馬爾柯夫預(yù)測(cè),馬爾柯夫（A.A Markov）預(yù)測(cè)法是應(yīng)用概率論中馬爾柯夫鏈的理論和方法來(lái)研究隨機(jī)事件變化并借此分析預(yù)測(cè)未來(lái)變化趨勢(shì)的一種方法。 馬爾柯夫鏈的基本理論 基于馬爾柯夫鏈基本理論的狀態(tài)預(yù)測(cè)、 市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)和人力資源結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)方法。,5.1 基本概念,馬爾柯夫（A.A Markov 俄國(guó)數(shù)學(xué)家）。 20世紀(jì)初，他在研究中發(fā)現(xiàn)自然界中有一類(lèi)事物的變化過(guò)程僅與事物的近期狀況有關(guān)，而與事物的過(guò)去狀態(tài)無(wú)關(guān)。 例：設(shè)備維修和更新、人才結(jié)構(gòu)變化、資金流向、市場(chǎng)需求變化等許多經(jīng)濟(jì)行為都可用這一類(lèi)過(guò)程來(lái)描述或近似。 所謂馬爾柯夫鏈，就是一種隨機(jī)時(shí)間序列，它在將來(lái)取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與它過(guò)去取什么值無(wú)關(guān)，即無(wú)后效性。具備這個(gè)性質(zhì)的離散型隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)為馬爾柯夫鏈。 概念:狀態(tài)?,1,2,3,1,2,3,基本概念4: 狀態(tài)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率、 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣、初始狀態(tài)概率向量,一、狀態(tài)與狀態(tài)變量 狀態(tài)：客觀事物可能出現(xiàn)或存在的狀況。 如：商品可能暢銷(xiāo)也可能滯銷(xiāo)；機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)可能正常也可能故障等。 同一事物不同狀態(tài)之間必須相互獨(dú)立:不能同時(shí)存在兩種狀態(tài)。 客觀事物的狀態(tài)不是固定不變的，它可能處于這種狀態(tài)，也可能處于那種狀態(tài)，往往條件變化，狀態(tài)也會(huì)發(fā)生變化。如某種產(chǎn)品在市場(chǎng)上本來(lái)是滯銷(xiāo)的，但是由于銷(xiāo)售渠道變化了，或者消費(fèi)心理發(fā)生了變化等，它便可能變?yōu)闀充N(xiāo)產(chǎn)品。,用狀態(tài)變量來(lái)表示狀態(tài)： 它表示隨機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，在時(shí)刻 所處的狀態(tài)為 狀態(tài)轉(zhuǎn)移：客觀事物由一種狀態(tài)到另一種狀態(tài)的變化。 如：由于產(chǎn)品質(zhì)量或替代產(chǎn)品的變化，市場(chǎng)上產(chǎn)品可能由暢銷(xiāo)變?yōu)闇N(xiāo)。,二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 客觀事物可能有 共 種狀態(tài)，其中每次只能處于一種狀態(tài)，則每一狀態(tài)都具有 個(gè)轉(zhuǎn)向（包括轉(zhuǎn)向自身），即 。 由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移是隨機(jī)的，因此，必須用概率來(lái)描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移可能性的大小，將這種轉(zhuǎn)移的可能性用概率描述，就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。 ,概率論中的條件概率：P（AB）就表達(dá)了由狀態(tài) B 向狀態(tài) A 轉(zhuǎn)移的概率，簡(jiǎn)稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。 對(duì)于由狀態(tài) Ei 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej 的概率，稱(chēng)它為從 i 到 j 的轉(zhuǎn)移概率。記為： 它表示由狀態(tài)Ei 經(jīng)過(guò)一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej 的概率。