學(xué)號：32750075】 【證明】　(1)當(dāng)n＝2時，>0，不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2)時，原不等式成立， 即＋＋＋＋…＋>. 則當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝＋＋＋…＋＋＋＋…＋ >＋＋＋…＋ >＋＋＋…＋ ＝＋＝ ＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時，原不等式成立． 由(1)(2)知，原不等式對n≥2的所有的自然數(shù)都成立． 21．(本小題滿分12分)如果數(shù)列{an}滿足條件：a1＝－4，an＋1＝(n＝1,2，…)，證明：對任何自然數(shù)n，都有an＋1>an且an<0. 【證明】　(1)由于a1＝－4， a2＝＝＝>a1. 且a1<0，因此，當(dāng)n＝1時不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，ak＋1>ak且ak<0. 那么ak＋1＝<0. 當(dāng)n＝k＋1時， 有ak＋2＝， ∴ak＋2－ak＋1＝－ ＝>0. 因此ak＋2>ak＋1且ak＋1<0， 這就是說，當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立， 根據(jù)(1)(2)，不等式對任何自然數(shù)n都成立． 因此，對任何自然數(shù)n，都有an＋1>an且an<0. 22．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn，an的等差中項為1. (1)寫出a1，a2，a3； (2)猜想an的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 【解】　(1)由題意Sn＋an＝2，可得a1＝1，a2＝，a3＝. (2)猜想an＝. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時，a1＝1，＝＝1，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時，等式成立，即ak＝， 則當(dāng)n＝k＋1時，由Sk＋1＋ak＋1＝2，Sk＋ak＝2， 得(Sk＋1－Sk)＋ak＋1－ak＝0， 即2ak＋1＝ak， ∴ak＋1＝ak＝＝， 即當(dāng)n＝k＋1時，等式成立． 由①②可知，對n∈N＋，an＝.