第3節(jié)向心力的實(shí)例分析學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)知 識(shí) 脈 絡(luò)1.通過向心力的實(shí)例分析，會(huì)分析向心力來源，體會(huì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用(重點(diǎn))2能應(yīng)用向心力和向心加速度公式求解豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的向心力及向心加速度(重點(diǎn)、難點(diǎn))3熟練掌握應(yīng)用牛頓第二定律和向心力知識(shí)分析兩類豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)模型的步驟和方法(重點(diǎn)、難點(diǎn))轉(zhuǎn) 彎 時(shí) 的 向 心 力 實(shí) 例 分 析1汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎：汽車2汽車、火車在內(nèi)低外高的路面上的轉(zhuǎn)彎：1汽車、火車轉(zhuǎn)彎時(shí)需要的向心力都是由重力提供的()2汽車在水平道路上行駛時(shí)，最大車速受地面最大靜摩擦力的制約()3火車彎道的半徑很大，故火車轉(zhuǎn)彎需要的向心力很小()如圖431所示，下雨天路面比較濕滑，行駛的汽車如果速度過快，轉(zhuǎn)彎時(shí)容易發(fā)生側(cè)滑，這是為什么？圖431【提示】汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)需要的向心力是由地面靜摩擦力提供的，下雨天路面濕滑，最大靜摩擦力減小，故高速轉(zhuǎn)彎時(shí)易發(fā)生側(cè)滑火車在鐵軌上轉(zhuǎn)彎可以看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖432所示，請(qǐng)思考：圖432探討1：火車轉(zhuǎn)彎處的鐵軌有什么特點(diǎn)？【提示】轉(zhuǎn)彎處鐵軌外高內(nèi)低探討2：火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度過大或過小，會(huì)對(duì)哪側(cè)軌道有側(cè)壓力？【提示】車速過大，對(duì)外軌產(chǎn)生擠壓車速過小，對(duì)內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓1軌道分析火車在轉(zhuǎn)彎過程中，運(yùn)動(dòng)軌跡是一圓弧，由于火車轉(zhuǎn)彎過程中重心高度不變，故火車軌跡所在的平面是水平面，而不是斜面火車的向心加速度和向心力均沿水平面指向圓心2向心力的來源分析(如圖433所示)圖433火車速度合適時(shí)，火車受重力和支持力作用，火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小Fmgtan .3規(guī)定速度分析若火車轉(zhuǎn)彎時(shí)只受重力和支持力作用，不受軌道壓力則mgtan m，可得v0.(R為彎道半徑，為軌道所在平面與水平面的夾角，v0為轉(zhuǎn)彎處的規(guī)定速度)4軌道壓力分析1賽車在傾斜的軌道上轉(zhuǎn)彎如圖434所示，彎道的傾角為，半徑為r，則賽車完全不靠摩擦力轉(zhuǎn)彎的速率是(設(shè)轉(zhuǎn)彎半徑水平)()圖434A.B.C.D.【解析】設(shè)賽車的質(zhì)量為m，賽車受力分析如圖所示，可見：F合mgtan ，而F合m，故v.【答案】C2火車在某個(gè)彎道按規(guī)定運(yùn)行速度40 m/s轉(zhuǎn)彎時(shí)，內(nèi)、外軌對(duì)車輪皆無側(cè)壓力，若火車在該彎道實(shí)際運(yùn)行速度為30 m/s，則下列說法中正確的是 ()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01360132】A僅內(nèi)軌對(duì)車輪有側(cè)壓力B僅外軌對(duì)車輪有側(cè)壓力C內(nèi)、外軌對(duì)車輪都有側(cè)壓力D內(nèi)、外軌對(duì)車輪均無側(cè)壓力【解析】火車在彎道按規(guī)定運(yùn)行速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，重力和支持力的合力提供向心力，內(nèi)、外軌對(duì)車輪皆無側(cè)壓力。若火車的運(yùn)行速度小于規(guī)定運(yùn)行速度時(shí)，重力和支持力的合力大于火車需要的向心力，火車將做近心運(yùn)動(dòng)，內(nèi)軌對(duì)車輪產(chǎn)生側(cè)壓力，重力、支持力和內(nèi)軌的側(cè)壓力的合力提供火車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故A正確【答案】A3某游樂場里的賽車場為圓形，半徑為100 m，一賽車和乘客的總質(zhì)量為100 kg，車輪與地面間的最大靜摩擦力為600 N(g取10 m/s2)(1)若賽車的速度達(dá)到72 km/h，這輛車在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)不會(huì)發(fā)生側(cè)移？