,某地區(qū)有甲、乙、丙三家食品廠生產(chǎn)同一種食品，有一千個(gè)用戶(hù)（或購(gòu)貨點(diǎn)），假定在研究期間無(wú)新用戶(hù)加入也無(wú)老用戶(hù)退出，只有用戶(hù)的轉(zhuǎn)移，已知 2006 年 5 月份有 500 戶(hù)是甲廠的顧客；400 戶(hù)是乙廠的顧客；100 戶(hù)是丙廠的顧客。6 月份，甲廠有400 戶(hù)原來(lái)的顧客，上月的顧客有 50 戶(hù)轉(zhuǎn)乙廠，50 戶(hù)轉(zhuǎn)丙廠；乙廠有 300 戶(hù)原來(lái)的顧客，上月的顧客有 20 戶(hù)轉(zhuǎn)甲廠，80 戶(hù)轉(zhuǎn)丙廠；丙廠有 80 戶(hù)原來(lái)的顧客，上月的顧客有 10 戶(hù)轉(zhuǎn)甲廠，10 戶(hù)轉(zhuǎn)乙廠。 計(jì)算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。,例：,解：由題意得 6 月份顧客轉(zhuǎn)移表 1：,從,到,表 1,例：,三、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 將事件 個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率依次排列起來(lái)，就構(gòu)成一個(gè) N行N 列的矩陣，這種矩陣就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。 通常稱(chēng)矩陣 P 為 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，沒(méi)有特別說(shuō)明步數(shù)時(shí)，一般均為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。矩陣中的每一行稱(chēng)之為概率向量。 轉(zhuǎn)移概率矩陣的特征?,基本概念,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣具有如下特征： （1） （2）,三、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣及其基本特征,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算 主觀概率法（一般缺乏歷史統(tǒng)計(jì)資料或資料不全情況下使用） 統(tǒng)計(jì)估算法。,例 設(shè)味精市場(chǎng)的銷(xiāo)售記錄共有 6 年 24 個(gè)季度的數(shù)據(jù)，見(jiàn)表。求味精銷(xiāo)售轉(zhuǎn)移概率矩陣。,用“1”表示暢銷(xiāo) 用“2”表示滯銷(xiāo),共24個(gè)季度數(shù)據(jù)，其中有15個(gè)季度暢銷(xiāo)，9個(gè)季度滯銷(xiāo)，現(xiàn)分別統(tǒng)計(jì)出:連續(xù)暢銷(xiāo)、由暢轉(zhuǎn)滯、由滯轉(zhuǎn)暢和連續(xù)滯銷(xiāo)的次數(shù)。 以 p11 表示連續(xù)暢銷(xiāo)的可能性，以頻率代替概率，得： ? 分子 7 是表中連續(xù)出現(xiàn)暢銷(xiāo)的次數(shù)，分母 15 是表中出現(xiàn)暢銷(xiāo)的次數(shù)，因?yàn)榈?4季度是暢銷(xiāo)，無(wú)后續(xù)記錄，故減1。,2個(gè)狀態(tài): “1” 暢銷(xiāo) “2” 滯銷(xiāo),以 p12 表示由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)入滯銷(xiāo)的可能性： 分子 7 是表中由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)入滯銷(xiāo)的次數(shù)。 以 p21 表示由滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)入暢銷(xiāo)的可能性： 分子 7 是表中由滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)入暢銷(xiāo)的次數(shù)，分母數(shù) 9 是表中出現(xiàn)滯銷(xiāo)的次數(shù)。,2個(gè)狀態(tài): “1” 暢銷(xiāo) “2” 滯銷(xiāo),以 p22 表示連續(xù)滯銷(xiāo)的可能性： 分子 2 是表中連續(xù)出現(xiàn)滯銷(xiāo)的次數(shù)。 綜上所述，得銷(xiāo)售狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣完全描述了所研究對(duì)象的變化過(guò)程。正如前面所指出的，上述矩陣為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。