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1、二、二元方差分析,一 、一元方差分析,第六章,方差分析,二、統(tǒng)計分析,一 、總平方和的分解,第一節(jié),單因素試驗的方差分析,例1 假定某型號的電子管的使用壽命服從正態(tài)分布，并且原料差異只影響平均壽命，不影響方差 。現(xiàn)用三種不同來源的材料各試生產(chǎn)了一批電子管。從每批中各抽取若干只做壽命實(shí)驗，得數(shù)據(jù)如下表。,試問測試結(jié)果是否說明這批電子管的壽命有明顯差異？,1.引例,三個水平,因素,試驗指標(biāo),例2 設(shè)對四種玉米品種進(jìn)行對比實(shí)驗，每個品種都在同一塊田的五個小區(qū)各做一次實(shí)驗，實(shí)驗結(jié)果如下表所示。試問不同品種對玉米的平均產(chǎn)量是否有顯著影響？,水平,因素,試驗指標(biāo),設(shè)在試驗中，因素A有m個不同水平,在水平下

2、的試驗結(jié)果,其中 和 是未知參數(shù)。在水平 下作 次獨(dú)立實(shí)驗，其結(jié)果如表1所示。,2. 數(shù)學(xué)模型,表1,是來自總體 的容量為 的 一個 樣本，其觀察值為,(1),由于 相互獨(dú)立，且,若記,則,且相互獨(dú)立,要判斷因素的各水平間是否有顯著差異，也就是要 判斷各正態(tài)總體的均值是否相等，即檢驗假設(shè),(2),其中 與 均為未知參數(shù)。 式（2）稱為單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型。,(3),再令,(5),則是各水平下總體均值的加權(quán)平均，稱為總平均值；,代表了第i水平下的總體均值與平均值的差異，這個差異稱為 的效應(yīng)，,(4),由式(2),(3)可以得到單因素方差分析的等價數(shù)學(xué)模型,它滿足,式(5)表明：樣本由總平均值

3、 因素的水平效應(yīng) 隨機(jī)誤差三部分疊加而成。 因而式(5)也稱為線性可加模型。,(5),由于當(dāng) 為真時，,=各水平的效應(yīng),=統(tǒng)計假設(shè)模型(1)等價于,(6),基本任務(wù)：根據(jù)樣本提供的信息，對假設(shè) (6)進(jìn)行檢驗，并估計未知參數(shù),檢驗此假設(shè)的方法就是方差分析,3. 總離差平方和的分解:,樣本總平均,通過分解，構(gòu)造統(tǒng)計量,組內(nèi)平均,(7),(8),兩者間的關(guān)系,稱為總離差平方和。,引入記號,(10),總離差平方和分解,全部數(shù)據(jù)與總平均之間的差異，又叫總變差,其中,為各水平下的樣本與該水平下樣本均值的離差平方和，反映了各水平下樣本值的隨機(jī)波動情況，稱為組內(nèi)平方和。 它是由試驗的隨機(jī)誤差引起的，故又稱誤

4、差平方和。,為各水平下的樣本均值與樣本總均值的（加權(quán)）離差平方和，反映了各水平間的樣本值的差異，稱為組間平方和。 形成它的主要原因是因素A的各水平下的不同效應(yīng)，故又稱為效應(yīng)平方和。,常見統(tǒng)計量,1、樣本均值,2、樣本方差,設(shè),是來自總體X的一個樣本，,常用來估計EX.,復(fù)習(xí),結(jié)論：設(shè) 為來自總體 的一個樣本，,4. SE，SA的統(tǒng)計特性,故,(12),(13),記,(14),(15),的均方,的均方,4. SE，SA的統(tǒng)計特性,(14),(15),(14)及(15)兩式表明：,是 的無偏估計，,僅當(dāng),成立時才是 的無偏估計，,否則它的期望值要大于,在 成立時應(yīng)接近于1，,而當(dāng) H1成立時總有偏