(2)若將場地建成外高內(nèi)低的圓形，且傾角為30，并假設(shè)車輪和地面之間的最大靜摩擦力不變，為保證賽車的行駛安全，賽車最大行駛速度應(yīng)為多大？【解析】(1)賽車在場地上做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由靜摩擦力提供，如圖甲所示賽車做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力為F400 N600 N，所以賽車在運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)發(fā)生側(cè)移甲 乙(2)若將場地建成外高內(nèi)低的圓形，則賽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力mg、支持力N和靜摩擦力的合力來提供，如圖乙所示為賽車做圓周運(yùn)動(dòng)的后視圖(賽車正垂直紙面向里運(yùn)動(dòng))賽車以最大速度行駛時(shí)，地面對(duì)賽車的摩擦力為最大靜摩擦力由牛頓第二定律得水平方向：Nsin fmaxcos m豎直方向：Ncos fmaxsin mg0代入數(shù)據(jù)解得vmax35.6 m/s.【答案】(1)不會(huì)(2)35.6 m/s火車轉(zhuǎn)彎問題的解題策略(1)對(duì)火車轉(zhuǎn)彎問題一定要搞清合力的方向，指向圓心方向的合外力提供火車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，方向指向水平面內(nèi)的圓心(2)彎道兩軌在同一水平面上時(shí)，向心力由外軌對(duì)輪緣的擠壓力提供 豎 直 平 面 內(nèi) 的 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 實(shí) 例 分 析1汽車過拱形橋項(xiàng)目汽車過凸形橋汽車過凹形橋向心力支持力與重力合力做向心力支持力與重力合力做向心力方程mgNmNmgm支持力Nmgm支持力<重力，當(dāng)v時(shí)N0Nmgm支持力>重力2.過山車(在最高點(diǎn)和最低點(diǎn))(1)向心力來源：受力如圖435，重力和支持力的合力提供向心力圖435(2)向心力方程1過山車在運(yùn)動(dòng)時(shí)，做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)()2汽車在凸形橋上行駛時(shí)，速度較小時(shí)，對(duì)橋面的壓力大于車重，速度較大時(shí)，對(duì)橋面的壓力小于車重()3汽車過凹形橋時(shí)，對(duì)橋面的壓力一定大于車重()過山車和乘客在軌道上的運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)(如圖436甲、乙所示)那么甲 乙圖436過山車駛至軌道的頂部，車與乘客都在軌道的下方，為什么不會(huì)掉下來？【提示】過山車駛至軌道的頂部時(shí)，車所受的軌道的壓力和所受的重力的合力提供車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，只改變速度方向，而不使物體做自由落體運(yùn)動(dòng)小球分別在輕繩(如圖437甲)和輕桿(如圖437乙)的一端繞另一端在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)思考：圖437探討1：小球要在豎直平面內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度能為零嗎？【提示】輕繩上的小球最小速度不能為零輕桿上的小球最小速度可以為零探討2：小球經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，與繩(或桿)之間的作用力可以為零嗎？【提示】小球輕過最高點(diǎn)時(shí)與繩或桿的作用力可以為零1汽車過橋問題的分析：(1)汽車過凸形橋汽車在橋上運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，汽車的重力與橋?qū)ζ囍С至Φ暮狭μ峁┫蛐牧θ鐖D438甲所示圖438由牛頓第二定律得：GNm，則NGm.汽車對(duì)橋的壓力與橋?qū)ζ嚨闹С至κ且粚?duì)相互作用力，即NNGm，因此，汽車對(duì)橋的壓力小于重力，而且車速越大，壓力越小當(dāng)0v時(shí)，0NG.當(dāng)v時(shí)，N0，汽車做平拋運(yùn)動(dòng)飛離橋面，發(fā)生危險(xiǎn)當(dāng)v時(shí)，汽車做平拋運(yùn)動(dòng)飛離橋面，發(fā)生危險(xiǎn)(2)汽車過凹形橋如圖438乙所示，汽車經(jīng)過凹形橋面最低點(diǎn)時(shí)，受豎直向下的重力和豎直向上的支持力，兩個(gè)力的合力提供向心力，則NGm，故NGm.