對(duì)于多步轉(zhuǎn)移概率矩陣，可按如下定義解釋。 定義 3. 若系統(tǒng)在時(shí)刻 處于狀態(tài) ，經(jīng)過(guò) 步轉(zhuǎn)移，在時(shí)刻 處于狀態(tài) 。那么，對(duì)這種轉(zhuǎn)移的可能性的數(shù)量描述稱(chēng)為 步轉(zhuǎn)移概率。記為: 并令,三、多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣,稱(chēng) 為 步轉(zhuǎn)移概率矩陣。 多步轉(zhuǎn)移概率矩陣，除具有一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的性質(zhì)外，還具有以下的性質(zhì)：,例：某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有三種狀態(tài) （如暢銷(xiāo)、一般、滯銷(xiāo)），系統(tǒng)地轉(zhuǎn)移情況見(jiàn)下表，試求系統(tǒng)的二步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。 解：首先是寫(xiě)出一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移,二步轉(zhuǎn)移概率矩陣可由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣通過(guò)公式 ? 計(jì)算求出:,由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣求出，由公式 計(jì)算得：,記 為過(guò)程的開(kāi)始時(shí)刻， 則稱(chēng)： 為初始狀態(tài)概率向量。 已知馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣 以及初始狀態(tài)概率向量 ，則任一時(shí)刻的狀態(tài)概率分布也就確定了： 對(duì) k1 ，記 則由全概率公式有：,四、初始狀態(tài)概率向量,若記向量 ，則上式可寫(xiě)為： 由此可得,四、初始狀態(tài)概率向量,例：一臺(tái)機(jī)床的運(yùn)行狀態(tài),機(jī)床運(yùn)行存在正常和故障兩種狀態(tài)。由于出現(xiàn)故障帶有隨機(jī)性，故可將機(jī)床運(yùn)行看作一個(gè)隨時(shí)間變化的隨機(jī)系統(tǒng)。 機(jī)床以后的狀態(tài)只與其以前的狀態(tài)有關(guān)，而與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)(有無(wú)后效性)。因此，機(jī)床的運(yùn)行可看作馬爾科夫鏈。 如機(jī)床運(yùn)行過(guò)程中出現(xiàn)故障，表示為從狀態(tài) 1 轉(zhuǎn)移到狀態(tài) 2 ；處于故障狀態(tài)的機(jī)床經(jīng)維修恢復(fù)到正常狀態(tài)即從狀態(tài) 2 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1。 現(xiàn)以1個(gè)月為時(shí)間單位，經(jīng)統(tǒng)計(jì)知：從某月到下月機(jī)床出現(xiàn)故障的概率為0.2 ，即 p12 = 0.2 。保持正常狀態(tài)的概率為為 p11 = 0.8 。在這一時(shí)間，故障機(jī)床經(jīng)維修返回正常狀態(tài)的概率為 0.9 ，即 p21 = 0.9 ；不能修好的概率為 p22 = 0.1 。,機(jī)床狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,由機(jī)床的一步轉(zhuǎn)移概率得：狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：,若已知本月機(jī)床的狀態(tài)向量 P(0) = (0.85，0.15)，要求預(yù)測(cè)機(jī)床兩個(gè)月后的狀態(tài)。,問(wèn)題： 知本月?tīng)顟B(tài)向量 P(0) = (0.85，0.15)，預(yù)測(cè)兩月后的狀態(tài)。 求出兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣 預(yù)測(cè)：兩個(gè)月后的狀態(tài)向量, 5.2 穩(wěn)態(tài)概率矩陣: 平穩(wěn)分布與穩(wěn)態(tài)分布,在馬爾可夫鏈中，已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，就可推斷出系統(tǒng)在任意時(shí)刻可能所處的狀態(tài)。 現(xiàn)在需要研究當(dāng) k 不斷增大時(shí)，P(k) 的變化趨勢(shì)。 