5、大的傾向。,如果比值,比1大得多，就應(yīng)拒絕假設(shè),為此，我們采用,(16),作為檢驗統(tǒng)計量。,當(dāng) 成立時，,與,相互獨(dú)立，且分別服從自由度,(n-m)，(m-1)的 分布，故,復(fù)習(xí)：F 分布的分位點(diǎn),對于給定的正數(shù),稱滿足條件,的點(diǎn),為,分位點(diǎn),分布的上,對給定的顯著性水平 ，由,得檢驗問題(1.1)或(1.6)的拒絕域為,(17),上述分析的結(jié)果可排列成表2的形式稱為方差分析表,在實(shí)際計算時，通常使用下列公式,其中,例1,設(shè)對四種玉米品種進(jìn)行對比實(shí)驗，每個品種都在同一塊田的五個小區(qū)各做一次實(shí)驗，實(shí)驗結(jié)果如下表所示。試問不同品種對玉米的平均產(chǎn)量是否有顯著影響？(=0.01),解,分別以 表示不同

6、品種玉米平均產(chǎn)量總體的均值，按題意需檢驗假設(shè),品種,地塊,產(chǎn)量,1 32.3 33.3 30.8 29.3,172.1 173.9 168.5 141.9 656.4,5 36.5 34.5 35.8 28.8,4 35.0 36.8 32.3 28.0,3 34.3 36.3 35.3 29.8,2 34.0 33.0 34.3 26.0,5923.682 6048.242 5678.45 4027.122 21677.50,29618.41 30241.21 28392.25 20135.61,5933.03 6060.07 5696.15 4035.97 21725.22,注意到,可得方

7、差分析表,方差分析表,方差來源,誤差E,因素A,總和,均 方,自由度,平方和,顯著性,F 比,當(dāng) 時，,由F分布表可查得,由于,故拒絕,即認(rèn)為,這四個品種對玉米平均產(chǎn)量的影響高度顯著。,3,19,16,若檢驗結(jié)果為原假設(shè)H0不成立，,有時需要對,則 的置信度為1 的置信區(qū)間為,由上面討論，可得未知參數(shù),的估計,是 的無偏估計。,5.未知參數(shù)的估計,如果檢驗結(jié)果為拒絕 ，,即,不全相等。,有時需要對第i個水平及第k個水平均值差 作出區(qū)間估計。,為此，我們可以取,作為 的點(diǎn)估計，,注意到,又,是 的無偏估計，,而,可以證明 與 相互獨(dú)立。,的置信度為 的置信區(qū)間為,求例2中未知參數(shù) 的點(diǎn)估計及均值

8、差的置信度為0.95的區(qū)間估計。,解,的點(diǎn)估計為,及 的無偏估計分別為,例2,當(dāng),時，,的置信度為0.95的置信,區(qū)間分別為,因素A分3個水平，對每個水平進(jìn)行4次試驗，結(jié)果如下表：,假定樣本都是從同方差的正態(tài)總體中抽取的。,（1）在顯著性水平 下，檢驗假設(shè),組均值相等。,（2）求未知參數(shù),及,的點(diǎn)估計以及均值差的置信區(qū)間（置信度為95%）,例3,解,（1）用下表進(jìn)行計算,方差分析表,查表得,拒絕,即在顯著性水平 下，可以認(rèn)為組平,均值在整體上是有顯著差異的。,（2）,查表,的置信度為95%的置信區(qū)間分別為,一共進(jìn)行了13次試驗，假設(shè)樣本都是從同方差的正態(tài)總體中抽取的，試驗結(jié)果如下表：,（1）在顯著性水平 下檢驗假設(shè),（2）求 及 的點(diǎn)估計及均值,差的95%置信區(qū)間。,例4,解,用下表進(jìn)行計算，得,方差分析表,（1）查表得,拒絕,在顯著性水平 下，,可以認(rèn)為3個水平下的期望有顯著差異。,（2）,又,由,得,的置信區(qū)間為,即 (67.1, 7.1)。,由,可得,的置信區(qū)間為,即 (78.6, 7.4)。,由,可得,的置信區(qū)間為,即 (38.9，26.9)。,