由牛頓第三定律得：汽車對(duì)凹形橋面的壓力NGm，大于汽車的重力，而且車速越大，車對(duì)橋面的壓力越大2過山車問題分析：如圖439所示，設(shè)過山車與坐在上面的人的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，過山車經(jīng)過頂部時(shí)的速度為v，以人和車作為一個(gè)整體，在頂部時(shí)所受向心力是由重力和軌道對(duì)車的彈力的合力提供的。由牛頓第二定律得mgNm.人和車要不從頂部掉下來，必須滿足的條件是：N0.當(dāng)N0時(shí)，過山車通過圓形軌道頂部的速度為臨界速度，此時(shí)重力恰好提供過山車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即mgm，臨界速度為v臨界，過山車能通過最高點(diǎn)的條件是v.圖4393輕繩模型：如圖4310所示，輕繩系的小球或在軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)的小球，在最高點(diǎn)時(shí)的臨界狀態(tài)為只受重力，由mgm，得v.圖4310在最高點(diǎn)時(shí)：(1)v時(shí)，拉力或壓力為零(2)v時(shí)，物體受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大(3)v時(shí)，物體不能達(dá)到最高點(diǎn)(實(shí)際上球未到最高點(diǎn)就脫離了軌道)即繩類模型中小球在最高點(diǎn)的臨界速度為v臨.4輕桿模型：如圖4311所示，在細(xì)輕桿上固定的小球或在管形軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球，由于桿和管能對(duì)小球產(chǎn)生向上的支持力，所以小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的條件是在最高點(diǎn)的速度大于或等于零，小球的受力情況為：圖4311(1)v0時(shí)，小球受向上的支持力Nmg.(2)0v時(shí)，小球受向上的支持力且隨速度的增大而減小(3)v時(shí)，小球只受重力(4)v時(shí)，小球受向下的拉力或壓力，并且隨速度的增大而增大即桿類模型中小球在最高點(diǎn)的臨界速度為v臨0.圖43124(多選)如圖4312所示，汽車以速度v通過一弧形的拱橋頂端時(shí)，關(guān)于汽車受力的說法中正確的是()A汽車的向心力就是它所受的重力B汽車的向心力是它所受的重力與支持力的合力，方向指向圓心C汽車受重力、支持力、牽引力、摩擦力和向心力的作用D汽車受到的支持力比重力小【解析】汽車以速度v通過一弧形的拱橋頂端時(shí)，汽車受重力、支持力、牽引力和摩擦力，重力與支持力的合力提供向心力，方向指向圓心，A、C錯(cuò)誤，B正確；汽車受到的支持力比重力小，D正確【答案】BD5長為L的細(xì)繩，一端系一質(zhì)量為m的小球，另一端固定于某點(diǎn)，當(dāng)繩豎直時(shí)小球靜止，再給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，并且剛好能過最高點(diǎn)，則下列說法中正確的是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01360133】A球過最高點(diǎn)時(shí)，速度為零B球過最高點(diǎn)時(shí)，繩的拉力為mgC開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩的拉力為mD球過最高點(diǎn)時(shí)，速度大小為【解析】開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，由小球受的重力mg和繩的拉力F的合力提供向心力，即Fmgm，F(xiàn)mmg，可見C不正確；小球剛好過最高點(diǎn)時(shí)，繩拉力為0，mgm，v，A、B不正確故選D.【答案】D6游樂場的過山車的運(yùn)動(dòng)過程可以抽象為圖4313所示模型弧形軌道的下端與圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端A點(diǎn)由靜止滑下，進(jìn)入圓軌道后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，最后離開試分析A點(diǎn)離地面高度h至少要多大，小球才可以順利通過圓軌道最高點(diǎn)(已知圓軌道的半徑為R，不考慮摩擦等阻力)圖4313【解析】小球恰好通過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球的作用力為零小球從A點(diǎn)到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律得：mghmg2Rmv2，在圓軌道最高處：mgm，解得hR.