一、平穩(wěn)分布 預(yù)備定義: 如存在非零向量X=(x1，x2， ，xN)，使得： X P = X 其中P為一概率矩陣，則稱(chēng) X 為 P 的固定概率向量。,一、平穩(wěn)分布,如存在非零向量 X=(x1，x2， ，xN)，使得： X P = X 其中：P為一概率矩陣 則稱(chēng) X 為 P 的固定概率向量。 特別地，設(shè) X=(x1，x2， ，xN) 為一狀態(tài)概率向量， P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，若 X P = X 即： 稱(chēng) X 為該馬爾可夫鏈的一個(gè)平穩(wěn)分布 性質(zhì)？,若隨機(jī)過(guò)程某時(shí)刻的狀態(tài)概率向量 P(k) 為平穩(wěn)分布，則稱(chēng)過(guò)程處于平衡狀態(tài)。 （X P = X） 一旦過(guò)程處于平衡狀態(tài)，則經(jīng)過(guò)一步或多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移之后，其狀態(tài)概率分布保持不變，也就是說(shuō)，過(guò)程一旦處于平衡狀態(tài)后將永遠(yuǎn)處于平衡狀態(tài)。 對(duì)于所討論的狀態(tài)有限（即N個(gè)狀態(tài)）的馬爾可夫鏈，平穩(wěn)分布必定存在。 特別地，當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為正規(guī)概率矩陣時(shí)，平穩(wěn)分布唯一。 正規(guī)概率矩陣？,定義1：如果 P 為概率矩陣，且存在 m0，使 Pm 中諸元素皆非負(fù)非零。則稱(chēng) P 為正規(guī)概率矩陣。 例如： 均為正規(guī)概率矩陣。 P1為正規(guī)概率矩陣是明顯的（m = 1） P2是正規(guī)概率矩陣也也易于論證： 即存在（m = 2），使 P2 的元素皆非負(fù)非零。,是非正規(guī)概率矩陣。 正規(guī)概率矩陣的這一性質(zhì)很有實(shí)用價(jià)值。 因?yàn)樵谑袌?chǎng)占有率是達(dá)到平穩(wěn)分布時(shí)，顧客（或用戶(hù)）的流動(dòng)將對(duì)市場(chǎng)占有率不起影響。即各市場(chǎng)主體喪失的顧客（或用戶(hù)）與爭(zhēng)取到的顧客相抵消。,例：甲乙丙三個(gè)食品廠顧客的 32 步轉(zhuǎn)移概率。,二、穩(wěn)態(tài)分布,可以看到每一列都有相同的值。這說(shuō)明不管初始狀態(tài)三個(gè)食品廠占有多少顧客，經(jīng)過(guò)32月之后處于狀態(tài) j 的概率都是相同的。 即：經(jīng)過(guò)多次轉(zhuǎn)移之后，系統(tǒng)存在一個(gè)處于狀態(tài) j 的有限概率，此概率與系統(tǒng)原始狀態(tài)無(wú)關(guān)。,二、穩(wěn)態(tài)分布,對(duì)概率向量 =( 1， 2， ， N)，如對(duì)任意的 i，jS ： 則稱(chēng) 為穩(wěn)態(tài)分布。 此時(shí)，不管初始狀態(tài)概率向量如何，均有， 或 這也是稱(chēng) 為穩(wěn)態(tài)分布的理由。 性質(zhì)？,設(shè)存在穩(wěn)態(tài)分布 =( 1， 2， ， N)，則由于下式恒成立： 令k就得 A：即有限狀態(tài)馬爾可夫鏈的穩(wěn)態(tài)分布如存在，那么它也是平穩(wěn)分布。 B：當(dāng)馬爾科夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為正規(guī)概率矩陣時(shí)穩(wěn)態(tài)分布存在，且穩(wěn)態(tài)分布和平穩(wěn)分布相同且均唯一。,例：設(shè)一馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下，求其平穩(wěn)分布及穩(wěn)態(tài)分布。,解：(1) P 是正規(guī)概率矩陣,即存在（m = 2），使 P2 的元素皆非負(fù)非零。,(2) 由于 P 是正規(guī)概率矩陣，求解如下方程組：,這就是該馬爾可夫鏈的穩(wěn)態(tài)分布，而且也是平穩(wěn)分布。,5.3 馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)法,馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法的最簡(jiǎn)單類(lèi)型是預(yù)測(cè)下期最可能出現(xiàn)的狀態(tài)。步驟： 第一步：劃分預(yù)測(cè)對(duì)象所出現(xiàn)的狀態(tài)。 從預(yù)測(cè)目的出發(fā)，考慮決策需要來(lái)劃分現(xiàn)象所處的狀態(tài)。 第二步：計(jì)算初始概率。 據(jù)實(shí)際問(wèn)題分析歷史資料所得的狀態(tài)概率稱(chēng)為初始概率。 第三步：計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 第四步：根據(jù)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行預(yù)測(cè) 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 P ：如果目前預(yù)測(cè)對(duì)象處于狀態(tài)Ei，這時(shí) Pij 就描述了目前狀態(tài) Ei 在未來(lái)將轉(zhuǎn)向狀態(tài) Ej（j =1，2，N）的可能性。 按最大可能性作為選擇原則：選擇（Pj1，Pj2， PjN ）中最大者為預(yù)測(cè)結(jié)果。,例：某商店在最近20個(gè)月的商品銷(xiāo)售量統(tǒng)計(jì)記錄如下：,試預(yù)測(cè)第 21 期商品銷(xiāo)售量。,解：1、劃分狀態(tài)：按盈利狀況為標(biāo)準(zhǔn) （1） 銷(xiāo)售量60千件 屬于滯銷(xiāo) （2） 60千件銷(xiāo)售量100千件 屬于一般 （3） 銷(xiāo)售量100千件 屬于暢銷(xiāo),2、計(jì)算初始概率 Pi 為使問(wèn)題更為直觀，繪制銷(xiāo)售量散點(diǎn)圖如下，并畫(huà)出狀態(tài)分界線。 由圖可算出處于： 滯銷(xiāo)狀態(tài)的有： M1= 7 一般狀態(tài)的有： M2= 5 暢銷(xiāo)狀態(tài)的有： M3= 8,3、計(jì)算初始轉(zhuǎn)移概率矩陣 計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率時(shí)，最后一個(gè)數(shù)據(jù)不參加計(jì)算，因?yàn)樗烤罐D(zhuǎn)到哪個(gè)狀態(tài)尚不清楚。 M11= 3， M12= 4， M13= 0， M21= 1， M22= 1， M23= 3， M31= 2， M32= 0， M33= 5 從而： P11= 3/7， P12= 4/7， P13= 0/7， P21= 1/5， P22= 1/5， P23= 3/5， P31= 2/7， P32= 0/7， P33= 5/7,滯銷(xiāo)狀態(tài)： M1= 7 一般狀態(tài)： M2= 5 暢銷(xiāo)狀態(tài)： M3= 8-1,4、預(yù)測(cè)第21月的銷(xiāo)售情況 由于第20月的銷(xiāo)售情況屬于暢銷(xiāo)狀態(tài)，而經(jīng)由一次轉(zhuǎn)移到達(dá)三種狀態(tài)的概率是： P31= 2/7， P32= 0/7， P33= 5/7 P33 P32 P31 因此，第21月超過(guò)100千件的可能性最大。 即預(yù)測(cè)第21月的銷(xiāo)售狀態(tài)是“暢銷(xiāo)”。,5.4 馬爾可夫鏈的應(yīng)用,一、市場(chǎng)占有率 例：東南亞各國(guó)行銷(xiāo)上海、日本和香港三種味精，要預(yù)測(cè)在未來(lái)若干個(gè)月以后的市場(chǎng)占有情況。具體步驟3： 第一步：進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查 、目前市場(chǎng)占有情況（顧客買(mǎi)滬、日、港味精的的百分比）。 結(jié)果：上海味精的占40%、買(mǎi)日、港的各占30%，（40%、30%、30%）稱(chēng)為目前市場(chǎng)的占有分布或稱(chēng)初始分布。 2、查清顧客的流動(dòng)情況。 結(jié)果： 上月買(mǎi)上海味精的顧客，本月仍有40%，各有30%轉(zhuǎn)向買(mǎi)本和港味精。 上月買(mǎi)日本味精顧客，本月有60%轉(zhuǎn)向買(mǎi)上海味精，30%仍買(mǎi)日本味精，10%轉(zhuǎn)向香港味精。 上月買(mǎi)香港味精的顧客，本月有60%轉(zhuǎn)向買(mǎi)上海味精，10%轉(zhuǎn)向買(mǎi)日本味精，30%仍買(mǎi)香港味精。,第二步：建立數(shù)學(xué)模型 為運(yùn)算方便，以1、2、3分別代表上海、日本、香港味精，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查的結(jié)果，得到顧客購(gòu)買(mǎi)味精的流動(dòng)情況表。