【答案】R“二明、一分、一用”解豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題學(xué)業(yè)分層測評(píng)(十七)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)1在水平面上轉(zhuǎn)彎的汽車，向心力是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01360134】A重力和支持力的合力B靜摩擦力C滑動(dòng)摩擦力D重力、支持力和牽引力的合力【解析】水平面上轉(zhuǎn)彎的汽車，重力和地面對(duì)汽車的支持力相平衡，向心力由指向圓心的靜摩擦力提供，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤【答案】B2(2016玉溪高一檢測)某高速公路彎道處設(shè)計(jì)為內(nèi)側(cè)低外側(cè)高的圓弧彎道，使路面與水平面有一傾角，彎道半徑為R.當(dāng)汽車在該彎道處沿側(cè)向的摩擦力恰為零時(shí)，汽車轉(zhuǎn)彎的速度v為()AvBvCvD安全速度與汽車的質(zhì)量有關(guān)【解析】當(dāng)汽車在該彎道處沿側(cè)向的摩擦力恰為零時(shí)，汽車轉(zhuǎn)彎所需的向心力由重力和路面支持力的合力提供，即mgtan m，則汽車的轉(zhuǎn)彎速度為v，選項(xiàng)A正確【答案】A3如圖4314所示，汽車以一定的速度經(jīng)過一個(gè)圓弧形橋面的頂點(diǎn)時(shí)，關(guān)于汽車的受力及汽車對(duì)橋面的壓力情況，以下說法錯(cuò)誤的是()圖4314A在豎直方向汽車受到三個(gè)力：重力、橋面的支持力和向心力B在豎直方向汽車可能只受兩個(gè)力：重力和橋面的支持力C在豎直方向汽車可能只受重力D汽車對(duì)橋面的壓力小于汽車的重力【解析】一般情況下汽車受重力和支持力作用，且mgNm，故支持力Nmgm，即支持力小于重力，A錯(cuò)，B、D對(duì)；當(dāng)汽車的速度v時(shí)，汽車所受支持力為零，C正確【答案】A4冰面對(duì)溜冰運(yùn)動(dòng)員的最大靜摩擦力為運(yùn)動(dòng)員重力的k倍，在水平冰面上沿半徑為R的圓周滑行的運(yùn)動(dòng)員，其安全速度應(yīng)為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01360135】AvkBvCv Dv 【解析】當(dāng)處于臨界狀態(tài)時(shí)，有kmgm，得臨界速度v.故安全速度v.【答案】B5.如圖4315所示，用輕繩一端拴一小球，繞另一端O在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)若繩子不夠牢，則運(yùn)動(dòng)過程中繩子最易斷的位置是小球運(yùn)動(dòng)到()圖4315A最高點(diǎn)B最低點(diǎn)C兩側(cè)與圓心等高處D無法確定【解析】在最低點(diǎn)位置時(shí)，小球的速率最大，向心力方向又向上，拉力Fmgm，此處繩子受到的拉力最大，故最易斷選項(xiàng)B正確【答案】B6長為L的細(xì)線一端拴一質(zhì)量為m的小球，小球繞細(xì)線另一固定端在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)并恰能通過最高點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，設(shè)小球通過最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)的速度分別為v1和v2，細(xì)線所受拉力分別為F1、F2，則() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01360136】Av1 Bv20CF15mg DF2mg【解析】小球恰能通過最高點(diǎn)，細(xì)線拉力F20，由mgm，得v2；由機(jī)械能守恒定律得：mvmg2Lmv，解得：v1；通過最低點(diǎn)時(shí)，由F1mgm，解得F16mg.故選A.【答案】A7質(zhì)量可忽略，長為L的輕棒，末端固定一質(zhì)量為m的小球，要使其繞另一端點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，那么小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度v必須滿足的條件為()Av BvCv2 Dv【解析】小球到最高點(diǎn)時(shí)速度v10，由機(jī)械能守恒定律得：mv2mg2Lmv，解得：v2.故選C.【答案】C8(2016成都高一檢測)質(zhì)量為103 kg的小汽車駛過一座半徑為50 m的圓形拱橋，到達(dá)橋頂時(shí)的速度為5 m/s.求：(1)汽車在橋頂時(shí)對(duì)橋的壓力；(2)如果要求汽車到達(dá)橋頂時(shí)對(duì)橋的壓力為零，且車不脫離橋面，到達(dá)橋頂時(shí)的速度應(yīng)是多大？【解析】(1)汽車在最高點(diǎn)時(shí)重力與支持力的合力提供向心力mgNmNmgm9 500 N由牛頓第三定律可知，汽車對(duì)橋的壓力N9 500 N(豎直向下)(2)當(dāng)汽車對(duì)橋面壓力恰好為0時(shí)，有：mgmv10 m/s.