,第二步：進(jìn)行預(yù)測(cè) 設(shè)初始市場(chǎng)占有的分布是（p1，p2，p3 ）=（0.4，0.3，0.3），三個(gè)月以后的市場(chǎng)占有分布是（ p1(3)，p2(3)，p3(3) ），則預(yù)測(cè)的公式是：,p1(3) （三月后滬味精的市場(chǎng)占有率）：p1(3) = 0.5008 同理， 三月后日、港味精的市場(chǎng)占有率： p2(3) = 0.2496 p1(3) = 0.2496 經(jīng)過(guò)n個(gè)月以后的市場(chǎng)占有率： 如果市場(chǎng)顧客流動(dòng)趨勢(shì)長(zhǎng)期穩(wěn)定下去，則經(jīng)過(guò)一段時(shí)期以后的市場(chǎng)占有率將出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。 ？,所謂穩(wěn)定的市場(chǎng)平衡狀態(tài)，就是顧客的流動(dòng)，將對(duì)市場(chǎng)占有率不起影響，即在顧客流動(dòng)過(guò)程中，各牌號(hào)產(chǎn)品喪失的顧客將與其爭(zhēng)取到的顧客抵消。 第三步：預(yù)測(cè)長(zhǎng)期的市場(chǎng)占有率。 由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 P 是正規(guī)概率矩陣。所以，長(zhǎng)期的市場(chǎng)占有率即為平衡狀態(tài)下的市場(chǎng)占有率，亦即馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。 設(shè)長(zhǎng)期市場(chǎng)市場(chǎng)占有率為： 有： 得：,二、人力資源預(yù)測(cè),例：某高校教師狀態(tài)分為5類(lèi)：助教、講師、副教授、教授、流失及退休。目前狀態(tài)(550人)： 根據(jù)歷史資料: 試分析三年后教師結(jié)構(gòu)以及 三年內(nèi)為保持編制不變應(yīng)進(jìn)多少研究生充實(shí)教師隊(duì)伍？ (500),一年后人員分布： 要保持550人的總編制，流失76人，故第一年應(yīng)進(jìn) 76 位新教師。 第二年： 補(bǔ)充74人。 第三年： 補(bǔ)充72人。 在第三年年底，人員結(jié)構(gòu)為：,三、預(yù)測(cè):策略與市場(chǎng)占有率,例4 A、B、C三公司的產(chǎn)品市場(chǎng)占有率分別為50%，30%，20%。由于C公司改善了銷(xiāo)售與服務(wù)，銷(xiāo)售額逐期穩(wěn)定上升，而A公司卻下降。通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)三個(gè)公司間的顧客流動(dòng)情況如表所示。其中產(chǎn)品銷(xiāo)售周期是季度。 問(wèn)題：按目前趨勢(shì)發(fā)展，A公司產(chǎn)品銷(xiāo)售或客戶(hù)轉(zhuǎn)移的影響將嚴(yán)重到何種程度？更全面的，三個(gè)公司產(chǎn)品的占有率將如何變化？,未來(lái)各期的市場(chǎng)占有率：,C保銷(xiāo)政策：C的市場(chǎng)份額不斷增大，是否可持續(xù)下去？,穩(wěn)態(tài)市場(chǎng)占有率問(wèn)題：,P 不可約非周期，穩(wěn)態(tài)市場(chǎng)占有率即為平衡狀態(tài)下的市場(chǎng)占有率，亦即馬氏鏈的平穩(wěn)分布。,可解得：,最佳經(jīng)營(yíng)策略：,因于A廠不利，A廠隨后制定兩套方案：,最佳經(jīng)營(yíng)策略,A廠制定的兩套方案：,甲方案 保留策略，拉住老顧客。,新的平衡狀態(tài)下、三公司的市場(chǎng)占有率分別為31.6，26.3，42.1，公司的市場(chǎng)占有率從17.65提高到31.6。,甲方案：新的平衡狀態(tài)下、三公司的市場(chǎng)占有率分別為31.6，26.3，42.1，公司的市場(chǎng)占有率從17.65提高到31.6。,乙方案 爭(zhēng)取策略，挖客戶(hù)。,乙方案：在新的平衡狀態(tài)下，、三家公司的市場(chǎng)占有率分別為33.3，22.2，44.5。,考慮費(fèi)用？,四、期望利潤(rùn)預(yù)測(cè),例 某商品每月市場(chǎng)狀況有暢銷(xiāo)和滯銷(xiāo)兩種。1代表暢銷(xiāo)，2代表滯銷(xiāo)。如產(chǎn)品暢銷(xiāo)獲利50萬(wàn)元；滯銷(xiāo)將虧損30萬(wàn)元。調(diào)查統(tǒng)計(jì)了過(guò)去24個(gè)月的銷(xiāo)售記錄，見(jiàn)下表。,一般地,設(shè) 是狀態(tài)空間為 的齊次馬氏鏈，其轉(zhuǎn)移矩陣為 。 設(shè)r(i)表示某周期系統(tǒng)處于狀態(tài)i時(shí)獲得的報(bào)酬。稱(chēng)如此的馬爾可夫鏈?zhǔn)蔷哂袌?bào)酬的。 r(i)0時(shí)稱(chēng)為盈利，報(bào)酬，收益等；r(i)0時(shí)稱(chēng)為虧損，費(fèi)用等。,該產(chǎn)品在第n周期的狀態(tài)用 表示，,問(wèn)題：如當(dāng)前月份該產(chǎn)品暢銷(xiāo)，第四月前所獲得的期望總利潤(rùn)為多少？,記 表示初始狀態(tài)為 i 的條件下，到第k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移前所獲得的期望總報(bào)酬(k1，iS)：,以例6說(shuō)明，k=4。,1有限時(shí)段期望總報(bào)酬,k期,k=4,當(dāng)前狀態(tài)暢銷(xiāo),r(i)表示某周期系統(tǒng)處于狀態(tài)i時(shí)獲得的報(bào)酬,k期,k=4,k期,k=4,k期,k=4,到第4 步狀態(tài)轉(zhuǎn)移前所獲得的期望總報(bào)酬:,k期,k=4,k期,k=4,k期,k=4,到第4 步狀態(tài)轉(zhuǎn)移前所獲得的期望總報(bào)酬:,記,I,遞推式,(考慮一般情況),（再看例6）,一般地，,記,有,例6 某商品每月市場(chǎng)狀況有暢銷(xiāo)和滯銷(xiāo)兩種。1代表暢銷(xiāo)，2代表滯銷(xiāo)。如產(chǎn)品暢銷(xiāo)獲利50萬(wàn)元；滯銷(xiāo)將虧損30萬(wàn)元。調(diào)查統(tǒng)計(jì)了過(guò)去24個(gè)月的銷(xiāo)售記錄，見(jiàn)下表。,問(wèn)題：如當(dāng)前月份該產(chǎn)品暢銷(xiāo)，第四月前所獲得的期望總利潤(rùn)為多少？,已知：,都需求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P。,i=1，有三種形式的公式：,分子數(shù)7是表中連續(xù)出現(xiàn)暢銷(xiāo)的次數(shù)，分母中的15是表中出現(xiàn)暢銷(xiāo)的次數(shù)，因?yàn)榈?4季度是暢銷(xiāo)，無(wú)后續(xù)記錄，故減1。,估計(jì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P：以統(tǒng)計(jì)頻率估計(jì)連續(xù)暢銷(xiāo)的概率。,結(jié)果為：如當(dāng)前月份該產(chǎn)品暢銷(xiāo)，第四月前所獲得的期望總利潤(rùn)為67.5萬(wàn)。,對(duì)iS，定義初始狀態(tài)為i的無(wú)限時(shí)段單位時(shí)間平均報(bào)酬為：,記,則,2無(wú)限時(shí)段單位時(shí)間平均報(bào)酬,則稱(chēng) 為穩(wěn)態(tài)分布。,定義 對(duì)于概率向量 ，如對(duì)任的 ，均有,若所考慮的馬爾可夫鏈存在平穩(wěn)分布,可以證明，此時(shí):,即，無(wú)限時(shí)段單位時(shí)間平均報(bào)酬與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，均為,在現(xiàn)實(shí)生活中，今年的一元錢(qián)將大于明年的一元錢(qián)，即，明年的一元錢(qián)折算到現(xiàn)在計(jì)算，就不值一元錢(qián)了，如為 ，這個(gè) 就稱(chēng)為折扣因子。 實(shí)際上，在企業(yè)管理中當(dāng)考慮貸款、折舊等時(shí)都必須考慮到錢(qián)的增值問(wèn)題。如將錢(qián)存于銀行，年息為 ，則 與 有如下關(guān)系：,3無(wú)限時(shí)段期望折扣總報(bào)酬(略),對(duì)有報(bào)酬的馬氏鏈，定義從狀態(tài)i 出發(fā)的無(wú)限時(shí)段期望折扣總報(bào)酬為,對(duì)有報(bào)酬的馬氏鏈，定義從狀態(tài)i 出發(fā)的無(wú)限時(shí)段期望折扣總報(bào)酬為：,于是:,記,則：,稱(chēng) 為具有報(bào)酬的馬氏鏈的三種目標(biāo)函數(shù)。利用其中的任一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，可以討論不同策略的優(yōu)劣。,（示列：）,稱(chēng) 為具有報(bào)酬的馬氏鏈的三種目標(biāo)函數(shù)。利用其中的任一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，可以討論不同策略的優(yōu)劣。,例7 最佳維修策略的選擇。研究一化工企業(yè)對(duì)循環(huán)泵進(jìn)行季度維修的過(guò)程。每次檢查中，把泵按其外殼及葉輪的腐蝕程度定為五種狀態(tài)中的一種。這五種狀態(tài)是： 狀態(tài)1：優(yōu)秀狀態(tài)，無(wú)任何故障或缺陷； 狀態(tài)2：良好狀態(tài)，稍有腐蝕； 狀態(tài)3：及格狀態(tài)，輕度腐蝕； 狀態(tài)4：可用狀態(tài)，大面積腐蝕； 狀態(tài)5：不可運(yùn)行狀態(tài)，腐蝕嚴(yán)重。,該公司可采用的維修策略有以下幾種： 單狀態(tài)策略：處于狀態(tài)5時(shí)才進(jìn)行修理，每次修理費(fèi)為500元。 