【答案】(1)9 500 N豎直向下(2)10 m/s能力提升9(多選)如圖4316所示，小球m在豎直放置的光滑的圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是 ()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01360137】圖4316A小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度是B小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為零C小球通過最低點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁壓力一定大于重力D小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力【解析】小球在光滑的圓形管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為零，A錯(cuò)誤、B正確；小球通過最低點(diǎn)時(shí)Nmgm，得Nmgm，故小球通過最低點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁壓力一定大于重力，C正確；小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)外側(cè)管壁對(duì)小球不一定有作用力，D錯(cuò)誤【答案】BC10(多選)(2016全國卷丙)如圖4317所示，一固定容器的內(nèi)壁是半徑為R的半球面，在半球面水平直徑的一端有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P.它在容器內(nèi)壁由靜止下滑到最低點(diǎn)的過程中，克服摩擦力做的功為W.重力加速度大小為g.設(shè)質(zhì)點(diǎn)P在最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度的大小為a，容器對(duì)它的支持力大小為N，則()圖4317Aa BaCN DN【解析】質(zhì)點(diǎn)P下滑到最低點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得mgRWmv2，則速度v，最低點(diǎn)的向心加速度a，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得Nmgma，N，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤【答案】AC11如圖4318所示，小球A質(zhì)量為m，固定在輕細(xì)直桿L的一端，并隨桿一起繞桿的另一端點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如果小球經(jīng)過最高位置時(shí)，桿對(duì)小球的作用力大小等于小球的重力求： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01360138】圖4318(1)小球的速度大小；(2)當(dāng)小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)速度為，此時(shí)，求桿對(duì)球的作用力的大小和球的向心加速度的大小【解析】(1)小球A在最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)球受力分析：重力mg，拉力Fmg或支持力Fmg根據(jù)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的條件，合外力等于向心力，得mgFmFmg解兩式，可得v或v0.(2)小球A在最低點(diǎn)時(shí)，對(duì)球受力分析：重力mg、拉力F，設(shè)向上為正方向根據(jù)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的條件，合外力等于向心力，F(xiàn)mgm解得Fmgm7mg，故球的向心加速度a6g.【答案】(1)或0(2)7mg6g12(2016淮安高一檢測)AB是豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧軌道，下端B與水平直軌道相切，如圖4319所示一小球自A點(diǎn)起由靜止開始沿軌道下滑已知圓弧軌道半徑為R，小球的質(zhì)量為m，不計(jì)各處摩擦求：圖4319(1)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能(2)小球經(jīng)過圓弧軌道的B點(diǎn)和水平軌道的C點(diǎn)時(shí)，所受軌道支持力NB、NC各是多大？【解析】(1)小球自A點(diǎn)由靜止開始沿軌道運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒取BC水平面為零重力勢(shì)能面，則mgRmvB點(diǎn)的動(dòng)能為EkmvmgR.(2)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得，NBmgm則NB3mg.到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，豎直方向由平衡條件得：NCmg.【答案】(1)mgR(2)3mgmg