兩狀態(tài)策略：處于狀態(tài)4和5時(shí)進(jìn)行修理，處于狀態(tài)4時(shí)的修理費(fèi)用每次為250元, 處于狀態(tài)5時(shí)的每次修理費(fèi)用為500元。 三狀態(tài)策略：處于狀態(tài)3,4,5時(shí)進(jìn)行修理，處于狀態(tài)3時(shí)的每次修理費(fèi)用為200元,處于狀態(tài)4和5時(shí)的修理費(fèi)用同前。 目前，公司采用的維修策略為“單狀態(tài)”策略。 假定不管處于何種狀態(tài)，只要進(jìn)行修理，狀態(tài)都將恢復(fù)為狀態(tài)1。已知在不進(jìn)行任何修理時(shí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，如下表所示。,問(wèn)題：確定哪個(gè)策略的費(fèi)用最低。目標(biāo)為長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間平均報(bào)酬。,需知 r 和 P.,不維修時(shí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：,與 i 無(wú)關(guān)。,單狀態(tài)策略下：,解得：,從而,兩狀態(tài)策略下：,解得：,從而,三狀態(tài)策略下：,解得：,從而,單狀態(tài)策略下：,兩狀態(tài)策略下：,三狀態(tài)策略下：,因此，兩狀態(tài)策略為最優(yōu)策略，平均每周期的費(fèi)用為90.50元。,1.設(shè)某市場(chǎng)銷(xiāo)售甲、乙、丙三種牌號(hào)的同類(lèi)型產(chǎn)品，購(gòu)買(mǎi)該產(chǎn)品的顧客變動(dòng)情況如下：過(guò)去買(mǎi)甲牌產(chǎn)品的顧客，在下一季度中有15%的轉(zhuǎn)買(mǎi)乙牌產(chǎn)品，10%轉(zhuǎn)買(mǎi)丙牌產(chǎn)品。原買(mǎi)乙牌產(chǎn)品的顧客，有30%轉(zhuǎn)賣(mài)甲牌的，同時(shí)有10%轉(zhuǎn)賣(mài)丙牌的。原買(mǎi)丙牌產(chǎn)品的顧客中有5%轉(zhuǎn)買(mǎi)甲牌的，同時(shí)有15%轉(zhuǎn)買(mǎi)乙牌的。問(wèn)經(jīng)營(yíng)甲種產(chǎn)品的工廠在當(dāng)前的市場(chǎng)條件下是否有利于擴(kuò)大產(chǎn)品的銷(xiāo)售？,練習(xí)(第6章),2.某產(chǎn)品每月的市場(chǎng)狀態(tài)有暢銷(xiāo)和滯銷(xiāo)兩種，三年來(lái)有如下記錄，見(jiàn)下表?！?”代表暢銷(xiāo)，“2”代表滯銷(xiāo)，試求市場(chǎng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的一步和二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。,其中矩陣元素 表示上月購(gòu)買(mǎi) i 牌號(hào)彩電而下月購(gòu)買(mǎi) j 牌號(hào)彩電的概率； 分別表示甲乙丙和其他牌號(hào)彩電。,3.某市三種主要牌號(hào)甲乙丙彩電的市場(chǎng)占有率分別為23%、18%、29%，其余市場(chǎng)為其它各種品牌的彩電所占有。根據(jù)抽樣調(diào)查，顧客對(duì)各類(lèi)彩電的愛(ài)好變化為,1) 試建立該市各牌號(hào)彩電市場(chǎng)占有率的預(yù)測(cè)模型，并預(yù)測(cè)未來(lái)3個(gè)月各種牌號(hào)彩電市場(chǎng)占有率變化情況；,2） 假定該市場(chǎng)彩電銷(xiāo)售量為4.7萬(wàn)臺(tái)，預(yù)測(cè)未來(lái)三個(gè)月各牌號(hào)彩電的銷(xiāo)售量； 3）分析各牌號(hào)彩電市場(chǎng)占有率變化的平衡狀態(tài)； 4）假定生產(chǎn)甲牌彩電的企業(yè)采取某種經(jīng)營(yíng)策略（例如廣告宣傳等），竭力保持了原有顧客愛(ài)好不向其它牌號(hào)轉(zhuǎn)移，其余不變。分析彩電市場(chǎng)占有率的平衡狀態(tài)。,4. 某高校教師隊(duì)伍可分為助教、講師、副教授、教授、流失及退休五個(gè)狀態(tài)。1998年有助教150人，講師280人，副教授130人，教授80人。據(jù)歷史資料，可得各類(lèi)職稱(chēng)轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：,5. 例7中試對(duì)無(wú)限時(shí)間期望折扣總報(bào)酬準(zhǔn)則討論三個(gè)策略的優(yōu)劣。假定,6. 在具報(bào)酬的馬爾可夫鏈中，如果對(duì)有限階段也考慮折扣，試給出有限時(shí)間段期望折扣總報(bào)酬的定義及其遞推公式。,